\( = \frac{{\frac{{{2^{k - 1}} + 1 + {2^{k - 1}}}}{{{2^{k - 1}}}}}}{2} = \frac{{{{2.2}^{k - 1}} + 1}}{{{{2.2}^{k - 1}}}}= {{{2^k} + 1} \over {{2^k}}}\) Đề bài Cho dãy số (un) xác định bởi \({u_1} = 2\text{ và }{u_n} = {{{u_{n - 1}} + 1} \over 2}\) với mọi \(n 2\) Chứng minh rằng \({u_n} = {{{2^{n - 1}} + 1} \over {{2^{n - 1}}}}\) (1) Với mọi số nguyên dương n. Lời giải chi tiết +) Với \(n = 1\), theo giả thiết ta có \({u_1} = 2 = {{{2^{1 - 1}} + 1} \over {{2^{1 - 1}}}}\). Như vậy (1) đúng khi \(n = 1\). +) Giả sử (1) đúng khi \(n = k,\; k \in\mathbb N^*\) tức là: \(u_k={{{2^{k - 1}} + 1} \over {{2^{k - 1}}}}\) +) Ta chứng minh (1) đúng với \(n=k+1\) Khi đó, từ hệ thức xác định dãy số (un) ta có: \({u_{k + 1}} = {{{u_k} + 1} \over 2} = {{{{{2^{k - 1}} + 1} \over {{2^{k - 1}}}} + 1} \over 2} \) \( = \frac{{\frac{{{2^{k - 1}} + 1 + {2^{k - 1}}}}{{{2^{k - 1}}}}}}{2} = \frac{{{{2.2}^{k - 1}} + 1}}{{{{2.2}^{k - 1}}}}= {{{2^k} + 1} \over {{2^k}}}\) Nghĩa là (1) đúng với \(n = k + 1\). Vậy (1) đúng với mọi \(n \in\mathbb N^*\)
|
