1.MỞ ĐẦU: 1.1. Lý do chọn đề tài: Trong chương trình toán học THPT, khi học đến chương phương pháp tọa độ trong không gian học sinh thường lúng túng khi gặp bài toán viết phương trình mặt phẳng và có nhiều dạng phương trình mặt phẳng. Bản thân tôi nhiều năm được phụ trách lớp học theo ban Khoa học tự nhiên, các lớp cơ bản theo khối, qua nghiên cứu giảng dạy tôi thấy việc phân loại cách viết phương trình mặt phẳng trong không gian tọa độ theo hướng phát triển tư duy từ dễ đến khó là sát thực, phù hợp và cần thiết với việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh yếu kém, khá giỏi và ôn luyện cho học sinh thi Đại học cao đẳng. Do vậy tôi chọn đề tài " Phân loại cách viết phương trình mặt phẳng trong không gian tọa độ theo hướng phát triển tư duy từ dễ đến khó'' để nghiên cứu nhằm phần nào đáp ứng yêu cầu trên và góp phần vào nâng cao chất lượng dạy học cho nhà trường . Do đặc điểm lớp 12 là năm học sinh phải thi tốt nghiệp Trung học phổ thông, Đại học và Cao đẳng nên phần lớn học sinh có ý thức trong học tập và trang bị những kiến thức cần thiết cho các kỳ thi vào cuối năm học. Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song đề tài nghiên cứu không trách khỏi những thiếu sót. Kính mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của các thầy cô và cá bạn đồng nghiệp. Tôi xin chân thành cảm ơn! 1.2. Mục đích nghiên cứu - Trang bị cho học sinh về một số phương pháp viết phương trình mặt phẳng trong không gian tọa độ  - Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán. Qua đó học sinh nâng cao kỹ năng tư duy sáng tạo. 1.3. Đối tượng nghiên cứu - Các bài tập viết phương trình mặt phẳng trong không gian tọa độ 1.4. Phương pháp nghiên cứu - Tích lũy qua nhiều năm giảng dạy phần này. - Thông qua việc kiểm tra đánh giá năng lực tiếp thu của học sinh - Thông qua sách giáo khoa, sách bài tập, hệ thống bài tập và tài liệu tham khảo - Thông qua các đề thi tốt nghiệp, đại học cao đẳng và kỳ thi THPT Quốc gia năm 2015. 2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN 2.1.Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm: Khi dạy bài toán viết phương trình mặt phẳng theo khi biết các yếu tố như mặt phẳng đó vuông góc với đường thẳng, hay song song với mặt phẳng, hay chỉ song song với một đường thẳng và tạo với mặt phẳng khác một góc cho trước, thì nhiều học sinh không định hướng ngay được cách giải, mà các em còn nhầm lẫn cả việc tìm véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng đó. Trên cơ sở lý thuyết của các bài toán sau trong sách giáo khoa hình học 12 sau đây Bài toán 1: Trong không gian là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng Bài toán 2: Trong không gian Bài toán 3: Trong không gian Bài toán 4: Nếu mặt phẳng đoạn chắn là: Và khái niệm véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng, véc tơ chỉ phương của đường thẳng: - Véc tơ - Véc tơ Cộng thêm mối quan hệ biện chứng giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Từ cơ sở lý thuyết về phương trình mặt phẳng tôi định hướng giải quyết chung cho bài toán viết phương trình mặt phẳng là: - Tìm một điểm nằm trên mặt phẳng - Xác định một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng. Trong sáng kiến này tôi liệt kê, hệ thống một số dạng toán tạo ra các mối quan hệ biện chứng giữa các đối tượng và cách giải các bài toán viết phương trình mặt phẳng trong không gian tọa độ. 2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trong quá trình giảng dạy hình học 12 chương ''Phương pháp tọa độ trong không gian" về phương trình mặt phẳng và phương trình đường thẳng. Học sinh thường lúng túng trước một bài toán viết phương trình mặt phẳng. Khi gặp các dạng toán:"Viết phương trình mặt phẳng thỏa mãn một điều kiện nào đó" học sinh thường gặp không ít khó khăn vì không tạo ra được các mối quan hệ biện chứng giữa các đối tượng đề bài đã cho hoặc không biết hướng giải hoặc không tìm được hướng giải. Trước khi áp dụng đề tài, tôi đã cho học sinh làm bài kiểm tra 45 phút về viết phương trình mặt phẳng. Kết quả :
Vì thế trong thực tiễn giảng dạy tôi đã yêu cầu học sinh nêu những yếu tố cần để viết phương trình mặt phẳng.Từ các giả thiết các em tìm ra các mối quan hệ biện chứng giữa các đối tượng trong không gian từ đó đưa ra hướng giải cho từng dạng toán tương ứng. Với các vấn đề của thực trạng trên, tôi đã mạnh dạn triển khai cho các em mảng kiến thức này nhằm giải tỏa bớt những bất cập nói trên. 2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề. Giải pháp: - Tổ chức một số buổi dạy phụ đạo đại trà cho tất cả các em, bồi dưỡng học sinh khá giỏi, ôn thi Đại học, ôn thi kỳ thi THPT Quốc gia. - Giới thiệu phần lý thuyết về tọa độ trong không gian, phương trình mặt cầu, mặt phẳng, đường thẳng. Sau đó phân loại các dạng và phương pháp giải - Cuối chuyên đề cho học sinh làm bài kiểm tra để đánh giá chất lượng. Nội dung giải pháp: I. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG KHI XÁC ĐỊNH ĐƯỢC VÉC TƠ PHÁP TUYẾN MỘT CÁCH TRỰC TIẾP:
Nhận xét: Thường khi gặp loại bài toán này học sinh có thể làm ngay được, bởi vì các em chỉ việc thay vào công thức. Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm Phương pháp : Mặt phẳng (P) có phương trình là:
VD 1: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng a) đi qua điểm b) đi qua điểm Hướng dẫn giải: a) Phương trình mặt phẳng b) Mặt phẳng Phương trình mặt phẳng
Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng Phương pháp : - Tìm véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng - Điểm M nằm trên mặt phẳng đó. VD 2: Trong không gian Oxyz cho hai điểm a) Viết phương trình mặt phẳng b) Viết phương trình mặt phẳng trung trực Hướng dẫn giải: a) Mặt phẳng
b) Mặt phẳng trung trực
Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm M và song song với mặt phẳng (P). Phương pháp : Cách 1: - Tìm véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng - Điểm M nằm trên mặt phẳng đó. Cách 2: - Nêu dạng phương trình mặt phẳng cần tìm - Thay tọa độ điểm M vào phương trình . VD 3: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng Hướng dẫn giải: Cách 1: Do mặt phẳng Cách 2: Do mặt phẳng Mà Vậy ptmp Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng Phương pháp : - Tìm véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng - Điểm M nằm trên mặt phẳng đó. VD 4: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng Viết phương trình mặt phẳng Hướng dẫn giải: Do mặt phẳng
Nhận xét: Trong những trường hợp này, đối với các em khá giỏi các em có thể nắm bắt ngay tính chất của tích có hướng hai véc tơ và khái niệm véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng để tìm ngay ra hai véc tơ không cùng phương có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng. Từ đó tính được véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng đoa. Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng Phương pháp : - Tìm véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng - Điểm nằm trên mặt phẳng đó là M, N hoặc P. VD 5: Viết phương trình mặt phẳng Hướng dẫn giải: Ta có: Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng Mặt phẳng Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng Phương pháp : - Tìm véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng - Điểm M nằm trên mặt phẳng đó . VD 6: Trong không gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng Hướng dẫn giải: Hai véc tơ không cùng phương có giá song song với mặt phẳng Mặt phẳng Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng Phương pháp : - Tìm véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng - Điểm M hoặc N nằm trên mặt phẳng đó . VD 7: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng Hướng dẫn giải: Hai véc tơ không cùng phương có giá song song hoặc được chứa trong mặt phẳng Mặt phẳng Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng Phương pháp : - Tìm véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng - Điểm A hoặc B nằm trên mặt phẳng đó . VD 8: Trong không gian Oxyz cho 4 điểm không đồng phẳng Hướng dẫn giải: Hai véc tơ không cùng phương có giá song song hoặc được chứa trong mặt phẳng Mặt phẳng Dạng 9: Viết phương trình mặt phẳng Phương pháp : - Tìm véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng - Điểm M thuộc d nằm trên mặt phẳng đó . VD 9: Trong không gian Viết phương trình mặt phẳng Hướng dẫn giải: Hai véc tơ không cùng phương có giá song song hoặc được chứa trong mặt phẳng Mặt khác Dạng 10: Viết phương trình mặt phẳng Phương pháp : - Tìm véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng - Điểm M thuộc d nằm trên mặt phẳng đó . VD 10: Trong không gian Hướng dẫn giải: Hai véc tơ không cùng phương có giá song song hoặc được chứa trong mặt phẳng Mặt khác Dạng 11: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và vuông góc với mặt phẳng Phương pháp : - Tìm véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng - Điểm M thuộc d nằm trên mặt phẳng đó . VD 11: Trong không gian Hướng dẫn giải: Hai véc tơ không cùng phương có giá song song hoặc được chứa trong mặt phẳng Mặt khác Dạng 12: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau Phương pháp : - Tìm véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng - Điểm A nằm trên mặt phẳng đó . VD 12: Trong không gian Hướng dẫn giải: Hai véc tơ không cùng phương có giá song song hoặc được chứa trong mặt phẳng Mặt khác mặt phẳng Dạng 13: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và chứa đường thẳng d. Phương pháp : - Điểm M thuộc đường thẳng d nên M thuộc mặt phẳng (P) - Tìm véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng VD 13: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng Hướng dẫn giải: Do mặt phẳng Hai véc tơ không cùng phương có giá song song hoặc được chứa trong mặt phẳng Mặt khác mặt phẳng Dạng 14: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng song song d và d'. Phương pháp : - Điểm M, N lần lượt thuộc đường thẳng - Tìm véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng VD 14: Trong không gian Hướng dẫn giải: Do mặt phẳng Hai véc tơ không cùng phương có giá song song hoặc được chứa trong mặt phẳng Mặt khác mặt phẳng
Nhận xét: Sau khi đã được học hai loại trên thì các em sẽ dễ dàng làm hơn với loại này, tuy nhiên các em cũng sẽ hơi lúng túng khi vận dụng các kiến thức về khoảng cách và mặt cầu. Dạng 15: Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng Phương pháp : - Tìm véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng - Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P) bằng h . VD 15: Trong không gian Hướng dẫn giải: Do mặt phẳng
Ta có: Vậy có hai mặt phẳng
Dạng 16: Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với 2 đường thẳng d, d' và tiếp xúc với mặt cầu (S) tâm I bán kính R. Phương pháp : - Tìm véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng - Tính khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) bằng h . VD 16:Trong không gian Hướng dẫn giải: Hai véc tơ không cùng phương có giá song song hoặc được chứa trong mặt phẳng Mặt cầu Mặt phẳng Vậy có hai mặt phẳng Dạng 17: Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng Phương pháp : - Tìm véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng - Tính khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) bằng VD 17: Trong không gian Hướng dẫn giải: Do mặt phẳng Mặt cầu Khoảng cách từ tâm I đến mp Vậy có hai mặt phẳng
II. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG KHI KHÔNG XÁC ĐỊNH ĐƯỢC VÉC TƠ PHÁP TUYẾN MỘT CÁCH TRỰC TIẾP:
Nhận xét: Đây là dạng khó nhất của cả chuyên đề, bởi vì loại này các em phải đặt ẩn phụ cho véc tơ pháp tuyến. Các em muốn giải tốt các bài này cần phải vận dụng linh hoạt các kiến thức sẵn có, đặc biệt các em phải biết gọi ẩn và biết cách giải hệ phương trình. Dạng này dành cho học sinh khá, giỏi. Dạng 18: Viết phương trình mặt phẳng Phương pháp : - Gọi vtpt của mặt phẳng, cho mặt phẳng đi qua N suy ra dạng phương trình của nó. - Từ điểm P thuộc mặt phẳng ta được một phương trình - Tính khoảng cách từ M tới mặt phẳng. VD 18: Trong không gian Hướng dẫn giải: Gọi véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng đó là Do mặt phẳng Do mặt phẳng Thay (1) vào (2) ta được: Với Với Dạng 19: Viết phương trình mặt phẳng Phương pháp : - Gọi vtpt của mặt phẳng - Tính tích vô hướng của vtpt của mặt phẳng - Tính góc giữa mặt phẳng VD 19: Trong không gian Hướng dẫn giải: Gọi véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng đó là Đường thẳng Do mặt phẳng Do mặt phẳng Đường thẳng Mặt phẳng Thay (1) vào (2) ta được: Với Với Dạng 20: Viết phương trình mặt phẳng Phương pháp : - Gọi vtpt của mặt phẳng - Tính tích vô hướng của vtpt của mặt phẳng - Tính góc giữa mặt phẳng VD 20: Trong không gian Hướng dẫn giải: Gọi véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng đó là Đường thẳng Do mặt phẳng Do mặt phẳng Mặt phẳng Mặt phẳng Thay (1) vào (2) ta được: Với Với Dạng 21: Viết phương trình mặt phẳng Phương pháp : - Gọi vtpt của mặt phẳng - Tính tích vô hướng của vtpt của mặt phẳng - Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng VD 21: Trong không gian Hướng dẫn giải: Gọi véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng đó là Đường thẳng Do mặt phẳng Do mặt phẳng Ta có: Thay (1) vào (2) ta được: Ta có: Dấu bằng xảy ra khi chọn
Nhận xét: Nhiều học sinh sẽ không nhớ phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn sẽ dẫn đến việc khó tìm ra lời giải phù hợp cho bài toán. VD 22: Trong không gian Oxyz cho điểm Hướng dẫn giải: Gọi Do mặt phẳng Tam giác ABC cân tại A nên Với Với VD 23: Trong không gian Oxyz cho điểm Hướng dẫn giải: Gọi Do mặt phẳng Thể tích tứ diện OABC là: Theo bất đẳng thức Côsi: Vậy thể tích tứ diện VD 24: Trong không gian Hướng dẫn giải: Gọi Hai véc tơ không cùng phương có giá song song hoặc được chứa trong mặt phẳng Mặt khác mặt phẳng Mặt phẳng Với Với BÀI TẬP RÈN LUYỆN: Bài 1: Trong không gian Oxyz cho 4 điểm a) Viết phương trình mặt phẳng b) Viết phương trình mặt phẳng Bài 2: Trong không gian Oxyz cho 4 điểm a) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M và song song với b) Viết phương trình mặt phẳng c) Viết phương trình mặt phẳng d) Viết phương trình mặt phẳng Bài 3: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu và 3 mặt phẳng: a) Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với b) Viết phương trình mặt phẳng c) Viết phương trình mặt phẳng Bài 4: Trong không gian Oxyz cho điểm a) M là trọng tâm tam giác ABC. b) M là trực tâm tam giác ABC Bài 5: Trong không gian Oxyz cho điểm a) Diện tích tam giác ABC bằng b) Thể tích của khối chóp OABC bằng Bài 6: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu và đường thẳng Bài 7: Trong không gian Oxyz cho ba điểm Bài 8: Trong không gian Oxyz cho Bài 9: Trong không gian Oxyz cho điểm Bài 10: Trong không gian Oxyz cho điểm 2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường. Trong quá trình giảng dạy triển khai đề tài, tôi thấy đề tài của mình phần nào đã giúp học sinh phân loại và nêu cách giải, có thể giải được tốt một số dạng bài toán về phương trình mặt phẳng trong không gian tọa độ, đặc biệt là những bài không tìm trực tiếp véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng được.Việc phân loại và nêu phương pháp giải chung cho bài toán viết phương trình mặt phẳng trong không gian tọa độ và áp dụng vào bài giảng cho học sinh là rất thành công. Các em nhận dạng, nêu được phương pháp giải và ứng dụng tốt vào bài làm. Ngoài ra các em còn rèn luyện được kỹ năng làm bài, tránh được sai sót trong tính toán.Trong đề tài đã đưa ra một lượng dạng bài toán và phương pháp giải, đồng thời cũng đưa ra một số bài tập ứng dụng. Sau khi áp dụng sáng kiến đề tài, tôi đã cho làm bài kiểm tra 45 phút về viết phương trình mặt phẳng. Kết quả đã nâng lên rõ rệt, cụ thể:
Sáng kiến kinh nghiệm này của tôi cũng là tài liệu tham khảo cho các đồng nghiệp, góp phần vào việc nâng cao chất lượng dạy học chung cho nhà trường. 3. KẾT LUẬN KIẾN NGHỊ 3.1. Kết luận: Tuy nhiên với kinh nghiệm còn ít, trải nghiệm chưa nhiều nên đề tài không tránh khỏi những thiếu sót, hạn chế nhất định. Rất mong nhận được nhiều góp ý của Hội đồng khoa học nhà trường THPT Tĩnh gia 2 và Hội đồng khoa học sở GD&ĐT Thanh Hóa. 3.2. Kiến nghị: Với đề tài này tôi đã triển khai trong quá trình dạy học sinh lớp 12 ban KHTN và các lớp ban Cơ bản học theo khối mang lại hiệu quả là rất tốt. Vì vậy tôi hy vọng đề tài này sẽ đóng góp vào việc giải bài toán đã nêu trên, và được đồng nghiệp khai thác mở rộng hơn nữa, là tài liệu tham khảo cho các em học sinh lớp 12 trong quá trình học tập cũng như ôn thi học sinh giỏi, ôn thi kỳ thi Quốc gia THPT hàng năm.
4. TÀI LIỆU THAM KHẢO: [1]. Sách giáo khoa Hình học 12 cơ bản, NXB Giáo Dục, Trần Văn Hạo ( Tổng chủ biên) - Nguyễn Mộng Hy ( Chủ biên) . [2]. Sách bài tập Hình học 12 cơ bản, NXB Giáo Dục, Nguyễn Mộng Hy ( Tổng chủ biên) Khu Quốc Anh Trần Đức Huyên. [3]. Sách giáo khoa Hình học 12 nâng cao, NXB Giáo Dục, Đoàn Quỳnh ( Tổng chủ biên) Văn Như Cương ( Chủ biên) . [4]. Sách bài tập Hình học 12 nâng cao, NXB Giáo Dục, Đoàn Quỳnh ( Tổng chủ biên) . [5]. Báo Toán học và tuổi trẻ, NXB Giáo Dục, số 417 tháng 3 năm 2012, số 455 tháng 5 năm 2015. [6]. Đề thi môn Toán các trường Đại học trên toàn quốc . [7]. Đề thi khảo sát chất lượng lớp 12 của các trường THPT trên toàn quốc. [8]. Đề thi chọn Học sinh giỏi của các Tỉnh. |
