Số mũ là một hàm được biểu diễn dưới dạng x ª, trong đó x biểu thị một hằng số, được gọi là cơ số, và ‘a’, số mũ của hàm này, và có thể là bất kỳ số nào. Số mũ được gắn vào vai trên bên phải của cơ sở. Nó xác định số lần cơ số được nhân với chính nó. Ví dụ, 4 3 đại diện cho một phép toán; 4 x 4 x 4 = 64. Mặt khác, lũy thừa phân số biểu thị gốc của cơ số, ví dụ, (81) 1/2 cho 9. Quy tắc số mũ bằng khôngXem xét một số cách mà chúng ta có thể xác định một số mũ, chúng ta có thể suy ra quy tắc số mũ bằng không bằng cách xem xét những điều sau: QUẢNG CÁO
x 2 / x 2 = x 2 – 2 = x 0 nhưng ta đã biết x 2 / x 2 = 1; do đó x 0 = 1 Do đó, chúng ta có thể kết luận rằng bất kỳ số nào, ngoại trừ số 0 được nâng lên lũy thừa 0 đều là 1.
Nhưng vì chúng ta biết rằng phép nhân của một và bất kỳ số mũ nào cũng tương đương với chính cấp số nhân. ⟹⟹ 8 0 = 1 × 8 0 = 1 × 1 Bây giờ, chúng ta viết số 1 và cơ số 8 bằng 0 lần. ⟹⟹ 8 0 = 1 Do đó, người ta chứng minh rằng bất kỳ số hoặc biểu thức nào được nâng lên thành lũy thừa của 0 luôn bằng 1. Nói cách khác, nếu số mũ bằng 0 thì kết quả là 1. Dạng tổng quát của quy tắc số mũ 0 được cho bởi: a 0 = 1 và (a / b) 0 = 1. ví dụ 1 (-3) 0 = 1 (2/3) 0 = 1 0 ° = không xác định. Điều này tương tự như chia một số cho số không. Do đó, chúng ta có thể viết quy tắc dưới dạng a ° = 1. Ngoài ra, quy tắc số mũ bằng không có thể được chứng minh bằng cách xem xét các trường hợp sau. Các máy tính khoa học Casio fx mà học sinh Việt Nam thường dùng cũng hiển thị “Math Error” khi nhập “0^0“. Ở phần 1, ta có hai giới hạn dạng $0^0$ và đều tính ra bằng $1.$ Tuy nhiên, không phải mọi giới hạn dạng $0^0$ đều có kết quả như vậy. Chẳng hạn: Ngoài ra, nếu xét hàm hai biến $f(x,y)=x^y$ thì hàm số này không tồn tại giới hạn khi $(x,y) \to (0,0).$ Như vậy $0^0$ lại là một dạng vô định. 3. Tóm lạiChính vì những lý do trên nên đã có những sự khác biệt giữa các phần mềm, trang web tính toán nổi tiếng như đã đề cập ở mục 1 và mục 2. Trong hầu hết giáo trình và sách Toán học, người ta xem $0^0$ là dạng vô định nhưng có một số giáo trình khác lại quy ước $0^0 = 1.$ Tham khảo ThuNhan, Wolfram, Desmos. Một thống kê của Google đã chỉ ra rằng hai trong những thắc mắc toán học phổ biến nhất là “?” và “?”. Bài viết này sẽ góp phần giải đáp thắc mắc thứ hai: $0^0=?$Trước hết ta điểm qua các máy tính, phần mềm, trang web đã tính “” như thế nào?Đầu tiên là. Công cụ tính toán của Google đã cho rằng: $0^0=1.$Tiếp theo là phần mềmcài sẵn trong hệ điều hành Windows trên máy tính, kết quả vẫn là $0^0=1.$Một trang web nổi tiếng về tính toán và vẽ đồ thị làcũng cho kết quả là: $0^0=1.$Hầu hết các máy tính cài sẵn trên smartphone cũng cho kết quả như vậy. Hai phần mềm toán học chuyên dụng làvàcũng cho ra $0^0=1.$Vậy có phải “”?Có một số lập luận đã chỉ ra rằng $0^0=1.$ Sau đây là 2 trong số các lập luận đó.Khảo sát và vẽ đồ thị hai hàm số $y=x^x$ và $y=(\sin x)^x$, ta được kết quả trong 2 hình sau:Dựa vào đồ thị hai hàm số này ta có:$$\lim_{x \to 0^+}x^x=1 \ \text{ và } \ \lim_{x \to 0^+}(\sin x)^x=1$$Từ định lí khai triển nhị thức Newton:$$(a+b)^n = \sum\limits_{k=0}^n C_n^k a^{n-k}b^k$$Áp dụng cho $a=1, b=0$ ta được:$$1=(1+0)^n= C_n^0.0^0 + C_n^1.0^1 + C_n^2.0^2 + … + C_n^n.0^n$$ Để đẳng thức này đúng thì phải thừa nhận $0^0=1.$Một trang web tính toán nổi tiếng khác là Wolfram Alpha thì cho rằng $0^0$ là một dạng vô định.Cácmà học sinh Việt Nam thường dùng cũng hiển thị “” khi nhập “”.Ở phần 1, ta có hai giới hạn dạng $0^0$ và đều tính ra bằng $1.$ Tuy nhiên, không phải mọi giới hạn dạng $0^0$ đều có kết quả như vậy. Chẳng hạn:$$\lim\limits_{t \to 0^+} \left( {e^{-1/t^2}} \right)^t = 0 \\ \lim\limits_{t \to 0^+} \left( {e^{-1/t^2}} \right)^{-t} = +\infty \\ \lim\limits_{t \to 0^+} \left( e^{-t} \right)^{2t} = e^{-2}$$ Ngoài ra, nếu xét hàm hai biến $f(x,y)=x^y$ thì hàm số này không tồn tại giới hạn khi $(x,y) \to (0,0).$Như vậy $0^0$ lại là một dạng vô định.Chính vì những lý do trên nên đã có những sự khác biệt giữa các phần mềm, trang web tính toán nổi tiếng như đã đề cập ởvà. Trong hầu hết giáo trình và sách Toán học, người ta xem $0^0$ là dạng vô định nhưng có một số giáo trình khác lại quy ước $0^0 = 1.$ |
