Hàm số bậc nhất là một chương cơ bản nhưng rất quan trọng trong chương trình toán THCS. Chủ đề này luôn xuất hiện trong các kì thi học sinh giỏi cũng như thi tuyển sinh vào lớp 10. Vì vậy, hôm nay Kiến Guru gửi đến bạn đọc bài viết tổng hợp những phương pháp và ví dụ minh họa điển hình kèm lời giải chi tiết. Cùng nhau khám phá nhé: Show
I. Trọng tâm kiến thức về hàm số bậc nhất.1. Hàm số bậc nhất là gì?Hàm số có dạng y=ax+b (  2. Tính biến thiên ở hàm số bậc nhất.- Xét hàm số y=ax=b (a≠0): - Tập xác định: D=R - Khi a>0, hàm số đồng biến. Ngược lại, khi a<0, hàm số nghịch biến. - Ta có bảng biến thiên hàm số: 3. Đồ thị hàm số.Hàm số y=ax+b ( Đặc biệt, trong trường hợp a=0, hàm số suy biến thành y=b, là một hàm hằng, đồ thị là đường thẳng song song với trục hoành. Lưu ý: khi cho đường thẳng d có hệ số góc a, đi qua điểm (x0;y0), sẽ có phương trình: II. Các dạng toán hàm số bậc nhất tổng hợp.Dạng 1: Tìm hàm số bậc nhất, xét sự tương giao giữa các đồ thị hàm số bậc nhất.Phương pháp: Đối với bài toán xác định hàm số bậc nhất, ta sẽ làm theo các bước: - Hàm số cần tìm có dạng: y=ax+b (Đối với bài toán tương giao hai đồ thị hàm số bậc nhất: gọi đường thẳng d: y=ax+b (a≠0), đường thẳng d’: y=a’x+b’ (a’≠0), lúc này: + d trùng d’ khi và chỉ khi:+ d song song d’ khi: + d cắt d’ khi a≠a’, lúc này tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ: đặc biệt khi Ví dụ 1: Xét hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng d, hãy xác định hàm số biết rằng: a. d đi qua điểm (1;3) và (2;-1). b. d đi qua điểm (3;-2), đồng thời song song với d’: 3x-2y+1=0. c. d đi qua điểm (1;2), đồng thời cắt tia Ox và tia Oy lần lượt tại M, N thỏa diện tích tam giác OMN là nhỏ nhất. d. d đi qua (2;-1) và vuông góc với d’: y=4x+3.Hướng dẫn: Hàm số có dạng y=ax+b ( a. Chú ý: một đường thẳng có dạng y=ax+b ( Vì hàm số đi qua hai điểm (1;3) và (2;-1), ta có hệ phương trình: Vậy đáp số là Do d song song d’, suy ra: lại có d đi qua (3;-2), suy ra: Ta có thu được hàm số cần tìm. c. Tọa độ các điểm cắt lần lượt là:Do điểm giao nằm trên tia Ox và tia Oy, vì vậy a<0 và b>0 Lúc này, diện tích tam giác được tính theo công thức: Theo đề, đồ thị đi qua điểm (1;2), suy ra: 2=a+b ⇒ b=2-a Thế vào công thức diện tích: Vậy diện tích tam giác MNO đạt nhỏ nhất khi: Đáp số cần tìm: Chú ý: ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số thực dương để giải bài toán trên, cụ thể: cho hai số thực dương a,b, khi đó ta có bất đẳng thức: điều kiện xảy ra dấu bằng khi và chỉ khi: a=b d. Đồ thị đi qua điểm (2;-1) nên: Lại có d vuông góc d’: Vậy ta thu được: Ví dụ 2: Xét hai đường thẳng d:y=x+2m và d’:y=3x+2.
Hướng dẫn: a. Vì 1≠3 (hai hệ số góc khác nhau) nên d và d’ cắt nhau.Tọa độ giao điểm là nghiệm của: Vậy tọa độ giao điểm là M(m-1;3m-1) b. Do 3 đường thẳng đồng quy, vậy M ∈d’’. Suy ra:Xét: m=1, khi đó 3 đường thằng là d:y=x+2; d’: y=3x=2 và d’’: y=-x+2 phân biệt cắt nhau tại (0;2) m=-3 khi đó d’ trùng với d’’, không thỏa mãn tính phân biệt.Vậy m=1 là đáp số cần tìm. Dạng 2: Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.Phương pháp: Dựa vào tính chất biến thiên đã nêu ở mục I để giải. Ví dụ 1: Cho hàm số sau, xét sự biến thiên: Hướng dẫn: a. Tập xác định D=Ra=3>0, vậy nên hàm số đồng biến trên R. Bảng biến thiên được vẽ như sau: Vẽ đồ thị: để vẽ đồ thị, ta xác định các điểm đặc biệt mà đồ thị đi qua, cụ thể là hai điểm (-2;0) và (-1;3) b. Ta biến đổi hàm số về dạng:Tập xác định D=R. Hệ số góc a<0, hàm số nghịch biến trên R. Bảng biến thiên: Đồ thị hàm số: Dạng 3: Hàm số bậc nhất chứa dấu giá trị tuyệt đối.Phương pháp: Xét đồ thị hàm số có dạng Cách 1: Vẽ đồ thị (C1) của hàm số y=ax+b với các tọa độ x thỏa mãn ax+b≥0. Tiếp tục vẽ đồ thị (C2) của hàm số y= -ax-b ở các tọa độ x thỏa mãn ax+b<0. Đồ thị © cần tìm là hợp của đồ thị (C1) và (C2). Cách 2: Vẽ đồ thị (C’) của hàm số y=ax+b, lấy đối xứng phần đồ thị (C’) nằm dưới trục hoành qua trục hoành, rồi xóa toàn bộ phần đồ thị nằm phía dưới trục hoành. Phần đồ thị còn lại là đồ thị © cần tìm. Mở rộng: Cho trước đồ thị (C) : y=f(x). Khi đó:
Ví dụ: Vẽ đồ thị: Hướng dẫn: a. Khi x≥0, hàm số có dạng y=2x. Đồ thị là phần đường thẳng đi qua (0;0) và (1;2) (chú ý chỉ lấy phần bên phải của đường thẳng x=0) - Khi x<0, hàm số có dạng y=-x. Đồ thị là phần đường thẳng đi qua (-1;1) và (-2;2) (chú ý lấy phần nằm bên trái đường thẳng x=0) b. Ta vẽ đường thẳng y=-3x+3 và đường thẳng y=3x-3. Sau đó xóa phần đồ thị nằm dưới trục hoành, ta sẽ thu được đồ thị cần tìm.
27/08/2021 1,961
C. C−23;0Đáp án chính xác Page 227/08/2021 5,005
A. (0; 1) Đáp án chính xác
Sách Giải Sách Bài Tập Toán 9 Bài 2: Đồ thị hàm số y = ax (a ≠ 0) giúp bạn giải các bài tập trong sách bài tập toán, học tốt toán 9 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác: a. Vẽ đồ thị hàm số. b. Các điểm sau có thuộc đồ thị hay không : A(3; 0,9), B(-5; 2,5), C(-10; 1)? Lời giải: a. Các giá trị của x và y :
b. *Thay hoành độ điểm A vào phương trình hàm số : y = 0,1.32 = 0,9 = yA Vậy điểm A(3; 0,9) thuộc đồ thị hàm số. *Thay hoành độ điểm B vào phương trình hàm số : y = 0,1.(-5)2 = 2,5 = yB Vậy điểm B(-5; 2,5) thuộc đồ thị hàm số. *Thay hoành độ điểm C vào phương trình hàm số : y = 0,1.(-10)2 = 10 ≠ yC Vậy điểm C(-10; 1) không thuộc đồ thị hàm số. a. Đồ thị của nó đi qua điểm A(3 ; 12) ; b. Đồ thị của nó đi qua điểm B(-2 ; 2). Lời giải: a. Đồ thị hàm số y = ax2 đi qua điểm A(3 ; 12) nên tọa độ điểm A nghiệm đúng phương trình hàm số. Ta có : 12 = a.32 ⇔ a = 12/9 = 4/3 Vậy hàm số đã cho là y = (4/3) x2. b. Đồ thị hàm số y = ax2 đi qua điểm B(-2 ; 3) nên tọa độ điểm B nghiệm đúng phương trình hàm số. Ta có : 3 = a.(-2)2 ⇔ a = 3/4 Vậy hàm số đã cho là y = (3/4)x2 a. Biết rằng điểm A(-2 ;b) thuộc đồ thị, hãy tính b. Điểm A’(2 ; b) có thuộc đồ thị hàm số không ? Vì sao ? b. Biết rằng điểm C(c ; 6) thuộc đồ thị, hãy tính c. Điểm D(c ; -6) có thuộc đồ thị hàm số không ? Vì sao ? Lời giải: a. Đồ thị hàm số y = 0,2x2 đi qua điểm A(-2 ; b) nên tọa độ điểm A nghiệm đúng phương trình hàm số. Ta có : b = 0,2.22 = 0,8 Điểm A(-2; b) thuộc đồ thị hàm số y = 0,2x2 mà điểm A’(2 ; b) đối xứng với điểm A(-2; b) qua trục tung nên điểm A’(2; b) thuộc đồ thị hàm số y = 0,2x2. b. Đồ thị hàm số y = 0,2x2 đi qua điểm C(c; 6) nên tọa độ điểm C nghiệm đúng phương trình hàm số. Ta có : 6 = 0,2.c2 ⇔ c2 = 6/(0,2) = 30 ⇒ c = ±√(30) Điểm D(c; -6) đối xứng với điểm C(c; 6) qua trục hoành mà đồ thị hàm số y = 0,2x2 gồm hai nhánh đối xứng qua trục tung nên điểm C(c ; 6) thuộc đồ thị hàm số thì điểm D(c ; -6) không thuộc đồ thị hàm số. a. Vẽ hai đồ thị của những hàm số này trên cùng một mặt phẳng tọa độ. b. Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị. Lời giải: a. *Các giá trị của x và y :
*Đồ thị hàm số y = x đi qua gốc tọa độ O. y = 0,2x2 b. Đồ thị của hai hàm số cắt nhau tại 2 điểm : O(0 ; 0) và A(5 ; 5). a. Xác định hệ số a biết rằng đồ thị của nó cắt đường thẳng y = -2x + 3 tại điểm A có hoành độ bằng 1. b. Vẽ đồ thị của hàm số y = -2x + 3 và của hàm số y = ax2 với giá trị của a vừa tìm được trong câu a) trên cùng một mặt phẳng tọa độ. c. Nhờ đồ thị, xác định tọa độ của giao điểm thứ hai của đồ thị vừa vẽ trong câu b. Lời giải: a. Điểm A thuộc đồ thị hàm số y = -2x + 3 nên tọa độ A nghiệm đúng phương trình đường thẳng. Ta có : y = -2.1 + 3 = 1 Vậy điểm A(1 ; 1) Điểm A(1 ; 1) thuộc đồ thị hàm số y = ax2 nên tọa độ A nghiệm đúng phương trình hàm số. Ta có : 1 = a.12 ⇔ a = 1 Vậy hàm số đã cho là y = x2 b. *Vẽ đồ thị hàm số y = x2 Các giá trị của x và y : y = -2x + 3
*Vẽ đồ thị hàm số y = -2x + 3 Cho x = 0 thì y = 3 ⇒ (0 ; 3) Cho y = 0 thì x = 1,5 ⇒ (1,5 ; 0) c. Giao điểm thứ hai của đồ thị có hoành độ bằng -3 và tung độ bằng 9. Ta có : B(-3 ; 9). a. Vẽ đồ thị của hàm số. b. Tìm trên đồ thị điểm A có hoành độ bằng -2. Bằng đồ thị, tìm tung độ của A. c. Tìm trên đồ thị các điểm có tung độ bằng 4. Tính gần đúng (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất) hoành độ của những điểm này bằng hai cách : – Ước lượng trên đồ thị ; – Tính theo công thức Lời giải: a. Vẽ đồ thị hàm số Các giá trị của x và y:
b. Từ điểm có hoành độ x = -2, kẻ đường thẳng song song với trục tung cắt đồ thị tại điểm A. Từ A, kẻ đường thẳng song song với trục hoành cắt trục tung tại một điểm. Ta thấy điểm đó có tung độ y = 3. Vậy A(-2 ; 3). c. *Từ điểm có tung độ y = 4, kẻ đường thẳng song song với trục hoành cắt đồ thị hàm số tại hai điểm là B và B’. Cả hai điểm đều có tung độ y = 4. Từ B và B’, kẻ hai đường thẳng song song với trục tung cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ lần lượt là x ≈ -2 và x ≈ 2. *Thay y = 4 vào hàm số ta có : a. Vẽ đồ thị của hàm số. b. Không làm tính, dùng đồ thị để so sánh f(-1,5) và f(-0,5), f(0,75) và f(1,5) c. Dùng đồ thị, tìm những giá trị thích hợp điền vào các chỗ (…) : Khi 1 ≤ x ≤ 2 thì … ≤ y ≤ ….; Khi -2 ≤ x ≤ 0 thì … ≤ y ≤ …; Khi -2 ≤ x ≤ 1 thì ….≤ y ≤ … Lời giải: a. Vẽ đồ thị của hàm số y = -1,5x2 Các giá trị của x và y :
b. Hàm số y = -1,5x2 có a = -1,5 < 0 Vậy hàm số đồng biến trong khoảng x < 0, nghịch biến trong khoảng x > 0 Suy ra : f(-1,5) < f(-0,5), f(0,75) > f(1,5) c. Ta có : – Khi 1 ≤ x ≤ 2 thì -6 ≤ y ≤ -1,5 ; – Khi -2 ≤ x ≤ 0 thì -6 ≤ y ≤ 0 ; – Khi -2 ≤ x ≤ 1 thì -6 ≤ y ≤ 0.
– Đặt tờ giấy kính lên tờ giấy đã vẽ 5 đường tròn sao cho đường tròn (1) đi qua K và tiếp xúc với Ht và tâm I nằm bên phải Oy. Trên tờ giấy kính, đánh dấu vào chỗ điểm I xuất hiện và kí hiệu là điểm A. – Di chuyển tờ giấy kính sang trái sao cho đường tròn (2) đi qua K và tiếp xúc với Ht. Trên tờ giấy kính, đánh dấu vào chỗ điểm I xuất hiện và kí hiệu là điểm B (xem hình dưới). – Tiếp tục làm như thế đối với các đường tròn còn lại ta lần lượt được các điểm C, D, E trên tờ giấy kính. – Lấy các điểm A’, B’, C’, D’, E’ lần lượt đối xứng với các điểm A, B, C, D, E qua Oy. – Nối các điểm E’, D’, C’, B’, A’, A, B, C, D, E bởi một đường cong ta được một parabol. Lời giải: Học sinh thực hiện theo hướng dẫn. A) 1 B) -1 C) 2 D) 1/2 Lời giải: Parabol y = x2 trong hình vẽ có hệ số a bằng Chọn D) 1/2 Vì điểm có hoành độ x = 2 thì tung độ y = 2 nên: a) Tìm các giá trị của x để y < 2. b) Tìm các giá trị của x để y > 2. c) Tìm các giá trị của y khi -2 < x < 2 d) Tìm các giá trị của y khi x ≤ 0. e) Tìm các giá trị của y khi x ≤ 2. Lời giải: a) Để giá trị y < 2 thì -2 < x < 2 b) Để giá trị y > 2 thì x > 2 hoặc x < -2 c) Khi -2 < x < 2 thì 0 ≤ y ≤ 2 d) Khi x ≤ 0 thì y ≥ 0 e) Khi x ≤ 2 thì y ≥ 0 b) Xác định đường thẳng y = a’x + b’ biết rằng đường thẳng này cắt đồ thị của hàm số vừa tìm được trong câu a tại điểm A và điểm B có tung độ là 8. Lời giải: a) Đồ thị hàm số đi qua A (-1; 2) nên tọa độ của A nghiệm đúng phương trình hàm số: 2 = a(- 1)2} ⇔ a = 2 Hàm số đã cho: y = 2x2 Vẽ đồ thị hàm số: y = 2x2
b) Khi y = 8 suy ra: 2x2 = 8 ⇒ x = 2 hoặc x = -2 Do đó ta có: B1(- 2;8) và B2(2;8) Đường thẳng y = a’x + b đi qua A và B1 nên tọa độ của A và B1 nghiệm đúng phương trình. Điểm A: – 2 = – a’ + b’ Điểm B: 8 = – 2a’ + b’ Hai số a’ và b’ là nghiệm của hệ phương trình: Phương trình đường thẳng AB1 là y = – 6x – 4 Đường thẳng y = a’x + b’ đi qua A và B2 nên tọa độ của A và B2 nghiệm đúng phương trình đường thẳng. Điểm A: 2 = -a’ + b’ Điểm B2: 8 = 2a’ + b’ Hai số a’ và b’ là nghiệm của hệ phương trình Phương trình đường thẳng AB2 là y = 2x + 4. |
