Tam giác vuông cân là gì

Kiến thức về tam giác cân và tam giác vuông cân là một trong những kiến thức quan trọng trong chương trình toán hình ở trung học cơ sở. Được ra thường xuyên trong các đề toán hình học, đặc biệt là lớp 7. Vì vậy các em học sinh phải hiểu và ghi nhớ chính xác các tính chất để vận dụng giải bài tập. Sau đây, mời các em học sinh VOH Giáo dục cùng ôn lại định nghĩa và những tính chất tam giác cân, vuông cân qua bài viết này nhé.

1. Tam giác cân

1.1. Định nghĩa

Tam giác cân là tam giác có 2 cạnh bên bằng nhau. Đỉnh của tam giác cân là giao điểm của hai cạnh bên. Góc được tạo bởi đỉnh được gọi là góc ở đỉnh, hai góc còn lại là góc đáy.

1.2. Tính chất tam giác cân

• Tính chất 1: Trong tam giác cân hai góc đáy bằng nhau

Ví dụ: Cho tam giác OAB cân tại O => góc OAB = góc OBA

• Tính chất 2: Tam giác có hai góc bằng nhau là tam giác cân.

Ví dụ: Cho tam giác BOD có góc BOD = góc BDO => tam giác BOD cân tại B

» Xem thêm: Tam giác cân là gì? Cách tính diện tích tam giác cân

2. Tam giác vuông cân

2.1. Định nghĩa

Tam giác vuông cân vừa là tam giác vuông và vừa là tam giác cân. Trong tam giác vuông cân có hai cạnh góc vuông bằng nhau và mỗi góc nhọn bằng 45 độ.

Ví dụ: Cho tam giác ABC có cạnh AB vuông góc với AC và AB=AC

Suy ra: tam giác ABC vuông cân tại A.

2.2. Tính chất tam giác vuông cân

• Tính chất 1: Tam giác vuông cân có 2 góc đáy bằng nhau và bằng 45 độ
• Tính chất 2: Các đường cao, đường trung tuyến và đường phân giác kẻ từ đỉnh có góc vuông của tam giác vuông cân trùng nhau và bằng một nửa cạnh huyền

Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, D là trung điểm đoạn BC.

Suy ra AD vừa là đường cao, vừa là đường phân giác và đường trung tuyến của BC.

\=>AD = BD = DC = ½ BC

3. Các dạng toán áp dụng tính chất tam giác cân thường gặp

Bài tập 1: Cho tam giác ABC cân tại A, góc BAC bằng 40 độ, AH là đường cao. Điểm E, F lần lượt theo thứ tự thuộc các đoạn thẳng AH và AC sao cho góc EBA = góc FBC = 30 độ. Yêu cầu chứng minh AE = AF.

ĐÁP ÁN

Trên nửa mặt phẳng bờ AB (chứa điểm C) lấy điểm K sao cho tam giác ABK đều.

Xét tam giác cân ABC ta có:

Dựng điểm K sao cho KA = KB. Vậy KF là đường trung trực của AB

\=> KF là đường phân giác của

Chú ý: tam giác ABK đều nên AB = AK (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra:

Bài tập 2: Cho tam giác OBC cân tại O, kẻ OH vuông góc với BC (H thuộc BC). Yêu cầu:

1. Chứng minh HB = HC
2. OH là tia phân giác của góc BOC

ĐÁP ÁN

1. Xét 2 tam giác OBH và OCH, ta có:

OH chung,

và OB =OC (vì tam giác OBC cân)

\=> 2 tam giác OBH và OCH bằng nhau theo trường hợp cạnh góc cạnh

\=> HB = HC (hai cặp cạnh tương ứng)

2. Ta có:

\=> (hai góc tương ứng).

Bài tập 3: Trong các tam giác ở hình bên dưới (hình 116, hình 117, hình 118). Tam giác nào là tam giác cân và tam giác nào là tam giác đều? Giải thích?

ĐÁP ÁN

Xét hình 116:

Ta có tam giác ABD cân vì AB = AD

\=> BC = DE nên AB + BC = AD + DE hay AC = AE

Suy ra: tam giác ACE cân tại A

Xét hình 117:

Ta có :

Suy ra tam giác GIH cân tại I

Xét hình 118:

Tam giác OMN đều vì có 3 cạnh bằng nhau (OM = MN = MO)

Tam giác OKM cân tại M vì có MO = MK

Tam giác PNO cân tại N vì có NO = NP

Ta có:

mà nên

Tương tự:

Suy ra: cân tại O vì có .

Bên trên là những kiến thức tổng quát về định nghĩa, tính chất tam giác cân và tam giác vuông cân VOH GIáo dục chia sẻ cho các em học sinh ôn tập cũng cố kiến thức. Hy vọng bài viết có thể giúp ích cho các em trong quá trình học tập và ôn luyện kiến thức.

Tam giác MNP có một góc vuông là góc M và có hai cạnh MN = MP nên tam giác MNP là tam giác vuông cân tại M.

2. Các tính chất tam giác vuông cân

2.1. Tính chất 1

Tam giác vuông cân có hai góc ở đáy bằng nhau và bằng 45 độ

Ví dụ:

Tam giác MNP vuông cân tại M thì ta có:

2.2. Tính chất 2

Tam giác vuông cân có đường cao, đường phân giác, đường trung tuyến kẻ từ đỉnh của góc vuông trùng nhau và có độ dài bằng nửa cạnh huyền

Ví dụ: Tam giác MNP vuông cân tại M, đường trung tuyến, đường phân giác, đường cao kẻ từ M sẽ trùng nhau và bằng nửa cạnh NP

3. Dạng bài tập về tính chất tam giác vuông cân

3.1. Dạng 1: Dạng bài tập trắc nghiệm củng cố lý thuyết

Phương pháp giải: Dựa vào khái niệm, tính chất của tam giác vuông cân và các loại tam giác khác như tam giác đều, tam giác vuông, tam giác cân để chọn đáp án đúng nhất.

Bài tập luyện tập

Câu 1: Tam giác vuông cân là:

1. Tam giác có 1 góc vuông

2. Là tam giác có hai cạnh bằng nhau

3. Là tam giác có hai cạnh bên bằng nhau và một góc vuông

4. Là tam giác có ba cạnh bằng nhau

ĐÁP ÁN

Dựa vào khái niệm của tam giác vuông cân, ta chọn đáp án C

Câu 2: Hai góc ở đáy của tam giác vuông cân bằng

1. 90 độ

2. 45 độ

3. 60 độ

4. 50 độ

ĐÁP ÁN

Dựa vào tính chất 1 của tam giác vuông cân, ta chọn đáp án B

Câu 3: Cho tam MNP có MN = MP, góc M = 90 độ. Chọn đáp án đúng nhất

1. Tam giác MNP là tam giác vuông cân

2. Tam giác MNP là tam giác cân

3. Tam giác MNP là tam giác vuông

4. Tam giác MNP là tam giác đều

ĐÁP ÁN

Tam giác MNP có MN = MP nên tam giác MNP cân tại M

mà góc M = 90 độ nên tam giác MNP là tam giác vuông cân tại M

Vậy đáp án đúng là A

Câu 4: Cho tam giác MNP có góc MNP = 90 độ. Để tam giác MNP vuông cân thì

1. MP = MN

2. NP = NM

3. PM = PN

4. PM > PN

ĐÁP ÁN

Tam giác MNP có góc N = 90 độ nên tam giác MNP vuông tại N

Để tam giác MNP vuông cân thì NP = NM

Vậy đáp án đúng là B

Câu 5: Cho tam giác MNP có M = N = 45 độ. Chọn đáp án đúng nhất

1. tam giác MNP là tam giác cân

2. Tam giác MNP là tam giác đều

3. Tam giác MNP là tam giác vuông cân

4. Tam giác MNP là tam giác vuông

ĐÁP ÁN

Dựa vào tính chất 2 của tam giác vuông cân, ta chọn đáp án C

Câu 6: Chọn đáp án SAI:

1. Tam giác vuông là tam giác có một góc vuông

2. Tam giác đều là tam giác có hai cạnh bên bằng nhau và một góc bằng 90 độ

3. Tam giác vuông cân là tam giác có hai cạnh bên bằng nhau và một góc bằng 90 độ

4. Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau

ĐÁP ÁN

Đáp án B

3.2. Dạng 2: Dạng bài tập chứng minh

Phương pháp giải: Dựa vào tính chất tam giác vuông cân, tam giác đều, tam giác cân, tam giác vuông. Áp dụng linh hoạt các tính chất để giải quyết bài toán

Bài tập luyện tập

Bài 1: Cho tam giác MNP vuông cân tại M, kẻ đường cao MD của tam giác.

1. Chứng minh ND = DP = MD

2. Chứng minh tam giác MDP và MDN là tam giác vuông cân

ĐÁP ÁN

1. Vì tam giác MNP là tam giác vuông cân tại M nên theo tính chất 2 ta có:

MD = NP (1)

Tam giác MNP vuông cân tại M nên đường cao MD đồng thời cũng là đường trung tuyến, nên ND = DP = NP (2)

Từ (1) và (2) => ND = DP = MD

2. Theo tính chất 2, tam giác MNP vuông cân tại M nên đường cao MD đồng thời cũng là đường phân giác

\=> (3)

Mà tam giác MNP vuông cân tại M nên : (4)

Từ (3), (4) =>

Xét tam giác DMP có:

\=> tam giác DMP vuông cân tại D

Xét tam giác DMN có

\=> tam giác MDN vuông cân tại D

Bài 2: Cho tam giác MNP vuông cân tại M. Gọi A, B, D lần lượt là trung điểm của các cạnh MN, MP, NP.

1. Chứng minh AN = BP = AM = MB

2. Tam giác AMB là tam giác gì? Vì sao?

3. Chứng minh AB // NP

ĐÁP ÁN

1. Ta có:

A là trung điểm của MN nên AN = AM = MN (1)

B là trung điểm của MP nên BP = MB = MP (2)

Mà tam giác MNP vuông cân tại M nên MP = MN (3)

Từ (1), (2), (3) => AN = BP= AM = MB

2. Theo phần a ta có: AM = MB => tam giác AMB cân tại M

Mà => tam giác AMB vuông cân tại M

3. Theo phần b, ta có: tam giác AMB vuông cân tại M

\=> (4)

Mà tam giác MNP vuông cân tại M => (5)

Từ (4) và (5) =>

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị => AB // NP

Bài 3: Cho tam giác NMP vuông cân tại M, trên cạnh NP lấy một điểm D bất kì. Từ D kẻ đường thắng vuông góc với MN cắt MN tại E.

1. Chứng minh rằng: DE // MP

2. Tam gác EDM và tam giác NED là tam giác gì? Vì sao?

ĐÁP ÁN

1. Ta có:

(theo đề bài)

(do tam giác MNP vuông cân tại M)

\=> DE // MP (cùng vuông góc với MN)

2. Theo phần a, DE // MP

\=> (SLT)

Mà (do tam giác MNP vuông cân tại M)

\=>

Lại có: hay

Xét tam giác EDN có

Góc

\=> tam giác NED là tam giác vuông cân tại E

* Tam giác MED có: ( )

\=> MED là tam giác vuông tại E

Đây là toàn bộ phần lý thuyết về các tính chất tam giác vuông cân và một số bài tập liên quan. Hi vọng bài viết này sẽ giúp các bạn học sinh hiểu và áp dụng được để làm bài tập.

Tam giác vuông cân có gì đặc biệt?

Tam giác vuông cân có hai góc nhọn và một góc vuông, cùng với hai cạnh góc vuông bằng nhau. Điều này tạo nên tính đẹp và độc đáo cho tam giác này. Ngoài ra, các đường cao, đường trung tuyến và đường phân giác kẻ từ đỉnh góc vuông cũng trùng nhau và bằng nhau, tạo ra sự cân đối và hài hòa.

Tam giác vuông cân thì bà cạnh như thế nào?

Tam giác vuông cân có 2 cạnh bằng nhau. Để xác định cạnh nào dài hơn, ta cần biết vị trí của các cạnh trong tam giác. Trong tam giác vuông cân, cạnh góc vuông là cạnh dài nhất và các cạnh còn lại có độ dài bằng nhau. Vì vậy, cạnh góc vuông sẽ là cạnh dài hơn.

Tam giác vuông là tam giác như thế nào?

Tam giác nào có hai góc nhọn phụ nhau được coi là tam giác vuông. Điều này có nghĩa là trong tam giác đó, hai góc nhọn không chỉ nhỏ hơn góc vuông mà còn có tổng giá trị bằng 90 độ. Đây là đặc điểm quan trọng của tam giác vuông và dễ dàng để nhận biết một tam giác có phải là tam giác vuông hay không.

Khi nào là tam giác vuông cân?

Tam giác vuông cân là một tam giác có một góc vuông với hai cạnh góc vuông bằng nhau và bằng a. Do đó, trung tuyến trong tam giác vuông cân mà nối từ góc vuông đến cạnh đối diện sẽ là một đoạn thẳng vuông góc với cạnh huyền và bằng một phần hai nó.