Đề bài - bài 1 trang 122 sgk hình học 12 nâng cao

Đề bài

Cho hình lăng trụ ABC.ABC với cạnh bên không vuông góc với mặt đáy. Gọi \(\left( \alpha \right)\)là mặt phẳng vuông góc với các cạnh bên của hình lăng trụ và cắt chúng tại P, Q, R. Phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {AA'} \) biến tam giác PQR thành tam giác PQR.
a) Chứng minh rằng thể tích V của hình lăng trụ đã cho bằng thể tích của hình lăng trụ PQR.PQR.
b) Chứng minh rằng \(V = {S_{PQR}}.AA'\), trong đó \({S_{PQR}}\) là diện tích tam giác PQR.

Lời giải chi tiết

a) Mp(PQR) chia khối lăng trụ ABC.ABC thành 2 khối đa diện \({H_1}\)và \({H_2}\) với \({H_1}\) chứa \(\Delta ABC\),\({H_2}\) chứa \(\Delta A'B'C'\)

Mp(ABC) chia khối lăng trụ PQR.PQR thành hai khối đa diện \({H_2}\) và \({H_3}\) với \({H_3}\) chứa \(\Delta P'Q'R'.\)
Gọi \({V_1},{V_2},{V_3}\)lần lượt là thể tích của các khối đa diện \({H_1},{H_2},{H_3}\)ta có:
\({V_{ABC.A'B'C'}} = {V_1} + {V_2},\) \({V_{PQR.P'Q'R'}} = {V_2} + {V_3}.\)
Phép tịnh tiến \(\overrightarrow {AA'} :\)

\(\eqalign{
& {T_{\overrightarrow {AA'} }}:\Delta ABC \to \Delta A'B'C' \cr
& {T_{\overrightarrow {AA'} }}:\Delta PQR \to \Delta P'Q'R' \cr} \)

Suy ra \({T_{\overrightarrow {AA'} }}:{H_1} \to {H_3}\)do đó \({V_1} = {V_3}.\)
Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = {V_{PQR.P'Q'R'}}.\)
b) Vì lăng trụ PQR.PQR là lăng trụ đứng nên có chiều cao PP = AA nên

\({V_{ABC.A'B'C'}} = {V_{PQR.P'Q'R'}} \) \(= {S_{PQR}}.AA'.\)