Phương pháp giải phương trình bậc cao đặc biệt cho học sinh lớp 8, 9Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (304.33 KB, 55 trang ) PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐẶC BIỆT CHO HỌC SINH LỚP 8,9
MỤC LỤC
NỘI DUNG
Phần 1. Mở đầu
I. Đặt vấn đề
1. Thực trạng vấn đề nghiên cứu
2. Ý nghĩa của giải pháp mới
3. Phạm vi nghiên cứu của đề tài
II. Phương pháp tiến hành
1. Cơ sở lý luận
2. Cơ sở thực tiễn
3. Biện pháp tiến hành
4. Thời gian tạo ra giải pháp
Phần 2. Nội dung
I. Mục tiêu
II. Mô tả giải pháp của đề tài
1. Thuyết minh đề tài:
§1
Đường lối chung
§2
Cơ sở lý thuyết
§3
Phương pháp tiến hành
A) Phương trình bậc ba một ẩn đặc biệt.
B) Phương trình bậc bốn một ẩn đặc biệt.
Dạng 1: Giải phương trình: ax4 + bx2 + cx + d = 0(a 0) bằng
cách nhẩm nghiệm:
Dạng 2:Phương trình trùng phương : ax4 + bx2 + c = 0(a 0)
Dạng 3: Phương trình đối xứng : ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0
(a 0)
Dạng 4: Phương trình hồi quy : ax4 + bx3 + cx2 + mx + n = 0 (a
0)
Dạng 5: Phương trình (x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=m
Dạng 6: Phương trình (x+a)(x+b)(x+c)(x+d)= mx2
Dạng 7: Phương trình (x+a)4 + (x+b)4 = m (1)
Dạng 8: Phương trình (x+a)4 + (x+b)4 = (2x+ a+b)4
Dạng 9: Phương trình ax2 + bxy + cy2=0 (1)( dạng đẳng cấp bậc
hai)
Dạng 10: Phương trình dạng (ax +b)(ax+b+1)2(ax+b+2) = m
Dạng 11: Phương trình dạng : An = Bn
Dạng 12: Một số dạng khác.
C. Ứng dụng giải phương trình bậc 3, 4 để giải một số bài
toán về phương trình quy về bậc hai:
Dạng 1. Điều kiện về nghiệm của một số phương trình bậc ba
quy về bậc hai : ax3 + bx2 + cx + d =0(a 0)
Giáo viên: Hữu Thị Hoa
Trường THCS Thị Trấn Khoái Châu
TRANG
03
03
04
04
04
05
05
06
06
07
08
08
11
08
08
09
11
11
12
12
Trang
14
15
19
21
23
26
29
30
32
34
35
39
39
1
PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐẶC BIỆT CHO HỌC SINH LỚP 8,9
Dạng 2. Điều kiện về nghiệm của một số phương trình bậc bốn
quy về bậc hai
2. Phạm vi áp dụng
3. Hiệu quả
4. Kết quả thực hiện
Phần 3. Kết luận
1. Nhận định chung
2. Những điều kiện áp dụng
3. Triển vọng vận dụng và phát triển
4. Những đề xuất, kiến nghị
41
47
47
48
50
50
50
50
50q
PHẦN 1. MỞ ĐẦU
I. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu
. Toán học không phải là một quyển sách chỉ gói gọn giữa các tờ bìa mà người
ta chỉ cần kiên nhẫn đọc hết nội dung, toán học cũng không phải là một vùng mỏ
quý mà người ta chỉ cần có thời gian để khai thác; toán học cũng không phải là
một cánh đồng sẽ bị bạc màu vì những vụ thu hoạch; toán học cũng không phải
là lục địa hay đại dương mà ta có thể vẽ chúng lại được. Toán học không có
những giới hạn như không gian mà trong đó nó cảm thấy quá chật chội cho
Giáo viên: Hữu Thị Hoa
Trường THCS Thị Trấn Khoái Châu
Trang
2
PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐẶC BIỆT CHO HỌC SINH LỚP 8,9
những khát vọng của nó; khả năng của toán học là vô hạn như bầu trời đầy các
vì sao; ta không thể giới hạn toán học trong những quy tắc hay định nghĩa vì nó
cũng giống như cuộc sống luôn luôn tiến hóa.
Toán học là môn khoa học suy diễn, lôgic loại tri thức có vai trò quan trọng
trong nhà trường cũng như ngoài cuộc sống. Toán học trong nhà trường THCS
cung cấp cho học sinh một hệ thống kiến thức phổ thông, cơ bản và thiết thực,
hình thành và phát triển năng lực nhận thức, năng lực hành động, năng lực xã
hội và năng lực cá nhân cho học sinh. Từ đó học sinh có khả năng vận dụng, liên
hệ, ứng dụng tốt các kiến thức vào giải quyết các nhiệm vụ cụ thể, thực tế, có
thói quen làm việc khoa học, trung thực, cẩn thận, tỉ mỉ, tự giác, có ý thức trách
nhiệm với bản thân, gia đình, xã hội, có thể hòa hợp với môi trường thiên nhiên,
chuẩn bị hành trang đi vào cuộc sống lao động.
Dạng toán giải phương trình bậc cao củng cố được nhiều kiến thức cơ bản.
Rèn được nhiều kĩ năng cơ bản. Đặc biệt là hình thành thói quen và khả năng tư
duy lôgic, óc sáng tạo, cách phân tích tổng hợp, khái quát hóa.
Trong thực tế giảng dạy, việc giải bài tập toán học nói chung, bài tập về giải
phương trình bậc cao nói riêng, đối với học sinh còn gặp nhiều khó khăn, một số
học sinh làm bài tập một cách máy móc, lúng túng trong phương pháp và cách
trình bày chưa được khoa học, hợp lý và đôi khi còn không biết bắt đầu từ đâu
và giải như thế nào ?
Là một giáo viên dạy Toán , trăn trở với những lỗi học sinh dễ mắc, thường
mắc khi giải toán, đặc biệt với dạng toán giải hệ phương trình bậc cao.
Trong giảng dạy tôi luôn cố gắng tìm tòi, phát hiện và ghi chép lại những lỗi
học sinh dễ mắc, thường mắc để có biện pháp khắc phục, điều chỉnh phương
pháp giảng dạy phù hợp kiến thức, đối tượng học sinh và kiểu bài lên lớp. Từng
bước hướng dẫn học sinh nắm vững cách phân tích tìm tòi lời giải phù hợp với
đặc trưng , với yêu cầu từng bài. Chọn cách giải ít dẫn đến sai sót về kiến thức
và kĩ năng. Đảm bảo bài giải đúng, khoa học và sáng tạo.
Qua nghiên cứu và phân dạng bài tập tôi nhận thấy dạng bài tập này là một
dạng toán khó thường có trong các kì thi : vào 10, học sinh giỏi
Xuất phát từ những lí do trên tôi đã nghiên cứu và thực hiện đề tài Ph¬ng pháp giải phương trình bậc cao ®Æc biÖt cho học sinh lớp8, 9 để
góp phần nâng cao chất lượng và hiệu quả giảng dạy bộ môn Toán học.
2. Ý nghĩa của giải pháp mới
Giáo viên: Hữu Thị Hoa
Trường THCS Thị Trấn Khoái Châu
Trang
3
PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐẶC BIỆT CHO HỌC SINH LỚP 8,9
Trên cơ sở nghiên cứu về đề tài, tôi đã hệ thống lại các dạng bài về giải
phương trình bậc cao, trên cơ sở hệ thống các kiến thức liên quan, xây dựng
phương pháp giải chung cho từng loại và lập kế hoạch cho học sinh từng bước
tiếp cận với từng dạng bài sao cho phù hợp với thời lượng chương trình và nội
dung kiến thức trên lớp. Sau mỗi nội dung thực hiện được, tôi có phương pháp
kiểm tra đánh giá kịp thời, nhằm đánh giá sự tiến bộ của học sinh, cũng như thu
lại tín hiệu ngược của quá trình giảng dạy để từ đó có các biện pháp cải tiến
phương pháp dạy học phù hợp cho từng đối tượng nhằm nâng cao dần chất
lượng giảng dạy và gây hứng thú, say mê cho học sinh.
Khi áp dụng đề tài nghiên cứu này vào giảng dạy học sinh đã biết cách làm
các dạng bài toán giải phương trình bậc cao một cách nhanh và gọn. Học sinh
không còn lúng túng và thấy ngại khi gặp dạng bài tập này.
Kết quả nhận được như sau:
Học sinh của tôi không còn lúng túng về phương pháp giải cho từng
-
dạng bài trên.
Biết lựa chọn cách giải hợp lí, nhanh, gọn, lời giải chặt chẽ.
3. Phạm vi nghiên cứu của đề tài
- Đề tài được tiến hành nghiên cứu tại trường THCS Thị trấn Khoái Châu
- Khoái Châu - Hưng Yên
- Đối tượng: học sinh lớp 9A là lớp thực nghiệm và lớp 9B là lớp đối
chứng.
- Lĩnh vực khoa học nghiên cứu là lĩnh vực chuyên môn.
II. PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH
1. Cơ sở lý luận
Quy luật của quá trình nhận thức từ trực quan sinh động đến tư duy
trừu tượng. Song quá trình nhận thức đó đạt hiệu quả cao hay không, có
bền vững hay không còn phụ thuộc vào tính tích cực, chủ động sáng tạo
của chủ thể.
Đặc điểm của lứa tuổi thiếu niên là đang có xu hướng vươn lên làm
người lớn, muốn tự mình tìm hiểu, khám phá trong quá trình nhận thức. Ở
Giáo viên: Hữu Thị Hoa
Trường THCS Thị Trấn Khoái Châu
Trang
4
PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐẶC BIỆT CHO HỌC SINH LỚP 8,9
lứa tuổi học sinh trung học cơ sở có điều kiện thuận lợi cho khả năng tự
điều chỉnh hoạt động học tập và sẵn sàng tham gia vào các hoạt động khác
nhau. Các em có nguyện vọng muốn các hình thức học tập mang tính chất
Người lớn tuy nhiên nhược điểm của các em là chưa biết cách thực hiện
nguyện vọng của mình, chưa nắm được các phương thức thực hiện các
hình thức học tập mới .
Vì vậy cần có sự hướng dẫn, điều hành một cách khoa học và nghệ
thuật của các thầy cô.
Trong lý luận về phương pháp dạy học cho thấy. Trong môn toán sự
thống nhất giữa điều khiển của thầy và hoạt động học tập của trò có thể
thực hiện được bằng cách quán triệt quan điểm hoạt động, thực hiện dạy
học toán trong và bằng hoạt động. Dạy học theo phương pháp mới phải
làm cho học sinh chủ động nghĩ nhiều hơn, làm nhiều hơn, tham gia nhiều
hơn trong quá trình chiếm lĩnh tri thức toán học.
Dạy học toán thông qua kiến thức phải dạy cho học sinh phương pháp
tư duy quan điểm này cho rằng dạy toán là phải dạy suy nghĩ, dạy bộ óc
của học sinh thành thạo các thao tác tư duy phân tích, tổng hợp, trừu tượng
hoá, khái quát hoá .. . Trong đó phân tích tổng hợp có vai trò trung tâm.
Phải cung cấp cho học sinh có thể tự tìm tòi, tự mình phát hiện và phát
biểu vấn đề dự đoán được các kết quả, tìm được hướng giải quyết một bài
toán, hướng chứng minh một định lý . . .
Hình thành và phát triển tư duy tích cực độc lập sáng tạo trong dạy học
môn toán cho học sinh là một quá trình lâu dài, thông qua từng tiết học,
thông qua nhiều năm học, thông qua tất cả các khâu của quá trình dạy học
trong nội khoá cũng như ngoại khoá.
2. Cơ sở thực tiễn
Trong quá trình giảng dạy môn Toán học THCS tôi nhận thấy lượng kiến
thức mà học sinh phải chiếm lĩnh trong một giờ lên lớp tương đối nhiều, số tiết
dành cho luyện tập rất ít, mà đặc điểm của học sinh THCS là khả năng tập trung,
Giáo viên: Hữu Thị Hoa
Trường THCS Thị Trấn Khoái Châu
Trang
5
PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐẶC BIỆT CHO HỌC SINH LỚP 8,9
tổng hợp, khái quát hóa chưa cao. Hơn nữa trong một lớp học có nhiều đối
tượng học sinh có trình độ nhận thức khác nhau, điều đó gây không ít khó khăn
cho giáo viên khi vừa phải chú ý bồi dưỡng học sinh khá, giỏi, lại vừa phải quan
tâm học sinh yếu kém. Xuất phát từ thực tiễn đó nên tôi thiết nghĩ nếu không
phân dạng các bài tập toán học nói chung và bài tập về giải phương trình bậc
cao nói riêng, mà giáo viên hướng dẫn giải bài tập một cách dàn trải sẽ khó thu
được kết quả cao trong thời lượng tiết học có hạn, khối lượng kiến thức rất lớn
mà phạm vi ứng dụng lại đa dạng, với nhiều mức độ nhận thức khác nhau của
học sinh từ nhận biết, thông hiểu, vận dụng ở cấp độ thấp đến vận dụng ở cấp độ
cao. Trên cơ sở đó, tôi mạnh dạn nghiên cứu và thực hiện đề tài để vừa đảm bảo
kiến thức cơ bản vừa có thể kích thích khả năng tự lực, sáng tạo, tích cực, tự
giác của học sinh để nâng cao chất lượng đại trà cũng như chất lượng mũi nhọn
của bộ môn.
3. Các biện pháp tiến hành
Qua quá trình nghiên cứu sách giáo khoa, các tài liệu tham khảo, tạp chí
giáo dục trong xu thế đẩy mạnh công cuộc đổi mới căn bản, toàn diện trong
giáo dục, xuất phát từ mâu thuẫn giữa thực tiễn dạy học và đảm bảo đạt chuẩn
mục tiêu đầu ra, tôi nhận thấy phải đổi mới toàn diện từ mục tiêu, nội dung,
phương pháp dạy học cho từng nội dung, từng bài, từng chương nhằm tích cực
hóa hoạt động của người học để người học tự giác, tích cực chiếm lĩnh tri thức,
hình thành và phát triển năng lực nhận thức và năng lực hành vi.
Trong phạm vi của đề tài, tôi đã thực hiện một số biện pháp đạt hiệu quả
cao như: phân dạng các bài tập một cách khái quát, xây dựng phương pháp giải
và có các bài tập minh họa, bài tập tương tự cho từng dạng bài.Đổi mới phương
pháp dạy học tích cực và đổi mới kiểm tra đánh giá, vừa thực hiện tự đánh giá
và đánh giá lẫn nhau nghĩa là sau khi các nhóm học sinh hoàn thành nhiệm vụ
giáo viên có thể đưa ra đáp án chuẩn, phương pháp trình bày khoa học nhất từ
đó yêu cầu các em tự đánh giá hoặc cho các nhóm đánh giá chéo nhau để đảm
bảo khách quan, kết hợp với đánh giá của giáo viên. Giáo viên đánh giá cao các
cách giải hay, sáng tạo của học sinh nhằm kịp thời động viên các em tích cực
phát huy vận dụng sáng tạo trong học tập. Việc kết hợp đổi mới mục tiêu, nội
dung và phương pháp dạy học như vậy không những khiến cho học sinh phát
triển về mặt trí tuệ, thể lực, nhân cách, còn giúp cho các giờ học trở nên nhẹ
nhàng, hiệu quả, đồng thời rèn cho các em nhiều kĩ năng như tự nghiên cứu, tư
Giáo viên: Hữu Thị Hoa
Trường THCS Thị Trấn Khoái Châu
Trang
6
PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐẶC BIỆT CHO HỌC SINH LỚP 8,9
duy tổng hợp, khái quát hóa, khả năng liên hệ, vận dụng linh hoạt, kĩ năng ra
quyết định, nhận xét, đánh giá và kĩ năng giao tiếp
4. Thời gian tạo ra giải pháp
Tôi nghiên cứu và thực hiện đề tài này trong năm học 2015-2016. hoàn thành
vào tháng 05 năm 2016.
PHẦN THỨ 2. NỘI DUNG
A. MỤC TIÊU CỦA ĐỀ TÀI
* Kiến thức:
- Học sinh hệ thống được các dạng bài tập về giải phương trình bậc cao đặc
biệt, từ đó có phương pháp giải phù hợp cho từng dạng.
- Học sinh hiểu và vận dụng các phương pháp giải phương trình bậc cao để
giải một số dạng bài tập khác.
* Kĩ năng:
- Củng cố kĩ năng giải phương trình, và một số dạng toán quy về phương
trình bậc 2.
* Thái độ và phẩm chất:
- Học sinh có hứng thú khi học tập bộ môn từ đó tích cực, tự tin, tự chủ, chủ
động sáng tạo trong việc chiếm lĩnh kiến thức.
Giáo viên: Hữu Thị Hoa
Trường THCS Thị Trấn Khoái Châu
Trang
7
PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐẶC BIỆT CHO HỌC SINH LỚP 8,9
* Năng lực: Tự học, sáng tạo, tính toán, giao tiếp.
B. MÔ TẢ GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI
1. Thuyết minh đề tài
§1
ĐƯỜNG LỐI CHUNG
1)Trước tiên học sinh nắm được kiến thức cơ bản và kiến thức mở rộng
để vận dụng vào làm các dạng toán về giải phương trình bậc cao.
2) Phân chia các dạng bài tập.
A) Phương trình bậc ba một ẩn đặc biệt.
B) Phương trình bậc bốn một ẩn đặc biệt.
Dạng 1: Giải phương trình: ax4 + bx2 + cx + d = 0(a 0) bằng cách nhẩm
nghiệm:
Dạng 2:Phương trình trùng phương : ax4 + bx2 + c = 0(a 0)
Dạng 3: Phương trình đối xứng : ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0 (a 0)
Dạng 4: Phương trình hồi quy : ax4 + bx3 + cx2 + mx + n = 0 (a 0)
Dạng 5: Phương trình (x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=m
Dạng 6: Phương trình (x+a)(x+b)(x+c)(x+d)= mx2
Dạng 7: Phương trình (x+a)4 + (x+b)4 = m (1)
Dạng 8: Phương trình (x+a)4 + (x+b)4 = (2x+ a+b)4
Dạng 9: Phương trình ax2 + bxy + cy2=0 (1)( dạng đẳng cấp bậc hai)
Dạng 10: Phương trình dạng (ax +b)(ax+b+1)2(ax+b+2) = m
Dạng 11: Phương trình dạng : An = Bn
Dạng 12: Một số dạng khác.
C. Ứng dụng giải phương trình bậc 3, 4 để giải một số bài toán về phương
trình quy về bậc hai:
Dạng 1. Điều kiện về nghiệm của một số phương trình bậc ba quy về bậc hai :
ax3 + bx2 + cx + d =0(a 0)
Dạng 2. Điều kiện về nghiệm của một số phương trình bậc bốn quy về bậc hai
§2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT
- Phương trình tích:.
F(x). G(x) ... H(x) = 0
F(x) = 0
G(x) = 0
.............
H(x) = 0
- Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ :
(A +B)2 = A2 + 2AB +B2
Giáo viên: Hữu Thị Hoa
Trường THCS Thị Trấn Khoái Châu
Trang
8
PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐẶC BIỆT CHO HỌC SINH LỚP 8,9
(A - B)2 = A2 2AB +B2
A2 B2 = (A B)(A + B)
(A + B)3 = A3 + 3A2B+3AB2 + B3
(A - B)3 = A3 - 3A2B+3AB2 - B3
A3 + B3 = (A+B)(A2 - AB +B2)
A3 B3 = (A - B)(A2 +AB +B2)
- Công thức nghiệm của phương trình bậc hai :
Đối với phương trình ax2 + bx +c = 0
= b 2 ac
Nếu > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x1 =
b+
b
và x 2 =
2a
2a
Nếu = 0 thì phương trình có nghiệm kép x1 = x 2 =
b
2a
Nếu < 0 thì phương trình vô nghiệm.
- Định lí Vi- ét : Nếu x1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình ax 2 + bx + c =0 (a
b
x
+
x
=
1
2
a
0) thì
c
x1 x 2 =
a
- Sơ đồ Horner:
n
n 1
Chia đa thức P( x ) = a0 x + a1 x + ...a n1 x + a n cho x= c ta có:
P( x ) = ( x c)(b0 x n 1 + b1 x n 2 + ... + bn 1 x + bn 1 ) + bn
Sơ đồ xác định b1
a0
a1
c
b0
b1
Với b0 = a0 và bi = cbi-1+a1(i =1,2,...,n)
- Tam giác Pascas:
Giáo viên: Hữu Thị Hoa
a2
b2
Trường THCS Thị Trấn Khoái Châu
...
...
an
bn
Trang
9
PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐẶC BIỆT CHO HỌC SINH LỚP 8,9
§3 PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH
A. Phương trình bậc ba một ẩn đặc biệt: ax3 + bx2+ cx+d = 0(a 0) (1).
a) Phương pháp giải:
- Nếu phương trình có : b + d = a + c thì phương trình luôn có một nghiệm
x = -1.
- Nếu phương trình có : a + b + c + d= 0 thì phương trình luôn có một
nghiệm x = 1.
- Nếu x = m ±1 là nghiệm thì dùng máy tính cầm tay để nhẩm nghiệm .
Giáo viên: Hữu Thị Hoa
Trường THCS Thị Trấn Khoái Châu
Trang
10
PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐẶC BIỆT CHO HỌC SINH LỚP 8,9
- Phân tích vế trái thành nhân tử hoặc dùng sơ đồ Honer để đưa phương
trình(1) về dạng phương trình tích.
b) Ví dụ:
a. Giải phương trình: x3 - 6x2 + 11x - 6 = 0 (1)
Hướng dẫn : Nhận thấy phương trình có tổng các hệ số bằng không nên
có một nghiệm bằng 1. Do đó dùng sơ đồ Honer để biến đổi vế trái về dạng tích.
Giải :
Ta có a + b + c + d = 1 - 6 +11 - 6 = 0 nên phương trình có một nghiệm
x=1.Thực hiện phép chia đa thức vế trái cho x-1 .
Sơ đồ Honer:
1
1
1
-6
-5
11
6
-6
0
Khi đó (1) (x-1)(x2-5x+6)=0
(x-1)(x2 - 3x-2x+6)=0
(x-1)(x - 3)(x-2)=0
x 1 = 0
x =1
x 3 = 0 x = 2
x 2 = 0
x = 3
Vậy S = { 1;3;2}
b. Giải phương trình: x3 - 5x2 + 7x - 2 = 0 (1)
Hướng dẫn : Nhận thấy, phương trình không có tổng các hệ số bằng
không hoặc tổng các hệ số chẵn bằng tổng các hệ số lẻ . Do đó phương trình
không thể có nghiệm bằng 1 hoặc -1. Nên dùng máy tính để nhẩm nghiệm và (1)
có nghiệm là 2. Nên x- 2 là một nhân tử của vế trái.
Giải
x3 - 5x2 + 7x - 2 = 0 (1)
x3 - 2x2 - 3x2 + 6x + x - 2 = 0
x2(x-2) -3x(x-2) + (x-2) = 0
(x-2)(x2 - 3x + 1) = 0
Giáo viên: Hữu Thị Hoa
Trường THCS Thị Trấn Khoái Châu
Trang
11
PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐẶC BIỆT CHO HỌC SINH LỚP 8,9
3
9 5
( x 2 ) x 2 2.x. + ÷ = 0
2
4 4
2
3 5
( x 2 ) x ÷ = 0
2 4
3
5
3
5
( x 2) x
÷ x +
÷= 0
2 2
2 2
x2=0
x=2
3
5
3+ 5
x
= 0 x =
2 2
2
x 3 + 5 = 0
x = 3 5
2 2
2
3 ± 5
2
Vậy S = 2;
Lời bình: Khi giải phương trình ở câu a thì học sinh thấy rất dễ dàng vì có thể
nhẩm nghiệm được luôn nhưng đến ví dụ ở câu b thì phương trình không có
nghiệm là 1 hoặc -1. Do đó học sinh lúng túng nên giáo viên cần hướng dẫn học
sinh dùng máy tính nhẩm nghiệm để tìm ra một nghiệm rồi phân tích vế trái
thành nhân tử, biến đổi đưa về phương trình tích.
Bài tập tương tự
c) -6x3 + x2 + 5x - 2 = 0
d) x3 + 3x2 - 10x - 24 = 0
B. Phương trình bậc bốn một ẩn đặc biệt.
Dạng 1: Giải phương trình: ax4 + bx3+ cx2 + dx+ e = 0(a 0) (1) bằng cách
nhẩm nghiệm:
a)Phương pháp giải:
- Nếu phương trình có : a+c+e = b+d thì phương trình luôn có một nghiệm
x = -1.
- Nếu phương trình có : a+ b+c+d+e=0 thì phương trình luôn có một nghiệm
x = 1.
- Nếu x= m ±1 là nghiệm của (1) thì thay x=m vào (1), vế trái có giá trị
bằng 0 ( thông thường áp dụng cho những nghiệm có giá trị nhỏ).
- Phân tích vế trái thành nhân tử hoặc dùng sơ đồ Honer đê đưa phương
trình(1)về dạng tích.
Giáo viên: Hữu Thị Hoa
Trường THCS Thị Trấn Khoái Châu
Trang
12
PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐẶC BIỆT CHO HỌC SINH LỚP 8,9
b) Ví dụ:
a. Giải phương trình: x4 - 8x3 + 11x2 + 8x - 12 = 0 (1)
Hướng dẫn : Nhận thấy phương trình có tổng các hệ số bằng không
nên có một nghiệm bằng 1. Do đó dùng sơ đồ Honer để biến đổi vế trái về dạng
tích.
Giải
Nhận thấy :1 - 8 + 11 + 8- 12 = 0 nên phương trình luôn có nghiệm x
= 1. Do đó :
(1) x4 - x3- 7x3 + 7x2+ 4x2 - 4x + 12x - 12 = 0
x3(x - 1)- 7x2(x-1) + 4x(x - 1) + 12(x - 1) = 0
(x - 1)(x3 -7x2 + 4x+ 12) = 0 (2)
Đến đây có thể dùng máy tính nhẩm nghiệm bậc ba hoặc dùng
phương pháp nhẩm nghiệm như bước một : 1 + 4 = -7 + 12 = 5. Do đó phương
trình có nghiệm là x = -1 .
(2) (x- 1)(x3 + x2 - 8x2 - 8x + 12x + 12) = 0
(x-1)(x+1)(x2 - 8x + 12) = 0
(x-1)(x+1)(x2 - 6x - 2x+ 12) = 0
(x-1)(x+1)(x - 6)(x - 2) = 0
x-1= 0; x+1=0; x - 6=0; x - 2 = 0
x=1; x= -1; x =6; x = 2
Vậy S = { ±1;6;2}
b. Giải phương trình: -3x4 + 20x3 - 35x2 - 10x + 48 = 0 (1)
Hướng dẫn : Nhận thấy phương trình có tổng các hệ số chẵn bằng
tổng các hệ số lẻ nên có một nghiệm bằng - 1. Do đó biến đổi vế trái thành nhân
tử bằng cách tách hạng tử.
Giải
Nhận thấy -3 -35 + 48 = 20 - 10 = 10 nên phương trình luôn có nghiệm x = - 1.
Do đó :
(1) - 3x4 - 3x3 + 23x3 + 23x2 - 58x2 - 58x + 48x + 48 = 0
- 3x3(x+1) + 23x2(x + 1) - 58x(x + 1) + 48(x+1) = 0
(x+1)(- 3x3 + 23x2 - 58x + 48) = 0
(x+1)(- 3x3 + 6x2+ 17x2 - 34x - 24x + 48) = 0
(x+1)(x - 2)(-3x3 + 17x2 - 24) = 0
(x+1)(x - 2)(-3x3 + 9x2 + 8x2 - 24) = 0
Giáo viên: Hữu Thị Hoa
Trường THCS Thị Trấn Khoái Châu
Trang
13
PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐẶC BIỆT CHO HỌC SINH LỚP 8,9
(x+1)(x - 2)(x - 3)(-3x + 8) = 0
x = -1; x= 2; x = 3; x =
8
3
8
Vậy S = 1;2;3;
3
Lời bình: ở ví dụ a, b học sinh làm tương tự dạng phương trình bậc 3 đặc biệt .
Cần chú ý cho học sinh khi phân tích thành nhân tử ở vế trái cẩn thận khi tách ,
nhóm các hạng tử.
Bài tập tương tự
c) -2x4 - 7x3 - x2 + 7x + 3 = 0
d) x4 - 4x3 - 6x2 + 11x - 2 = 0
Dạng 2:Phương trình trùng phương : ax4 + bx2 + c = 0(a 0) (1)
a) Nhận biết: phương trình bậc bốn, khuyết bậc ba và bậc một.
b) Phương pháp giải:
+ Đặt t = x2 ( t 0 ) (2) khi đó (1): at2 + bt + c = 0 (3)
+ Giải (3) bằng cách nhẩm nghiệm hoặc công thức nghiệm tìm t.
+ Thay t vào (2) tìm x.
c) Bài tập:
a. Giải phương trình: x4 - 13x2 + 36 = 0 (1)
Hướng dẫn : Nếu ta đặt t =x2 ( t 0 ) thì (1) quy về phương trình bậc
hai. Sau đó, có thể giải phương trình bậc hai bằng công thức nghiệm hoặc đưa
về phương trình tích.
Giải
Đặt t = x2 ( t 0 ) (2) khi đó (1): t2 - 13t + 36 = 0
t2 - 4t - 9t + 36 = 0
(t - 4)(t - 9) = 0
t - 4 = 0 hoặc t - 9 = 0
t = 4 (TM) hoặc t = 9(TM)
* t = 4 thay vào (2) : x2 = 4 x = ±2
* t = 9 thay vào (2) : x2 = 9 x = ±3
Vậy S = { ±2; ±3}
Lời bình: Với ví dụ này học sinh rất dễ quên không đặt điều kiện cho ẩn phụ,
dẫn đến khi tìm được nghiệm của ẩn t không so sánh với điều kiện để loại nếu là
Giáo viên: Hữu Thị Hoa
Trường THCS Thị Trấn Khoái Châu
Trang
14
PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐẶC BIỆT CHO HỌC SINH LỚP 8,9
nghiệm âm. Sai lầm thứ 2 là khi thay giá trị của t dương để tìm x thì chỉ có một
giá trị của x. Giáo viên khi dạy dạng này cần chú ý cho học sinh.
b. Giải phương trình: 2x4 + 5x2 + 2 = 0 (1)
Đặt t = x2 ( t 0 ) (2) khi đó (1): 2t2 + 5t + 2 = 0
2t2 +4t + t + 2 = 0
(t +2 )(2t +1) = 0
t + 2 = 0 hoặc 2t + 1 = 0
t = -2 (KTM) hoặc t = -
1
(KTM)
2
Vậy S = Φ
Bài tập tương tự
c. 9x4 + 6x2 + 1 = 0
d. 2x4 - 7x2 - 4 = 0
Dạng 3: Phương trình đối xứng : ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0 (a 0) (1)
a) Nhận biết : ở vế trái, các hệ số của các số hạng cách đều số hạng đầu và số
hạng cuối thì bằng nhau..
b) Phương pháp giải:
- Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của (1) chia cả hai vế của
phương trình cho x2 và nhóm các số hạng cách đều hai số hạng đầu và cuối
thành từng nhóm được phương trình (2):
ax 2 + bx + c +
b a
+ =0
x x2
1
1
a x 2 + 2 ÷+ b x + ÷+ c = 0 (2)
x
x
1
x
- Đặt ẩn phụ x + = t (3) x 2 +
1
= t 2 2 rồi thế vào phương trình (2)
2
x
a(t2 - 2) + bt + c = 0
at2 + bt 2a + c = 0 giải phương trình trung gian này tìm được t.
- Thế giá trị của y vào (3) để tìm x.
c. Ví dụ
a) Giải phương trình : 3x4 - 13x3 + 16x2 - 13x + 3 = 0 (1)
Hướng dẫn:
Giáo viên: Hữu Thị Hoa
Trường THCS Thị Trấn Khoái Châu
Trang
15
PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐẶC BIỆT CHO HỌC SINH LỚP 8,9
Trước tiên, yêu cầu học sinh nhận biết xem đây có phải là phương trình đối
xứng không? Và thấy rằng: ở vế trái, các hệ số của các số hạng cách đều số
hạng đầu và số hạng cuối thì bằng nhau nên áp dụng cách giải tổng quát để giải.
Giải
- Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của (1) chia cả hai vế của phương trình
3x 2 13 x + 16
cho x2 ta được:
3 x 2 +
13 3
+ =0
x x2
1
1
13 x ÷+ 16 = 0 (2)
2 ÷
x
x
1
x
- Đặt x + = t (3) x 2 +
1
= t 2 2 rồi thế vào phương trình (2):
2
x
3(t2-2) - 13t + 16 = 0
3t2 - 13t + 10 = 0
(t - 1) (3t 10) = 0
t - 1 = 0 hoặc 3t 10 = 0
t = 1 hoặc t =
10
3
* t = 1 thay vào (3) :
1
=1
x
x2 x + 1 = 0
1
3
( x ) 2 + > 0x
2
4
x+
*t=
10
thay vào (3) :
3
1 10
=
x 3
3 x 2 10 x + 3 = 0
( x 3)(3 x 1) = 0
1
x = 3; x =
3
x+
Vậy S = 3;
1
3
Lời bình: Ở ví dụ này học sinh phải hiểu được tại sao lại phải nhận xét x=0
không phải là nghiệm thì mới chia. Vấn đề là nếu x=0 là một nghiệm của
phương trình thì khi chia sẽ làm mất nghiệm. Thứ 2 là khi ra đế phương trình
Giáo viên: Hữu Thị Hoa
Trường THCS Thị Trấn Khoái Châu
Trang
16
PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐẶC BIỆT CHO HỌC SINH LỚP 8,9
này x 2 x + 1 = 0 dễ dàng chứng minh được nó vô nghiệm nhưng đôi khi lại mất
thời gian đi giải chúng.
b) Giải phương trình : 6x4 + 7x3 - 36x2 - 7x + 6 = 0 (1)
- Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của (1) chia cả hai vế của phương trình
6x 2 + 7 x 36
cho x2 ta được:
6 x2 +
7 6
+ =0
x x2
1
1
+ 7 x ÷ 36 = 0 (2)
2 ÷
x
x
1
x
- Đặt x = t (3) x 2 +
1
= t 2 + 2 rồi thế vào phương trình (2):
2
x
6(t2+2) + 7t - 36 = 0
6t2 + 7t 24 = 0
(3t + 8) (2t 3) = 0
3t + 8 = 0 hoặc 2t 3 = 0
t=*t=-
8
3
hoặc t =
3
2
8
thay vào (3) :
3
1
8
=
x
3
2
3x + 8x 3 = 0
( x + 3)(3 x 1) = 0
1
x = 3; x =
3
x
*t=
3
thay vào (3) :
2
1 3
=
x 2
2 x 2 + 3x 2 = 0
( x 2)(2 x + 1) = 0
1
x = 2; x =
2
x
1
1
Vậy S = 3; ;2;
3
2
Phương pháp giải của dạng này còn áp dụng giải phương trình đối xứng bậc 5:
ax5 + bx4 +cx3 + cx2 + bx + a = 0 (1)
Giáo viên: Hữu Thị Hoa
Trường THCS Thị Trấn Khoái Châu
Trang
17
PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐẶC BIỆT CHO HỌC SINH LỚP 8,9
Sử dụng phương pháp nhẩm nghiệm : nếu phương trình có tổng các hệ số bậc
lẻ bằng tổng các hệ số bậc chẵn thì phương trình luôn có một nghiệm là - 1, nếu
phương trình có tổng các hệ số bậc lẻ bằng đối tổng các hệ số bậc chẵn thì
phương trình luôn có một nghiệm là 1. Để để biến đổi (1) thành phương trình
tích rồi chuyển về giải phương trình bậc 4 đối xứng.
c)Giải phương trình : 3x5 - 10x4 + 3x3 + 3x2 - 10x + 3 = 0 (1)
Nhận thấy 3 + 3 - 10 = -10 + 3 + 3 = - 7 nên phương trình luôn có
một nghiệm là - 1. Do đó (1):
3x5 + 3x4 - 13x4 - 13x3 + 16x3 + 16x2 - 13x2 - 13x +3x + 3 = 0
3x4(x+1) - 13x3(x+1) + 16x2(x+1) - 13x(x+1) + 3(x+1) = 0
(x+ 1)(3x4 - 13x3 + 16x2 - 13x + 3) = 0
x = 1 hoặc 3x4 - 13x3 + 16x2 - 13x + 3 = 0 (*)
Giải (*) : 3x4 - 13x3 + 16x2 - 13x + 3 = 0
- Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của (1) chia cả hai vế của
phương trình cho x2 ta được:
3 x 2 +
3x 2 13 x + 16
13 3
+ =0
x x2
1
1
13 x ÷+ 16 = 0 (2)
2 ÷
x
x
1
x
- Đặt x + = t (3) x 2 +
1
= t 2 2 rồi thế vào phương trình (2):
x2
3(t2-2) - 13t + 16 = 0
3t2 - 13t + 10 = 0
(t - 1) (3t 10) = 0
t - 1 = 0 hoặc 3t 10 = 0
t = 1 hoặc t =
10
3
* t = 1 thay vào (3) :
1
=1
x
x2 x + 1 = 0
x+
2
1 3
x ÷ + > 0x
2 4
*t=
10
thay vào (3) :
3
Giáo viên: Hữu Thị Hoa
Trường THCS Thị Trấn Khoái Châu
Trang
18
PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐẶC BIỆT CHO HỌC SINH LỚP 8,9
1 10
=
x 3
3 x 2 10 x + 3 = 0
( x 3)(3 x 1) = 0
1
x = 3; x =
3
x+
Vậy S = 1;3;
1
3
Bài tập tương tự
d) 6x4 + 5x3 - 38x2 +5x + 6 = 0
e) 2x4 - 9x3 + 14x2 - 9x + 2 = 0
Dạng 4: Phương trình hồi quy : ax4 + bx3 + cx2 + mx + n = 0 (a 0) (1)
2
n
m
a) Nhận biết : = ÷
a b
b) Phương pháp giải: Tương tự phương trình đối xứng chỉ khác bước đặt ẩn
phụ
t = x+
m
m2
2m
x2 + 2 2 = t 2
bx
b x
b
c) Ví dụ
a. Giải phương trình : x4 + 5x3 + 10x2 + 15x + 9 = 0 (1)
Hướng dẫn:
2
9
15
- Yêu cầu học sinh nhận dạng phương trình : = ÷ = 9 nên đây là
1 5
phương trình hồi quy. Do đó áp dụng cách giải tổng quát để giải.
Giải
- Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của (1) chia cả hai vế của phương trình
x 2 + 5 x + 10 +
cho x2 ta được:
x2 +
15 9
+
=0
x x2
9
3
+ 5 x + ÷+ 10 = 0 (2)
2 ÷
x
x
3
x
- Đặt x + = t (3) x 2 +
9
= t 2 6 rồi thế vào phương trình (2):
2
x
t2-6 + 5t + 10 = 0
t2 + 5t + 4 = 0
Giáo viên: Hữu Thị Hoa
Trường THCS Thị Trấn Khoái Châu
Trang
19
PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐẶC BIỆT CHO HỌC SINH LỚP 8,9
(t + 1) (t +4) = 0
t + 1 = 0 hoặc t +4 = 0
t = -1 hoặc t = - 4
* t = -1 thay vào (3) :
3
= 1
x
x2 + x + 3 = 0
1
11
( x ) 2 + > 0x
2
4
x+
* t = -4 thay vào (3) :
3
= 4
x
x2 + 4x + 3 = 0
( x + 1)( x + 3) = 0
x = 1; x = 3
x+
Vậy S = { 1; 3}
Lời bình: Khi dạy ở dạng này, học sinh hay lúng túng bước chuyển từ ẩn x sang
3
x
t ở chỗ x + = t (3) x 2 +
9
= t 2 6 áp dụng hằng đẳng thức số 1 khi cộng với 2
2
x
lần tích thì rút gọn hết ẩn x (còn 6) đấy là cái hay của bài toán,
b. Giải phương trình : x4 + 5x3 -14x2 -20x + 16 = 0 (1)
- Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của (1) chia cả hai vế của phương trình
x 2 + 5 x 14
cho x2 ta được:
x2 +
20 16
+ =0
x x2
16
4
+ 5 x ÷ 14 = 0 (2)
2 ÷
x
x
4
x
- Đặt x = t (3) x 2 +
16 2
= t + 8 rồi thế vào phương trình (2):
x2
t2+ 8 + 5t - 14 = 0
t2 + 5t - 6 = 0
(t - 1) (t +6) = 0
t - 1 = 0 hoặc t +6 = 0
t = 1 hoặc t = - 6
* t = 1 thay vào (3) :
Giáo viên: Hữu Thị Hoa
Trường THCS Thị Trấn Khoái Châu
Trang
20
PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐẶC BIỆT CHO HỌC SINH LỚP 8,9
4
=1
x
x2 x 4 = 0
1
17
( x )2 = 0
2
4
1
17
1
17
x
÷ x +
÷= 0
2
2
2
2
x
x=
1 ± 17
2
* t = - 6 thay vào (3) :
4
= 6
x
x2 + 6 x 4 = 0
x
( x + 3) 2 13 = 0
( x + 3 13 ) ( x + 3 + 13 ) = 0
x = 3 ± 13
1 ± 17
; 3 ± 13
2
Vậy S =
Bài tập tương tự
c. 2x4 - 5x3 -27x2 + 25x + 50 = 0
d. 3x4 + 6x3 -33x2 -24x + 48 = 0
Dạng 5: Phương trình dạng: (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = m
a) Nhận biết : a + d = c + b
b) Phương pháp giải :
- Khai triển vế trái (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = m (1)
(x+a)(x+d)(x+b)(x+c) = m
x 2 + (a + d ) x + ad x 2 + (c + b) x + cb -m = 0
x 2 + ( a + d ) x + ad x 2 + (b + c) x + bc
- Đặt ẩn phụ t =
(2)hoặc là một trong hai
2
biểu thức khi đó (1) :
(t- n)(t + n) m = 0
t2 - n2 m = 0 (3)
- Giải phương (3) tìm t thay vào (2) tìm x.
Giáo viên: Hữu Thị Hoa
Trường THCS Thị Trấn Khoái Châu
Trang
21
PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐẶC BIỆT CHO HỌC SINH LỚP 8,9
c) Ví dụ:
a) Giải phương trình : (x-1)(x-3)(x+5)(x+7) = 297(1)
Hướng dẫn:
Nhận thấy - 1+5 = -3 + 7 = 4 nên phải khai triển vế trái như thế nào để
đặt ẩn phụ hợp lí? Áp dụng cách giải tổng quát để giải.
Giải
(1) (x-1)(x+5)(x-3)(x+7) = 297
(x2 + 4x 5)(x2 + 4x 21) 297 = 0 (2)
Đặt t = x2 + 4x 13 (2) khi đó (1)
(t+ 8)(t- 8) 297 = 0
t2 64 297 = 0
t2 192 = 0
(t - 19) (t + 19) =0
t = 19 hoặc t = - 19
* t = 19 thay vào (2):
x2 + 4x 13 = 19
x2 + 4x 32 = 0
(x 4)(x + 8) = 0
x=4;x=-8
* t = -19 thay vào (2):
x2 + 4x 13 = - 19
x2 + 4x + 6 = 0
(x + 2)2 + 2 > 0 x
Vậy S = { 4; 8}
Lời bình: Khi dạy dạng này học sinh hay mắc sai lầm là không nhận biết
a + d = c + b mà nhóm bừa 2 trong 4 biểu thức (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) rồi
nhân nên sau khi nhân xong thì bế tắc không giải được. Do vậy bước nhận
biết rất quan trọng.
b) Giải phương trình : (x2+ 7x +12)(x2- 15x + 56) = 180 (1)
Hướng dẫn:
Nếu đặt ẩn phụ là một trong hai biểu thức ở vế trái là t thì (1) không thành
dạng hằng đẳng thức và như vậy phương trình không giải được. Vậy làm thế
Giáo viên: Hữu Thị Hoa
Trường THCS Thị Trấn Khoái Châu
Trang
22
PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐẶC BIỆT CHO HỌC SINH LỚP 8,9
nào để biến đổi về dạng phương trình dạng câu a? Phân tích 2 biểu thức
trong ngoặc thành nhân tử, (1) về dạng câu a.
Giải
(1) (x+3)(x+4)(x-7)(x- 8) = 180
(x+3)(x-7)(x+4)(x- 8) = 180
(x2 - 4x 21)(x2 - 4x 32) 180 = 0 (2)
Đặt t = x2 - 4x 21 (2) khi đó (1)
t(t- 11) 180 = 0
t2 11t 180 = 0
(t+9) (t - 20) =0
t = -9 hoặc t = 20
* t = -9 thay vào (2):
x2 - 4x 21 = - 9
x2 - 4x 12 = 0
(x +2)(x - 6) = 0
x = -2 ; x = 6
* t = 20 thay vào (2):
x2 - 4x 21 = 20
x2 - 4x 41 = 0
(x - 2)2 - 45 = 0
(x - 2)2 - 45 = 0
(x - 2 - 3 5 )(x -2 + 3 5 ) = 0
x = 2 ±3 5
Vậy S = { 2;6;2 ± 3 5}
Bài tập tương tự
c) x(x+1) (x+2)(x+3)= 24
d) (x+2)(x+5)(x-6)(x-9)=280
Dạng 6: Phương trình (x+a)(x+b)(x+c)(x+d)= mx 2 (1)
1) Nhận biết : ad = cb
2) Phương pháp giải :
Cách 1:
- Khai triển vế trái (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = mx2
Giáo viên: Hữu Thị Hoa
Trường THCS Thị Trấn Khoái Châu
Trang
23
PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐẶC BIỆT CHO HỌC SINH LỚP 8,9
(x+a)(x+d)(x+b)(x+c) mx2 = 0
x 2 + (a + d ) x + ad x 2 + (c + b) x + cb -mx2 = 0
x 2 + ( a + d ) x + ad x 2 + (b + c) x + bc
- Đặt ẩn phụ t =
(2)hoặc là một trong hai
2
biểu thức khi đó (1) :
(t- nx)(t + nx) mx2 = 0
t2 - x2 (n2+m) = 0 (3)
- Giải phương (3) tìm t thay vào (2) tìm x.
Cách 2: Giải tương tự phương trình đối xứng
3) Ví dụ
a) Giải phương trình : (x+10)(x+12)(x+15)(x+18)= 2x2 (1)
Hướng dẫn:
Nhận xét 10 . 18 = 12 . 15 = 180 nên khai triển vế trái như thế nào để đặt
ẩn phụ hợp lí nhất ? Nên vế trái giao hoán x-18 với x+10 và x+12 với x+15
để nhân đa thức với đa thức . Khi đó áp dụng cách giải tổng quát để giải.
Giải
(x+10)(x+18)(x+12)(x+15)= 2x2
Cách 1
(x2 + 28x + 180)(x2 + 27x + 180) = 2x2 (1)
Đặt t = x2 + 28x + 180(2) khi đó (1):
t (t-x) - 2x2 = 0
t2 - tx - 2x2 = 0
(t+x)( t- 2x) =0
t = - x ; t = 2x
* t = - x thay vào (2):
-x = x2 + 28x + 180
x2 + 29x + 180 = 0
(x+20)(x+2) = 0
x = - 20; x = -2
* t = 2x thay vào (2):
2x = x2 + 28x + 180
x2 + 26x + 180 = 0
(x+13)2 + 11 > 0 x
Vậy S = { 20; 2}
Giáo viên: Hữu Thị Hoa
Trường THCS Thị Trấn Khoái Châu
Trang
24
PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐẶC BIỆT CHO HỌC SINH LỚP 8,9
Cách 2 : Vì x = 0 không phải là nghiệm của phương trình nên chia cả hai
vế của (1) cho x2 được :
180
180
x + 28 +
÷ x + 27 +
÷ = 2 (2)
x
x
Đặt t = x +
55 180
+
(3)
2
x
Khi đó (2):
1 1
t + ÷ t ÷ = 2
2 2
9
t2 = 0
4
3 3
t ÷ t + ÷ = 0
2 2
3
t=±
2
* t=
3
thay vào (3):
2
55 180
3
+
=
2
x
2
2
2 x + 58 x + 360 = 0
x+
x 2 + 29 x + 180 = 0
Giải tương tự cách (1) x = - 20; x = - 2
* t=
3
thay vào (3):
2
55 180 3
+
=
2
x
2
2
2 x + 52 x + 360 = 0
x+
x 2 + 26 x + 180 = 0
Giải tương tự cách (1) phương trình vô nghiệm.
Lời bình: Ở dụ này, có 2 cách giải tuy nhiên cách 1 trình bày đơn giản hơn
tương tự dạng 5
b) Giải phương trình : (x-1)(x+2)(x+3)(x-6)+ 32x2 = 0
(x-1)(x-6)(x+3)(x+2)+ 32x2 = 0
(x2 7x + 6)(x2 + 5x +6) + 32x2 = 0 (1)
Vì x = 0 không phải là nghiệm của phương trình nên chia cả hai vế của (1)
2
cho x được :
Giáo viên: Hữu Thị Hoa
6
6
x 7 + ÷ x + 5 + ÷+ 32 = 0
(2)
x
x
Trường THCS Thị Trấn Khoái Châu
Trang
25
|
