+ Đối với biểu thức \(M\) ta đưa các biểu thức dưới dấu căn về các hằng đẳng thức \({\left( {a - b} \right)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2};\)\({\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\) rồi sử dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,khi\,A \ge 0\\ - A\,khi\,A < 0\end{array} \right.\) Đề bài Rút gọn các biểu thức: \(M = \sqrt {3 - 2\sqrt 2 } - \sqrt {6 + 4\sqrt 2 } \) \(N = \sqrt {2 + \sqrt 3 } + \sqrt {2 - \sqrt 3 } \) Phương pháp giải - Xem chi tiết + Đối với biểu thức \(M\) ta đưa các biểu thức dưới dấu căn về các hằng đẳng thức \({\left( {a - b} \right)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2};\)\({\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\) rồi sử dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,khi\,A \ge 0\\ - A\,khi\,A < 0\end{array} \right.\) + Đối với biểu thức \(N\) ta có thể bình phương hai vế hoặc nhân cả hai vế với \(\sqrt 2 \) rồi biến đổi giống biểu thức \(M\). Lời giải chi tiết Ta có \(M = \sqrt {3 - 2\sqrt 2 } - \sqrt {6 + 4\sqrt 2 } \) \( = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}^2}} - \sqrt {{{\left( {2 + \sqrt 2 } \right)}^2}} \) \( = \left( {\sqrt 2 - 1} \right) - \left( {2 + \sqrt 2 } \right) \)\(= \sqrt 2 - 1 - 2 - \sqrt 2 = - 3\) \(N = \sqrt {2 + \sqrt 3 } + \sqrt {2 - \sqrt 3 } \)\(\Rightarrow {N^2} = 2 + \sqrt 3 + 2 - \sqrt 3+ 2\sqrt {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\left( {2 - \sqrt 3 } \right)} \)\(= 4+ 2.1 = 6\) Vì \(N > 0\) nên \({N^2} = 6 \Rightarrow N = \sqrt 6 .\) Chú ý khi giải: Ta có thể tính \(N\) bằng cách sau: \(N = \sqrt {2 + \sqrt 3 } + \sqrt {2 - \sqrt 3 } \)\(\Rightarrow \sqrt 2 .N = \sqrt 2 \left( {\sqrt {2 + \sqrt 3 } + \sqrt {2 - \sqrt 3 } } \right) \)\(= \sqrt {2\left( {2 + \sqrt 3 } \right)} + \sqrt {2\left( {2 - \sqrt 3 } \right)} \) \( = \sqrt {4 + 2\sqrt 3 } + \sqrt {4 - 2\sqrt 3 } \)\(= \sqrt {3 + 2\sqrt 3 .1 + 1} + \sqrt {3 - 2\sqrt 3 .1 + 1}\)\( = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}^2}} \) \( = \left| {\sqrt 3 + 1} \right| + \left| {\sqrt 3 - 1} \right| \)\(= \sqrt 3 + 1 + \sqrt 3 - 1 = 2\sqrt 3 \) Suy ra \(\sqrt 2 N = 2\sqrt 3 \)\( \Leftrightarrow N = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 6 .\)
|
