Xét \(\sqrt a - \sqrt b < \sqrt {a - b} \) , bình phương hai vế ta được \({\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} < {\left( {\sqrt {a - b} } \right)^2} \)\(\Leftrightarrow {\left( {\sqrt a } \right)^2} - 2.\sqrt a .\sqrt b + {\left( {\sqrt b } \right)^2} < a - b\) Video hướng dẫn giải
LG a So sánh\( \sqrt{25 - 16}\)và \(\sqrt {25} - \sqrt {16}\) Phương pháp giải: Tính cụ thể từng kết quả rồi so sánh Lời giải chi tiết: Ta có: +) \( \sqrt {25 - 16} = \sqrt 9 =\sqrt{3^2}= 3.\) Vì \(3>1 \Leftrightarrow\sqrt {25 - 16}>\sqrt {25} - \sqrt {16} \). Vậy \(\sqrt {25 - 16} > \sqrt {25} - \sqrt {16} \) LG b Chứng minh rằng: với \(a > b >0\) thì \(\sqrt a - \sqrt b < \sqrt {a - b} \) Phương pháp giải: +) Định lí so sánh hai căn bậc hai số học của hai số không âm: \( a< b \Leftrightarrow \sqrt a < \sqrt b\). +) \( \sqrt{ a^2} = a\), với \( a \ge 0\). +) Sử dụng kết quả bài 26 trang 16 SGK toán 9 tập 1: Với hai số dương \(a,b\) ta có: \(\sqrt {a + b} < \sqrt a + \sqrt b \) Lời giải chi tiết: Bài ra cho \(a > b > 0\) nên \(\sqrt a ,\sqrt b \) và \(\sqrt {a - b} \) đều xác định và dương. Ta sẽ so sánh \(\sqrt a \) với \(\sqrt {a - b} + \sqrt b \) Theo kết quả bài 26 trang 16 SGK toán 9 tập 1, với hai số dương \(a-b\) và \(b,\) ta sẽ có: \(\sqrt {a - b} + \sqrt b > \sqrt {a - b + b} \) Suy ra: \(\sqrt {a - b} + \sqrt b > \sqrt a \Leftrightarrow \sqrt {a - b} > \sqrt a - \sqrt b \) Vậy \(\sqrt a - \sqrt b < \sqrt {a - b} \) với \(a > b > 0.\) Cách khác 1: Với \(a > b > 0\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt a > \sqrt b \\a - b > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt a - \sqrt b > 0\\\sqrt {a - b} > 0\end{array} \right.\) Xét \(\sqrt a - \sqrt b < \sqrt {a - b} \) , bình phương hai vế ta được \({\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} < {\left( {\sqrt {a - b} } \right)^2} \)\(\Leftrightarrow {\left( {\sqrt a } \right)^2} - 2.\sqrt a .\sqrt b + {\left( {\sqrt b } \right)^2} < a - b\) \( \Leftrightarrow a - 2\sqrt {ab} + b < a - b \)\(\Leftrightarrow 2b - 2\sqrt {ab} < 0\) \( \Leftrightarrow 2\sqrt b \left( {\sqrt b - \sqrt a } \right) < 0\) luôn đúng vì \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt b > 0\\\sqrt b - \sqrt a < 0\,\left( {do\,0 < b < a} \right)\end{array} \right.\) Vậy \(\sqrt a - \sqrt b < \sqrt {a - b} \) với \(a > b > 0.\) Cách khác 2: Bài ra cho \(a > b > 0\) nên \(\sqrt a ,\sqrt b \) và \(\sqrt {a - b} \) đều xác định và dương. Ta sẽ so sánh \(\sqrt a \) với \(\sqrt {a - b} + \sqrt b \) Ta có \(\sqrt {a - b} + \sqrt b \) là số dương và \({\left( {\sqrt {a - b} + \sqrt b } \right)^2} \)\(= a - b + 2\sqrt {b\left( {a - b} \right)} + b \)\(= a + 2\sqrt {b\left( {a - b} \right)} \) Rõ ràng \(2\sqrt {b(a - b)} > 0\) nên \({\left( {\sqrt {a - b} + \sqrt b } \right)^2} > a\) (1) Ta có \(\sqrt a \) là số không âm và \({\left( {\sqrt a } \right)^2} = a\) (2) Từ (1) và (2) suy ra \({\left( {\sqrt {a - b} + \sqrt b } \right)^2} > {\left( {\sqrt a } \right)^2}\) (3) Từ (3) theo định lí so sánh các căn bậc hai số học, ta suy ra \(\sqrt {{{\left( {\sqrt {a - b} + \sqrt b } \right)}^2}} > \sqrt {{{\left( {\sqrt a } \right)}^2}} \) Hay \(\left| {\sqrt {a - b} + \sqrt b } \right| > \left| {\sqrt a } \right|\) Hay \(\sqrt {a - b} + \sqrt b > \sqrt a \) Từ kết quả \(\sqrt a < \sqrt {a - b} + \sqrt b \), ta có \(\sqrt a - \sqrt b < \sqrt {a - b} \)
|
