Phương trình \({\left( {x + 1} \right)^4} - 5{\left( {x + 1} \right)^2} - 84 = 0\) có tổng các nghiệm là
Câu 3 : Phương trình \(\dfrac{{2x}}{{x - 2}} - \dfrac{5}{{x - 3}} = \dfrac{{ - 9}}{{{x^2} - 5x + 6}}\)có số nghiệm là
Câu 4 : Phương trình \(\left( {\dfrac{{1 + x}}{{1 - x}} - \dfrac{{1 - x}}{{1 + x}}} \right):\left( {\dfrac{{1 + x}}{{1 - x}} - 1} \right) = \dfrac{3}{{14 - x}}\) có nghiệm là:
Câu 5 : Tích các nghiệm của phương trình \({\left( {{x^2} + 2x - 5} \right)^2} = {\left( {{x^2} - x + 5} \right)^2}\) là:
Câu 6 : Số nghiệm của phương trình \(3{x^3} + 3{x^2} + 5x + 5 = 0\) là:
Câu 7 : Tổng các nghiệm của phương trình \(x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) = 8\) là
Câu 8 : Hai nghiệm của phương trình \(\dfrac{x}{{x + 1}} - 10\dfrac{{x + 1}}{x} = 3\) là ${x_1} > {x_2}$. Tính $3{x_1} + 4{x_2}$.
Câu 9 : Phương trình \({x^2} - 3x + 2 = \left( {1 - x} \right)\sqrt {3x - 2} \) có bao nhiêu nghiệm?
Câu 10 : Phương trình \(\sqrt {{x^2} + x + 1} = 3 - x\) có nghiệm là:
Câu 11 : Phương trình \(\sqrt {4{x^2} - 4x + 5} + \sqrt {12{x^2} - 12x + 19} = 6\) có nghiệm là $\dfrac{a}{b}\,\left( {a,b > 0} \right)$. Tính $a - b$.
Câu 12 : Giải phương trình \(\sqrt {1 - \sqrt {{x^4} - {x^2}} } = x - 1\)
Câu 13 : Giải phương trình \(\dfrac{1}{{x - 1 + \sqrt {{x^2} - 2x + 5} }} + \dfrac{1}{{x - 1 - \sqrt {{x^2} - 2x + 5} }} = 1\)
Lời giải và đáp án Câu 1 : Phương trình ${x^4} - 6{x^2} - 7 = 0$ có bao nhiêu nghiệm?
Đáp án : C Lời giải chi tiết : Đặt ${x^2} = t\,\left( {t \ge 0} \right)$ ta được phương trình ${t^2} - 6t - 7 = 0$ (*) Nhận thấy $a - b + c = 1 + 6 - 7 = 0$ nên phương trình (*) có hai nghiệm ${t_1} = - 1\,\,\left( L \right);{t_2} = 7\,\left( N \right)$ Thay lại cách đặt ta có ${x^2} = 7 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 7 $ Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm. Câu 2 : Phương trình \({\left( {x + 1} \right)^4} - 5{\left( {x + 1} \right)^2} - 84 = 0\) có tổng các nghiệm là
Đáp án : B Lời giải chi tiết : Đặt ${\left( {x + 1} \right)^2} = t\,\left( {t \ge 0} \right)$ ta được phương trình ${t^2} - 5t - 84 = 0$ (*) Ta có $\Delta = 361$ nên phương trình (*) có hai nghiệm ${t_1} = \dfrac{{5 + \sqrt {361} }}{2} = 12\,\,\left( N \right);{t_2} = \dfrac{{5 - \sqrt {361} }}{2} = - 7\,\left( L \right)$ Thay lại cách đặt ta có ${\left( {x + 1} \right)^2} = 12 \Leftrightarrow x = - 1 \pm \sqrt {12} $ Suy ra tổng các nghiệm là $ - 1 + \sqrt {12} - 1 - \sqrt {12} = - 2$. Câu 3 : Phương trình \(\dfrac{{2x}}{{x - 2}} - \dfrac{5}{{x - 3}} = \dfrac{{ - 9}}{{{x^2} - 5x + 6}}\)có số nghiệm là
Đáp án : C Lời giải chi tiết : Điều kiện: $x \ne 2;x \ne 3$ \(\dfrac{{2x}}{{x - 2}} - \dfrac{5}{{x - 3}} = \dfrac{-9}{{{x^2} - 5x + 6}}\)$ \Leftrightarrow \dfrac{{2x\left( {x - 3} \right) - 5\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \dfrac{{ - 9}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}$$ \Rightarrow 2{x^2} - 11x + 19 = 0$ Nhận thấy \(\Delta = {11^2} - 4.19.2 = - 31 < 0\) nên phương trình $2{x^2} - 11x + 19 = 0$ vô nghiệm. Suy ra phương trình đã cho vô nghiệm. Câu 4 : Phương trình \(\left( {\dfrac{{1 + x}}{{1 - x}} - \dfrac{{1 - x}}{{1 + x}}} \right):\left( {\dfrac{{1 + x}}{{1 - x}} - 1} \right) = \dfrac{3}{{14 - x}}\) có nghiệm là:
Đáp án : D Lời giải chi tiết : Điều kiện: $x \ne 1;x \ne - 1;x \ne 14$ Ta có \(\left( {\dfrac{{1 + x}}{{1 - x}} - \dfrac{{1 - x}}{{1 + x}}} \right):\left( {\dfrac{{1 + x}}{{1 - x}} - 1} \right) = \dfrac{3}{{14 - x}}\)$ \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {1 + x} \right)}^2} - {{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}}:\dfrac{{1 + x - 1 + x}}{{1 - x}} = \dfrac{3}{{14 - x}}$ $ \Leftrightarrow \dfrac{{4x}}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}}.\dfrac{{1 - x}}{{2x}} = \dfrac{3}{{14 - x}} \Leftrightarrow \dfrac{2}{{x + 1}} = \dfrac{3}{{14 - x}}$$ \Rightarrow 28 - 2x = 3x + 3 \Leftrightarrow 5x = 25 \Leftrightarrow x = 5\,\left( {TM} \right)$ Vậy phương trình có nghiệm $x = 5$ Câu 5 : Tích các nghiệm của phương trình \({\left( {{x^2} + 2x - 5} \right)^2} = {\left( {{x^2} - x + 5} \right)^2}\) là:
Đáp án : B Phương pháp giải : Sử dụng ${A^2} = {B^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = B\\A = - B\end{array} \right.$ Lời giải chi tiết : Ta có \({\left( {{x^2} + 2x - 5} \right)^2} = {\left( {{x^2} - x + 5} \right)^2}\)$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + 2x - 5 = {x^2} - x + 5\\{x^2} + 2x - 5 = - {x^2} + x - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = 10\\2{x^2} - x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{10}}{3}\\x = 0\\x = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.$ Nên tích các nghiệm là $\dfrac{{10}}{3}.0.\dfrac{1}{2} = 0$ Câu 6 : Số nghiệm của phương trình \(3{x^3} + 3{x^2} + 5x + 5 = 0\) là:
Đáp án : C Lời giải chi tiết : Ta có \(3{x^3} + 3{x^2} + 5x + 5 = 0\)$ \Leftrightarrow 3{x^2}\left( {x + 1} \right) + 5\left( {x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {3{x^2} + 5} \right)\left( {x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3{x^2} + 5 = 0\\x + 1 = 0\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3{x^2} = - 5\left( L \right)\\x = - 1\end{array} \right. \Rightarrow x = - 1$ Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = - 1$. Câu 7 : Tổng các nghiệm của phương trình \(x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) = 8\) là
Đáp án : A Lời giải chi tiết : Ta có \(x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) = 8\)$ \Leftrightarrow x\left( {x + 3} \right).\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right) = 8 \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 3x} \right)\left( {{x^2} + 3x + 2} \right) = 8$ Đặt ${x^2} + 3x + 1 = t$ , thu được phương trình $\left( {t - 1} \right)\left( {t + 1} \right) = 8 \Leftrightarrow {t^2} - 1 = 8 \Leftrightarrow {t^2} = 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3\\t = - 3\end{array} \right.$ +) Với $t = 3 \Rightarrow {x^2} + 3x + 1 = 3 $ $\Leftrightarrow {x^2} + 3x - 2 = 0$ , có $\Delta = 17 \Rightarrow {x_1} = \dfrac{{ - 3 + \sqrt {17} }}{2};$ ${x_2} = \dfrac{{ - 3 - \sqrt {17} }}{2}$ +) Với $t = - 3 \Rightarrow {x^2} + 3x + 1 = - 3$ $\Leftrightarrow {x^2} + 3x + 4 = 0$ có $\Delta = - 7 < 0$ nên phương trình vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm ${x_1} = \dfrac{{ - 3 + \sqrt {17} }}{2};{x_2} = \dfrac{{ - 3 - \sqrt {17} }}{2}$ Suy ra tổng các nghiệm là $\dfrac{{ - 3 + \sqrt {17} }}{2} + \dfrac{{ - 3 - \sqrt {17} }}{2} = - 3$ Câu 8 : Hai nghiệm của phương trình \(\dfrac{x}{{x + 1}} - 10\dfrac{{x + 1}}{x} = 3\) là ${x_1} > {x_2}$. Tính $3{x_1} + 4{x_2}$.
Đáp án : D Lời giải chi tiết : Điều kiện: $x \ne 0;x \ne - 1$ Đặt $\dfrac{x}{{x + 1}} = t\,\left( {t \ne 0} \right)$, khi đó phương trình đã cho trở thành $t - 10.\dfrac{1}{t} = 3 \Rightarrow {t^2} - 3t - 10 = 0$ Ta có $\Delta = 49 \Rightarrow {t_1} = \dfrac{{3 + \sqrt {49} }}{2} = 5;$ ${t_2} = \dfrac{{3 - \sqrt {49} }}{2} = - 2\,\left( {TM} \right)$ +) Với $t = 5$ suy ra $\dfrac{x}{{x + 1}} = 5$ $\Rightarrow 5x + 5 = x \Leftrightarrow x = - \dfrac{5}{4}$ (nhận) +) Với $t = - 2$ suy ra $\dfrac{x}{{x + 1}} = - 2$ $\Rightarrow - 2x - 2 = x \Leftrightarrow x = - \dfrac{2}{3}$ (nhận) Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm ${x_1} = - \dfrac{2}{3} > {x_2} = - \dfrac{5}{4}$ Nên $3{x_1} + 4{x_2}$$ = 3.\left( {\dfrac{{ - 2}}{3}} \right) + 4.\left( {\dfrac{{ - 5}}{4}} \right) = - 7$ Câu 9 : Phương trình \({x^2} - 3x + 2 = \left( {1 - x} \right)\sqrt {3x - 2} \) có bao nhiêu nghiệm?
Đáp án : A Phương pháp giải : Giải phương trình bằng cách đưa về phương trình tích và phương trình chứa căn thức Lời giải chi tiết : Điều kiện: $3x - 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \dfrac{2}{3}$ Ta có \({x^2} - 3x + 2 = \left( {1 - x} \right)\sqrt {3x - 2} \)$ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) + \left( {x - 1} \right)\sqrt {3x - 2} = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2 + \sqrt {3x - 2} } \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x - 2 + \sqrt {3x - 2} = 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\,\left( {TM} \right)\\\sqrt {3x - 2} = 2 - x\,\left( * \right)\end{array} \right.$ Xét phương trình (*): $\sqrt {3x - 2} = 2 - x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 - x \ge 0\\3x - 2 = {\left( {2 - x} \right)^2}\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\{x^2} - 7x + 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\\left[ \begin{array}{l}x = 1\,\\x = 6\,\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow x = 1$ (TM) Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = 1$. Câu 10 : Phương trình \(\sqrt {{x^2} + x + 1} = 3 - x\) có nghiệm là:
Đáp án : D Phương pháp giải : Giải phương trình chứa căn thức $\sqrt A = B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}B \ge 0\\A = {B^2}\end{array} \right.$ Lời giải chi tiết : Ta có \(\sqrt {{x^2} + x + 1} = 3 - x\)$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 - x \ge 0\\{x^2} + x + 1 = {\left( {3 - x} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 3\\7x = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 3\\x = \dfrac{8}{7}\end{array} \right. \Rightarrow x = \dfrac{8}{7}$ Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = \dfrac{8}{7}$. Câu 11 : Phương trình \(\sqrt {4{x^2} - 4x + 5} + \sqrt {12{x^2} - 12x + 19} = 6\) có nghiệm là $\dfrac{a}{b}\,\left( {a,b > 0} \right)$. Tính $a - b$.
Đáp án : A Lời giải chi tiết : Ta có \(\sqrt {4{x^2} - 4x + 5} + \sqrt {12{x^2} - 12x + 19} = 6\)$ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {2x - 1} \right)}^2} + 4} + \sqrt {12{{\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)}^2} + 16} = 6$ Nhận thấy $\sqrt {{{\left( {2x - 1} \right)}^2} + 4} \ge 2;\sqrt {12{{\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)}^2} + } 16 \ge 4$ nên $ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {2x - 1} \right)}^2} + 4} + \sqrt {12{{\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)}^2} + 16} \ge 6$ Dấu “=” xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{{\left( {2x - 1} \right)}^2} + 4} = 2\\\sqrt {12{{\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)}^2} + 16} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 1 = 0\\x - \dfrac{1}{2} = 0\end{array} \right. \Rightarrow x = \dfrac{1}{2}$ Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = \dfrac{1}{2}$. Từ đó suy ra $a = 1;b = 2 \Rightarrow a - b = - 1$. Câu 12 : Giải phương trình \(\sqrt {1 - \sqrt {{x^4} - {x^2}} } = x - 1\)
Đáp án : B Phương pháp giải : Tìm điều kiện của phương trình. Bình phương hai vế của phương trình 2 lần để làm mất căn thức. Giải phương trình bậc hai. Kết hợp điều kiện xác định. Lời giải chi tiết : \(\sqrt {1 - \sqrt {{x^4} - {x^2}} } = x - 1\) Điều kiện: \(x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1\) \(\begin{array}{l}PT \Leftrightarrow \dfrac{1}{{t + \sqrt {{t^2} + 4} }} + \dfrac{1}{{t - \sqrt {{t^2} + 4} }} = 1\\\Leftrightarrow \dfrac{{t - \sqrt {{t^2} + 4} + t + \sqrt {{t^2} + 4} }}{{(t + \sqrt {{t^2} + 4} )(t - \sqrt {{t^2} + 4} )}} = 1\\\Leftrightarrow \dfrac{{2t}}{{{t^2} - {t^2} - 4}} = 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{{2t}}{{ - 4}} = 1\\ \Leftrightarrow t = - 2\\ \Rightarrow x - 1 = - 2 \Leftrightarrow x = - 1.\end{array}\) |
