Để xem đầy đủ nội dung tài liệu các em có thể sử dụng chức năng xem Online hoặc đăng nhập Hoc247.net tải file PDF tài liệu về máy. I- LÝ THUYẾT1. Phép biến hình
Phép biến hình là một quy tắc để với mỗi điểm M trong mặt phẳng xác định được với một điểm duy nhất \(M'\) của mặt phẳng và \(M'\): gọi là ảnh của M qua phép biến hình đó. Ký hiệu: f là một phép biến hình nào đó và \(M'\) là ảnh của M qua f thì ta viết: \(M' = f\left( M \right)\) hay \(f\left( M \right) = M'\) hay \(f:M \mapsto M'\) hay MM'. Nhận xét: 1) f là một phép biến hình đồng nhất \( \Leftrightarrow \forall M \in H:f\left( M \right) = M\) (M được gọi là điểm bất động, kép, bất biến)
\( \Leftrightarrow \forall M \in \left( H \right):f\left( M \right) = M' \in \left( {H'} \right)\). Ta viết \(f\left( H \right) = H'\). 2. Phép dời hìnhĐịnh nghĩa: Phép dời hình là phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ M, N và ảnh \(M',N'\) của chúng. \(\forall M,N \in H:\left\{ \begin{array}{l}f\left( M \right) = M'\\f\left( N \right) = N'\end{array} \right. \Leftrightarrow MN = M'N'\) 3. Tính chất (của phép dời hình)3.1- Phép dời hình biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng, 3 điểm không thẳng hàng thành 3 điểm không thẳng hàng 3.2- Phép dời hình biến: - Đường thẳng thành đường thẳng, tia thành tia, đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó - Tam giác thành tam giác bằng nó (trực tâm \( \to \) trực tâm, trọng tâm \( \to \) trọng tâm) - Đường tròn thành đường tròn bằng nó (tâm biến thành tâm: \(\left\{ \begin{array}{l}I \to I'\\R = R'\end{array} \right.\)) - Góc thành góc bằng nó II- LUYỆN TẬP:Dưới đây, là một số kỹ năng cơ bản giúp độc giả giải quyết xuyên suốt các vấn đề về các phép biến hình cụ thể được học. Bài tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, chứng tỏ các quy tắc sau là một phép biến hình:
Gợi ý: Chỉ rõ: \(\forall M:\exists !M' = F\left( M \right)\)
* Theo quy tắc đặt như trên, luôn tồn tại điểm \(M':F\left( M \right) = M'\left( {{y_M}; - {x_M}} \right)\) Như vậy, với mọi điểm M thì luôn tại ảnh là \({M'}\). (1) * Giả sử, qua quy tắc đặt trên, điểm \(M\left( {{x_M};{y_M}} \right)\) có 2 ảnh là: \(M'\left( {x_M';y_M'} \right),N'\left( {x_N';y_N'} \right)\) Lúc đó: \(\left\{ \begin{array}{l}y_M' = {y_M}\\y_M' = - {x_M}\end{array} \right.\left( i \right)\) và \(\left\{ \begin{array}{l}y_N' = {y_M}\\y_N' = - {x_M}\end{array} \right.(ii)\) Từ (i) và (ii) dễ thấy: \({M'} \equiv {N'}\) (2) Từ (1) và (2), kết luận: Quy tắc đặt trên là một phép biến hình.
Nhận xét: Để chỉ rõ một quy tắc đặt cho trước là một phép biến hình, cần chỉ rõ 2 điểm:
Ngược lại, một trong 2 yêu cầu trên không được thỏa mãn thì quy tắc đặt không là phép biến hình. Bài tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phép biến hình nào sau đây là phép dời hình?
Gợi ý: Chỉ rõ: \(\forall M,N:F\left( M \right) = M',F\left( N \right) = N' \Rightarrow M'N' = MN\) Lấy hai điểm \(M\left( {{x_1};{y_1}} \right),N\left( {{x_2};{y_2}} \right)\), ta có: \(MN = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2}} \)
Ta có: \(M'N' = \sqrt {{{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2} + {{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2}} = MN\) Vậy phép biến hình \({F_1}\) là phép dời hình.
Xét ảnh của M, N qua phép biến hình \({F_2}\) lần lượt được \(M'\left( {2{x_1};{y_1}} \right),N'\left( {2{x_2};{y_2}} \right)\). Ta có: \(M'N' = \sqrt {2{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2}} \) Để ý rằng, nếu \({x_1} \ne {x_2}\) thì \({M'}{N'} \ne MN\). Kết luận: Phép biến hình \({F_2}\) không là phép dời hình. Bài tập 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, với \(\alpha ,a,b\) là những số cho trước. Xét phép biến hình F biến mỗi điểm \(M\left( {x;y} \right)\) thành điểm \(M'\left( {x';y'} \right)\), trong đó: \(\left\{ \begin{array}{l}x' = x\cos \alpha - ysin\alpha + a\\y' = x\sin \alpha + y\cos \alpha + b\end{array} \right.\)
Gợi ý: Chỉ rõ: \(\forall M,N:F\left( M \right) = M',F\left( N \right) = N' \Rightarrow M'N' = MN\)
\(\left\{ \begin{array}{l}x_1' = {x_1}\cos \alpha - {y_1}\sin \alpha + a\\y_1' = {x_1}\sin \alpha + {y_1}\cos \alpha + b\end{array} \right.\) và \(\left\{ \begin{array}{l}x_2' = {x_2}\cos \alpha - {y_2}\sin \alpha + a\\y_2'= {x_2}\sin \alpha + {y_2}\cos \alpha + b\end{array} \right.\) Ta có: \(MN = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2}} \) Xét: \(M'N' = \sqrt {{{\left( {x_2' - x_1'} \right)}2} + {{\left( {y_2/ - y_1'} \right)}^2}} \) \(\begin{array}{l} = \sqrt {{{\left[ {\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\cos \alpha - \left( {{y_2} - {y_1}} \right)\sin \alpha } \right]}^2} + {{\left[ {\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\sin \alpha + \left( {{y_2} - {y_1}} \right)\cos \alpha } \right]}^2}} \\ = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\cos }^2}\alpha + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2}{{\sin }^2}\alpha + {{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2}{{\sin }^2}\alpha + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2}{{\cos }^2}\alpha } \\ = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2}\left( {{{\cos }^2}\alpha + {{\sin }^2}\alpha } \right) + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2}\left( {{{\cos }^2}\alpha + {{\sin }^2}\alpha } \right)} \\ = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2}} = MN\end{array}\) |