\(F(x) = \int {x.{e^{\dfrac{x}{3}}}\,dx} \)\(\,= 3\left( {x{e^{\dfrac{x}{3}}}} \right) - 3\int {{e^{\dfrac{x}{3}}}} dx \)\(\,= 3\left( {x{e^{\dfrac{x}{3}}}} \right) - 9\int {{e^{\dfrac{x}{3}}}} d\left( {\dfrac{x}{3}} \right)\)\(\, = 3\left( {x{e^{\dfrac{x}{3}}}} \right) - 9{e^{\dfrac{x}{3}}} + C\) Đề bài Câu 1. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) nếu: A. F(x) = f(x) B. F(x) = f(x) C. F(x) = f(x) D. f(x) = F(x). Câu 2. Chọn mệnh đề đúng: A. \(\int {{a^x}\,dx = \dfrac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\,\,(0 < a \ne 1)} \). B. \(\int {{a^x}\,dx} = {a^x} + C\,\,\,(0 < a \ne 1)\). C. \(\int {{a^x}\,dx = {a^x}\ln a} + C\,\,(0 < a \ne 1)\). D. \(\int {{a^x}\,dx = {a^x}\ln a\,\,(0 < a \ne 1)} \). Câu 3. Cho \(C \in R\). Tính \(I = \int {\left( {{x^2} + 3} \right){x^2}\,dx} \): A. \(I = \dfrac{{{x^5}}}{5} + {x^3} + C\) B. \(I = \dfrac{{{x^5}}}{5} + {x^3}\) C. \(I = \left( {\dfrac{{{x^3}}}{3} + 3x} \right)\dfrac{{{x^3}}}{3} + C\) D. \(I = {x^4} + 3{x^2} + C\). Câu 4. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số \(f(x) = \dfrac{{{x^3} - 1}}{{{x^2}}}\) biết F(1)=0. A. \(\dfrac{{{x^2}}}{2} - \dfrac{1}{x}\). B. \(\dfrac{{{x^2}}}{2} - \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{2}\). C. \(\dfrac{{{x^2}}}{2} + \dfrac{1}{x} + \dfrac{3}{2}\). D. \(\dfrac{{{x^2}}}{2} + \dfrac{1}{x} - \dfrac{3}{2}\) Câu 5. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong \(y = {x^2} + 1\), đường thẳng \(y = 3 - x\). A. \(\dfrac{8}{3}\) B. \(\dfrac{7}{3}\) C. \(\dfrac{9}{2}\) D. \(\dfrac{{10}}{3}\) Câu 6. Tính \(F(x) = \int {x.{e^{\dfrac{x}{3}}}\,dx} \). Chọn kết quả đúng . A. \(F(x) = 3(x - 3){e^{\dfrac{x}{3}}} + C\). B. \(F(x) = (x + 3){e^{\dfrac{x}{3}}} + C\). C. \(F(x) = \dfrac{{x - 3}}{3}{e^{\dfrac{x}{3}}} + C\). D. \(F(x) = \dfrac{{x + 3}}{3}{e^{\dfrac{x}{3}}} + C\). Câu 7. Tính tích phân \(\int\limits_0^3 {x(x - 1)\,dx} \) có giá trị bằng với tích phân nào trong các tích phân dưới đây ? A.\(\int\limits_0^\pi {\cos (3x + \pi )\,dx} \). B. \(3\int\limits_0^{3x} {\sin x\,dx} \) C. \(\int\limits_0^2 {\left( {{x^2} + x - 3} \right)} \,dx\). D. \(\int\limits_0^{\ln \sqrt {10} } {{e^{2x}}} \,dx\). Câu 8. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^3} - x\), trục hoành, các đường thẳng \(x = - 2,\,x = 1\) bằng : A. \(\left| {\int\limits_{ - 2}^1 {\left( {{x^3} - x} \right)\,dx} } \right|\). B. \(\int\limits_{ - 2}^1 {\left( {{x^3} - x} \right)\,dx} \). C. \(\int\limits_{ - 1}^1 {|{x^3} - x|\,dx} \). D. \(\int\limits_{ - 2}^1 {|{x^3} - x|\,dx} \). Câu 9. Tìm họ nguyên hàm F(x) của hàm số \(f(x) = 3\sin x + \dfrac{2}{x}\). A. \(F(x) = - 3\cos x + 2\ln |x| + C\). B. \(F(x) = 3\cos x + 2\ln |x| + C\). C. \(F(x) = - 3\cos x - 2\ln |x| + C\). D. \(F(x) = 3\cos x - 2\ln |x| + C\). Câu 10. Cho hình (H) gới hạn bởi hàm số y = f(x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục Ox là: A. \(V = \pi \int\limits_a^b {|f(x)|\,dx} \). B. \(V = \int\limits_a^b {|f(x)|\,dx} \). C. \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(x)} \,dx\). D. \(V = {\pi ^2}\int\limits_a^b {{f^2}(x)\,dx} \). Lời giải chi tiết
Lời giải chi tiết Câu 1. Hàm số \(F\left( x \right)\)được gọi là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\)nếu: \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\) Chọn đáp án C. Câu 2. Mệnh đề đúng: \(\int {{a^x}\,dx = \dfrac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\,\,(0 < a \ne 1)} \) Chọn đáp án A. Câu 3. Ta có: \(I = \int {\left( {{x^2} + 3} \right){x^2}\,dx}\)\(\, = \int {\left( {{x^4} + 3{x^2}} \right)} \,dx = \dfrac{{{x^5}}}{5} + {x^3} + C\) Chọn đáp án A. Câu 4. Ta có: \(f(x) = \dfrac{{{x^3} - 1}}{{{x^2}}} \) \(\Rightarrow \int {\left( {x - \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)} \,dx = \dfrac{{{x^2}}}{2} + \dfrac{1}{x} + C\) Theo giả thiết: \(F\left( 1 \right) = 0 \Rightarrow \dfrac{1}{2} + 1 + C = 0\) \(\Leftrightarrow C = - \dfrac{3}{2}.\) Khi đó \(F\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{2} + \dfrac{1}{x} - \dfrac{3}{2}\) Chọn đáp án D. Câu 5. Phương trình hoành độ giao điểm là: \({x^2} + 1 = 3 - x \) \(\Leftrightarrow {x^2} + x - 2 = 0\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 1\end{array} \right.\) Khi đó diện tích hình phẳng được xác định bởi công thức: \(S = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {{x^2} + x - 2} \right|} \,dx \)\(\,= \left| {\dfrac{{{x^3}}}{3} + \dfrac{{{x^2}}}{2} - 2x} \right|\left| \begin{array}{l}^1\\_{ - 2}\end{array} \right.\)\(\, = \left| { - \dfrac{7}{6} - \dfrac{{10}}{3}} \right| = \dfrac{9}{2}.\) Chọn đáp án C. Câu 6. Ta có: \(F(x) = \int {x.{e^{\dfrac{x}{3}}}\,dx} = 3\int {x{e^{\dfrac{x}{3}}}} d\left( {\dfrac{x}{3}} \right)\) Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = {e^{\dfrac{x}{3}}}d\left( {\dfrac{x}{3}} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = {e^{\dfrac{x}{3}}}\end{array} \right.\) Khi đó ta có: \(F(x) = \int {x.{e^{\dfrac{x}{3}}}\,dx} \)\(\,= 3\left( {x{e^{\dfrac{x}{3}}}} \right) - 3\int {{e^{\dfrac{x}{3}}}} dx \)\(\,= 3\left( {x{e^{\dfrac{x}{3}}}} \right) - 9\int {{e^{\dfrac{x}{3}}}} d\left( {\dfrac{x}{3}} \right)\)\(\, = 3\left( {x{e^{\dfrac{x}{3}}}} \right) - 9{e^{\dfrac{x}{3}}} + C\) Chọn đáp án A. Câu 7. Ta có: \(\int\limits_0^3 {x(x - 1)\,dx} = \int\limits_0^3 {\left( {{x^2} - x} \right)\,dx} \)\(\, = \left( {\dfrac{{{x^3}}}{3} - \dfrac{{{x^2}}}{2}} \right)\left| \begin{array}{l}^3\\_0\end{array} \right. = \dfrac{9}{2}\) +) \(\int\limits_0^\pi {\cos (3x + \pi )\,dx} \)\(\,= \dfrac{1}{3}\int\limits_0^\pi {\cos \left( {3x + \pi } \right)} \,d\left( {3x + \pi } \right)\)\(\, = \dfrac{1}{3}\sin \left( {3x + \pi } \right)\left| \begin{array}{l}^\pi \\_0\end{array} \right. = 0\) +) \(3\int\limits_0^{3x} {\sin x\,dx} = 3\left( { - \cos x} \right)\left| \begin{array}{l}^{3x}\\_x\end{array} \right.\) +) \(\int\limits_0^{\ln \sqrt {10} } {{e^{2x}}} \,dx = \dfrac{1}{2}\int\limits_0^{\ln \sqrt {10} } {{e^{2x}}} \,d\left( {2x} \right) \)\(\,= \dfrac{1}{2}{e^{2x}}\left| \begin{array}{l}^{\ln \sqrt {10} }\\_0\end{array} \right. = 5 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{9}{2}\) Chọn đáp án D. Câu 8. Diện tích hình phẳng được xác định bằng công thức sau: \(\int\limits_{ - 2}^1 {|{x^3} - x|\,dx} \) Chọn đáp án D. Câu 9. Ta có: \(f(x) = 3\sin x + \dfrac{2}{x}\) \(\Rightarrow \int {\left( {3\sin x + \dfrac{2}{x}} \right)\,dx}\)\(\, = - 3\cos x + 2\ln \left| x \right| + C\) Chọn đáp án A. Câu 10. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay \(\left( H \right)\) quanh trục Ox là: \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(x)} \,dx\) Chọn đáp án C
|
