soicon_boy_9x
Bài này bạn cần áp dụng 2 bất đẳng thức này: 1.Với x,y dương thì $(x+y)(x-y)^2 \geq 0$ $\leftrightarrow (x^2-y^2)(x-y) \geq 0$ $\leftrightarrow (x^3+y^3)-(x^2y+xy^2) \geq 0$ $\leftrightarrow x^3+y^3 \geq x^2y+xy^2=xy(x+y)(1)$ 2.Bất đẳng thức côsi cho 2 số: $a^2+b^2 \geq 2ab$(chứng minh bằng hằng đẳng thức bình phương một hiệu) $\leftrightarrow x+y \geq 2\sqrt{xy}(2)$(x,y lớn hơn 0) Quay lại bài của bạn: Nhận xét $a;b;c \geq 0$ vì nếu có số lớn hơn 0,bé hơn 0.Không mất tính tổng quát lấy 2 số a,b thì $\sqrt{ab}$ không xác định Nếu cả 3 số cùng âm thì vế phải dương mà vế trái âm(vô lí) Áp dụng bất đẳng thức (1) ta được: $2(a^3+b^3+c^3)=(a^3+b^3)+(a^3+c^3)+(b^3+c^3) \geq a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2=a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)(I)$ Áp dụng bất đẳng thức (2) ta được: $a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(b+a) \geq a^2.2\sqrt{bc}+b^2.2\sqrt{ac}+c^2.2 \sqrt{ab}(II)$ Từ (I) và (II) suy ra $a^3+b^3+c^3 \geq a^2.\sqrt{bc}+b^2. \sqrt{ca}+c^2.\sqrt{ab}$ nagianghi
Cảm ơn bạn nhiều lắm!!! Mình quên đưa giả thiết là [TEX]a,b,c > 0.[/TEX] Ở lớp mình cũng đã giải bài này nên cùng chia sẻ với mọi người: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ([TEX]a,b,c > 0[/TEX]): [TEX]a^3+abc \geq 2.\sqrt{a^4bc}=2a^2\sqrt{bc}[/TEX] [TEX]b^3+abc \geq 2.\sqrt{b^4ca}=2b^2\sqrt{ca}[/TEX] [TEX]c^3+abc \geq 2.\sqrt{c^4ab}=2c^2\sqrt{ab}[/TEX] [TEX]\Rightarrow a^3+b^3+c^3+3abc \geq 2(a^2\sqrt{bc}+b^2\sqrt{ca}+c^2\sqrt{ab})[/TEX] Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ([TEX]a,b,c > 0[/TEX]): [TEX]a^2\sqrt{bc}+b^2\sqrt{ca}+c^2\sqrt{ab}\geq 3\sqrt[3]{a^3b^3c^3}=3abc[/TEX] [TEX]\Rightarrow a^3+b^3+c^3+3abc \geq a^2\sqrt{bc}+b^2\sqrt{ca}+c^2\sqrt{ab} +3abc[/TEX] [TEX]\Rightarrow a^3+b^3+c^3 \geq a^2\sqrt{bc}+b^2\sqrt{ca}+c^2\sqrt{ab}[/TEX] (đpcm) Cho tam giác ABC, các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh AB, AC, BC sao cho tứ giác BMNP là hình bình hành (Hình 102). Chứng minh \(\frac{{MN}}{{BC}} + \frac{{NP}}{{AB}} = 1\). Video hướng dẫn giải Phương pháp giải - Xem chi tiết Từ các đường song song, suy ra các tỉ số bằng với \(\frac{{MN}}{{BC}}\) và \(\frac{{NP}}{{AB}}\) rồi thay vào biểu thức cần chứng minh. Quảng cáo Lời giải chi tiết Vì BMNP là hình bình hành nên \(NP\parallel AB\)\(,\,\,MN = BP,\,\,BM = PN\) \( \Rightarrow \frac{{NP}}{{AB}} = \frac{{CP}}{{CB}}\) (hệ quả của định lý Thales) Ta có: \(\frac{{MN}}{{BC}} = \frac{{BP}}{{BC}}\) Khi đó: \(\frac{{MN}}{{BC}} + \frac{{NP}}{{AB}} = \frac{{BP}}{{BC}} + \frac{{CP}}{{BC}} = \frac{{BC}}{{BC}} = 1\) (đpcm) Cho a, b, c là ba số tuỳ ý. Chứng minh: Nếu a + b + c = 0 thì a^3 + b^3 + c^3 = 3abc81 01/11/2023 Bài 33* trang 19 SBT Toán 8 Tập 1: Cho a, b, c là ba số tuỳ ý. Chứng minh: Nếu a + b + c = 0 thì a3 + b3 + c3 \= 3abc. Trả lờiDo a + b + c = 0nên c = ‒a ‒ b. Khi đó: a3 + b3 + c3 \= a3 + b3 + (‒a ‒ b)3 \= a3 + b3 + (‒a)3 ‒ 3(–a)2b + 3(–a)b2 ‒ b3 \= a3 + b3 ‒ a3 ‒ 3a2b ‒ 3ab2 ‒ b3 \= ‒3a2b ‒ 3ab2 \= 3ab(‒a ‒ b) = 3abc Vậy nếu a + b + c = 0thì a3 + b3 + c3 \= 3abc. Xem thêm các bài giải SBT Toán 8 Cánh diều hay, chi tiết khác: Bài 3: Hằng đẳng thức đáng nhớ Bài 4: Vận dụng hằng đẳng thức vào phân tích đa thức thành nhân tử Bài tập cuối chương 1 Bài 1: Phân thức đại số Bài 2: Phép cộng, phép trừ phân thức đại số Bài 3: Phép nhân, phép chia phân thức đại số |