KHOAÛNG CAÙCH TÖØ MOÄT ÑIEÅM ÑEÁN MOÄT MAËT PHAÚNG I). PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN : v Bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng , là một dạng toán rất quan trọng trong chương vuông góc của lớp 11 và là một phần hay ra trong đề thi Đại Học . Để giải quyết vấn đề này các bạn phải thành thạo hai công cụ sau và nó liên quan với nhau :  Phương pháp xác định khoảng cách từ hình chiếu của đỉnh đến một mặt phẳng bên. BƯỚC 1: Xác định giao tuyến d BƯỚC 2 : Từ hình chiếu vuông góc của đỉnh , DỰNG BƯỚC 3 : Dựng Với S là đỉnh , A là hình chiếu vuông góc của đỉnh trên mặt đáy. Ba bước dựng ở trên là sử dụng tính chất : Hai mặt phẳng vuông góc với nhau , một đường thuộc mặt phẳng náy vuông góc với giao tuyến thì sẽ vuông vuông với mặt phẳng kia. v Đây là bài toán cơ bản nhưng vô cùng quan trọng trong việc tính khoảng cách từ một đểm đến một mặt phẳng .Hầu như tính khoảng cách từ một điểm BẤT KỲ đến mặt phẳng bên đều thông qua điểm này dựa vào công thức của bài toán 2 . Ví dụ điển hình : Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy (ABC) .Hãy xác khoảng cách từ điểm A đến mặt bên (SBC). Từ hình chiếu của đỉnh là điểm A , dựng Vì Mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (SAH) theo giao tuyến SH có nên Thường sử dụng công thức sau : Công thức tính tỉ lệ khoảng cách: Ở công thức trên cần tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P). Phương pháp phải tìm một đường thẳng d qua M và chứa một điểm A mà có thể tính khoảng cách đến mặt phẳng (P). KINH NGHIỆM thường điểm A là hình chiếu của đỉnh. Để hiểu và tự làm được bài tập thì những tính chất của hình học và phương pháp làm bài tập các bạn phải khắc vào trong tim. II). BÀI TẬP MẪU Câu 1: DỰ BỊ ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2002 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) theo a, biết Đây là bài toán cơ bản chúng ta đã nói ở phần trên Gọi E trung điểm BC thì Có mà Trong tam giác vuông SAE có
Kết luận Câu 2: ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2011 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB = H là hình chiếu vuông góc của đỉnh S, hai điểm B và H cùng nằm trên đường thẳng có giao điểm với mặt phẳng (SAC) tại C . Nên bước đầu tiên ta phải tính khoảng cách từ điểm H đến mp(SAC) , sau đó sử dụng công thức tỉ số khoảng cách để tính khoảng cách từ điểm B đến mp(SAC). Cách làm cụ thể như sau : Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên BC. Do Trong Trong mp(ABC) dựng Vậy Ta có Trong Hai điểm H và B nằm trên đường thẳng có giao điểm với mp(SAC) tại C, nên có:
Các bạn phải nắm vững phương pháp tính khoảng cách từ hình chiếu của đỉnh lên mặt bên Câu 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A với BC = 2a, a). Tính chiều cao của hình chóp. b). Tính khoảng cách từ M đến mp(SAB). LỜI GIẢI Vì Theo đề Từ (1) và (2) suy ra M là hình chiếu vuông góc của S lên mp(ABC). Vậy Trong
b). Tính khoảng cách từ M đến mp(SAB). CHÚ Ý: M là hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mp(ABC). Trong mp(ABC) dựng Do đó MBA là tam giác cân có góc 600, nên MBA đều Trong
Vậy Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác vuông tại S, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc cạnh AD sao cho HA=3HD . Gọi M là trung điểm của AB. Biết rằng SA= Trong
Có HC là hình chiếu vuông góc của SC trên mp(ABCD). Vậy góc giữa SC và (ABCD) là góc Ngoài ra Muốn tính khoảng cách từ M đến mp(SBC), ta phải tính khoảng cách từ H (hình chiếu vuông góc của đỉnh trên mp đáy) đến mp(SBC) trước, sau đó sử dụng công thức tỉ lệ khoảng cách để tính khoảng cách từ M đến mp(SBC). Dựng Trong
Vì Hai điểm A và M cùng nằm trên đường thẳng có giao tuyến với mp(SBC) tại B, có
Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, LỜI GIẢI Gọi H là trung điểm của AB, O là giao điểm của AC và BD. Theo đề bài ta có
Dựng Ta có
Hai điểm A và H nằm trên đường thẳng có giao điểm với mp(SBD) tại B có:
LỜI GIẢI Gọi H là trung điểm của AB. Theo đề bài ta có Có HC là hình chiếu vuông góc của A'C trên mặt phẳng (ABC), nên góc giữa A'C và mặt phẳng (ABC) là góc Dựng Vậy Ta có trong Hai điểm B và H nằm trên đường thẳng có giao điểm với mp(ACC'A') tại A có: LỜI GIẢI Ta có Vậy Trong
Muốn tính khoảng cách từ C đến mp(SBP), ta phải tính khoảng cách từ H (hình chiếu vuông góc của đỉnh trên mp đáy) đến mp(SBP) trước, sau đó sử dụng công thức tỉ lệ khoảng cách để tính khoảng cách từ C đến mp(SBP). Gọi Vì BPDM là hình bình hành nên Trong Hai điểm C và H cùng nằm trên đường thẳng có giao tuyến với mp(SBP) tại K, có
Câu 8: Cho hình chóp S.ABC ,đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a , SA vuông góc với đáy , góc giữa SB và đáy ABC bằng 600 . I trung điểm của BC , H là hình chiếu vuông góc của A trên SI a). Chứng minh tam giác ABH vuông . b). Tính khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đến mặt phẳng ABH a). Chứng minh tam giác ABH vuông . Ta có
Kết luận tam giác ABH vuông tại H . AB là hình chiếu vuông góc của SB trên mặt phẳng (ABC) , nên góc giữa SB và (ABC) là góc b). Tính khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đến mặt phẳng ABH Ta có Trong Trong Vì hai điểm I và G nằm trên đường thẳng có giao điểm với mặt phẳng (ABH) là A , theo công thức tính tỉ lệ khoảng cách có
Câu 9: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy (ABCD) là hình vuông tâm O, AB = 2a, SA = 4a. Tính: a). Khoảng cách từ O đến (SAB). b). Khoảng cách từ A đến (SCD). a). Khoảng cách từ O đến (SAB). Do S.ABCD là hình chóp đều nên Trong mp(ABCD) dựng Có OI là đường trung bình của Trong Trong
b). Khoảng cách từ A đến (SCD). Vì S.ABCD là hình chóp đều nên khoảng cách từ tâm O đến các mặt bên bằng nhau, nên Hai điểm A và O nằm trên đường thẳng có giao điểm với mp(SCD) tại C, nên có: Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh bằng a, SA vuông góc với đáy. Góc tạo bởi SC và mặt phẳng (SAB) bằng 300. a). Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD). b). Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD). c). Tính khoảng cách từ trung điểm I của SC, trọng tâm G của tam giác SCD đến mặt phẳng (SBD). d). Tính khoảng cách từ O , I và G đến mặt phẳng (SAB). a). Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD). Vì
Trong
Trong + Ta có + Trong tam giác vuông SAO có: Vậy b). Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD). Vì hai điểm A và C nằm trên đường thẳng có giao điểm với mặt phẳng (SBD) tại O nên có: c). Tính khoảng cách từ I và G đến mặt phẳng (SBD) Vì hai điểm I và C nằm trên đường thẳng có giao điểm với mặt phẳng (SBD) tại S nên có: Vì hai điểm I và G nằm trên đường thẳng có giao điểm với mặt phẳng (SBD) tại D nên có: d). Tính khoảng cách từ O , I và G đến mặt phẳng (SAB). ở câu a) ta có v Vì hai điểm I và C nằm trên đường thẳng có giao điểm với mặt phẳng (SAB) tại S nên có
Vì hai điểm O và C nằm trên đường thẳng có giao điểm với mặt phẳng (SAB) tại A nên có
Vì hai điểm O và C nằm trên đường thẳng có giao điểm với mặt phẳng (SAB) tại A nên có
Vì Vì hai điểm E và G nằm trên đường thẳng có giao điểm với mặt phẳng (SAB) tại S nên có: Thông qua bài tập này các bạn thấy mấu chốt của bài toán là dựa vào khoảng cách từ hình chiếu của đỉnh ở đây là điểm A , sau đó sử dụng công thức tính tỉ lệ khoảng cách. Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kính AD = 2a , SA vuông góc với đáy (ABCD) và a). Tính khoảng cách từ A , B đến (SCD). b). Tính khoảng cách từ AD đến (SBC). Có Trong Trong tam giác vuông SAC có ü Kết luận Gọi M trung điểm của AD thì Hai điểm A và O cùng nằm trên đường thẳng có giao điểm với mp(SCD) tại C nên Ta có: ü Kết luận b). Tính khoảng cách từ AD đến (SBC). Vì Trong mp(ABCD) dựng Tính AK: Trong tam giác vuông SAK: Kết luận LỜI GIẢI Ta có BM là giao tuyến của mặt phẳng (SBM) và mặt phẳng (ABCD) và có Tam giác SAH vuông cân tại A Trong tam giác vuông ABM:
Có Trong tam giác SAH vuông cân tại A có Hai điểm A và D cùng nằm trên đường thẳng có giao điểm với mp(SBM) tại M nên có : Câu 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy (ABCD) là hình vuông tâm O cạnh a , SA vuông góc với đáy (ABCD) và SA = a. Gọi I , J là trung điểm của SC và AB. a). Chứng minh IO LỜI GIẢI Trong tam giác SAC có OI là đường trung bình của tam giác. Nên có :
b). Tính khoảng cách từ I đến CJ. Trong (ABCD) dựng
Khoảng cách từ I đến CJ là HI . Gọi Trong Trong Câu 14: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có AA' = a, đáy ABC là tam giác vuông tại A có BC = 2a, AB = a). Tính khoảng cách từ AA' đến (BCC'B'). b). Tính khoảng cách từ A đến (A'BC). c). Chứng minh AB LỜI GIẢI do ABC.ABC là lăng trụ đứng nên các đường thẳng AA, BB, CC vuông góc với các đáy (ABC) và (ABC). Dựng
Tam giác ABC vuông tại A có Kết luận Vì AA' // BB'
b). Tính khoảng cách từ A đến (A'BC). Có
Vậy Trong Kết luận c). Chứng minh AB Vì Trong Câu 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh a, SA a). Tính khoảng cách từ A tới mp(SBC). b). Tính khoảng cách từ O đến mp(SBC). c). Tính khoảng cách từ trọng tâm của tam giác SAB đến mp(SAC). LỜI GIẢI a). Tính khoảng cách từ A tới mp(SBC). Ta có
Trong Kết luận b). Tính khoảng cách từ O đến mp(SBC). Hai điểm A và O nằm trên đường thẳng có giao điểm với mp(SBC) tại C, nên có:
c). Tính khoảng cách từ trọng tâm của tam giác SAB đến mp(SAC). Ta có Hai điểm B và G nằm trên đường thẳng có giao điểm với (SAC) tại I với I trung điểm của SA , nên có:
Câu 16: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, SA = a và SA vuông góc với đáy (ABCD) . Gọi I , M là trung điểm của SC , CD . a). Tính khoảng cách từ A đến (SBD). b). Tính khoảng cách từ I đến (SBD). c). Tính khoảng cách từ A đến (SBM). LỜI GIẢI a). Tính khoảng cách từ A đến (SBD). Trong mp(ABCD) dựng Có mà Vậy Trong
Trong Kết luận b). Tính khoảng cách từ I đến (SBD) Gọi Vì hai điểm I và C nằm trên đường thẳng có giao điểm với mp(SBD) tại S , nên có:
c). Tính khoảng cách từ A đến (SBM). Trong mp(ABCD) dựng Có Có
Trong Kết luận Câu 17: Cho hình thoi ABCD tâm O cạnh a và AC = a. Từ trung điểm H của AB dựng SH vuông góc với (ABCD) với SH = a. a). Tính khoảng cách từ H đến (SCD). b). Tính khoảng cách từ O đến (SCD). c). Tính khoảng cách từ A đến (SBC). LỜI GIẢI Trong (ABCD) dựng Ta có mà
Vậy Vì Trong Kết luận b). Tính khoảng cách từ O đến (SCD). Gọi M là giao điểm của HO và CD, O là tâm đối xứng của đáy suy ra O trung điểm của HM. Nên c). Tính khoảng cách từ A đến (SBC). Muốn tính khoảng cách từ A đến mp(SBC) , ta phải tính khoảng cách từ H đến mp(SBC) trước sau đó sử dụng công thức tính tỉ lệ khoảng cách Trong (ABCD) dựng
Ta có Trong Hai điểm A và H nằm trên đường thẳng có giao điểm với mp(SBC) tại B nên có
Câu 18: Cho hình chóp S.ABCD có SA = 2a và SA a). Tính khoảng cách từ A , B đến (SCD). b). Tính khoảng cách từ AD đến (SBC). a). Đáy được vẽ lại ở hình 2 . Dễ dàng chứng minh Có Vậy Trong Kết luận Gọi M là trung điểm của AD, thì BCDM là hình vuông Hai điểm O và A nằm trên đường thẳng có giao điểm với mp(SCD) tại C nên có Kết luận b). Tính khoảng cách từ AD đến (SBC).
Ta có Vậy Trong Kết luận Câu 19: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi với a). Đường cao của hình chóp. b). Khoảng cách từ A đến (SBC). a). Gọi
Có
Dễ thấy ABC là tam giác đều Trong b). Theo câu a) có
Kết luận Câu 20: ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2007 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang. Gọi M trung điểm của AD có Trong (SAC) dựng
Trong Gọi Vậy Hai điểm A và G nằm trên đường thẳng có giao điểm với mặt phẳng (SCD) tại C nên: Trong
Hai điểm B và H nằm trên đường thẳng có giao điểm với mặt phẳng (SCD) tại S nên: Câu 21: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a có góc a). Chứng minh (SAC) vuông góc với (ABCD). b). Chứng minh tam giác SAC vuông. c). Tính khoảng cách từ S đến (ABCD). a). Chứng minh (SAC) vuông góc với (ABCD) Gọi O là tâm của hình thoi ABCD. Ta có mà b). Chứng minh tam giác SAC vuông: Ta chứng minh SO = AO = OC. § Do § § Xét Chú ý : Cho tam giác ABC có AM là đường trung tuyến Trong một tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền c). Tính khoảng cách từ S đến (ABCD) Ta có : SA = SB = SD = a , AB = BD = DA = a nên S.ABD là hình chóp đều. Gọi H là trọng tâm của
§ Vì H là trọng tâm § Trong
Câu 22: Cho hình chóp a). Chứng minh: b). Xác định và tính góc giữa SC và c). Gọi G là trọng tâm của tam giác a). Có mà Có
Vì Từ (1) và (2) suy ra b). AC là hình chiếu vuông góc của SC trên mp(ABCD) do đó góc giữa SC và mp(ABCD) là góc Trong c). Gọi E trung điểm của AB. Dựng
Có Hai điểm E và G nằm trên đường thẳng có giao điểm với (SAC) tại S, có:
Câu 23: Cho hình chóp a). Chứng minh: b). Tính góc giữa hai đường thẳng SC và c). Tính góc giữa hai mặt phẳng d). Tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng a). Có
Theo đề Từ (1) và (2) suy ra mà Có SB là hình chiếu vuông góc của SC trên mp(SAB), do đó góc giữa SC và (SAB) là góc Trong c). Có Trong d). Theo giả thuyết có Gọi H trung điểm của AB. Dựng
Có Hai điểm H và G nằm trên đường thẳng có giao điểm với (SAC) tại S, có:
Câu 24: Cho hình chóp a). Chứng minh: b). Xác định và tính góc giữa SB và mặt phẳng c). Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng d). Xác định và tính góc giữa LỜI GIẢI a). Theo đề bài
Có
Có b). Có SO là hình chiếu vuông góc của SB trên mp(SAC), do đó góc giữa SB và (SAC) là góc Trong
c). Theo câu a) có
Trong Có Kết luận d). Trong mp(SBC) dựng Có Trong Trong
Dễ dàng tính được Áp dụng định lì cosin cho tam giác BDH
Vậy Câu 25: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O, a). Chứng minh: b). Tính góc hợp bởi đường thẳng AC và mặt phẳng c). Tính góc của hai mặt phẳng d). Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng a). Có mà b). Vì (SBC) và (SAB) vuông góc với nhau theo giao tuyến SB, trong mp(SAB) có Như vậy có CH là hình chiếu vuông góc của AC trên mp(SBC), nên góc giữa AC và (SBC) là góc Trong Trong hình chữ nhật ABCD có Trong
c). Trong mp(ABCD) dựng
Có Có Trong d). Theo câu c) có Trong Kết luận Câu 26: Trong mp(P) cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 2a, a). C đến mp(ABB). b). Trung điểm B'C đến mp(ACC). c). B' đến mp(ABC). Trong
a.
b. Gọi E trung điểm của CB'. Có Vậy Ta có Ta có EB' và mặt phẳng (ACC') cắt nhau tại C nên :
c). Vì Trong tam giác ACC' kẻ Ta có Trong Ngoài ra F là giao điểm của CB' với mp(ABC') nên :
Câu 27: ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2013 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a. Cạnh SA vuông góc với đáy , Vì ABCD là hình thoi có
Do AD // BC nên
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SM . Ta có Vì Trong
Kết luận Câu 28: ĐỀ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2013 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, Dựng Vì Trong tam giác ABC vuông tại A có
Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB). Dựng Ta có Vậy Trong Vì hai điểm H và C cùng nằm trên đường thẳng có giao điểm với mặt phẳng (SAB) tại B nên
Câu 29: ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2013 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy .Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD). Gọi H trung điểm của AB , vì tam giác SAC đều nên Do AB // CD và Gọi G trung điểm của CD và I là hình chiếu vuông góc của H trên SG. Có Vì Trong Kết luận TÍNH KHOẢNG CÁCH NHỜ TÍNH CHẤT CỦA TỨ DIỆN VUÔNG Định nghĩa: Tứ diện vuông là tứ diện có một góc tam diện ba mặt vuông. Trong tứ diện vuông có một tính chất đáng chú ý sau đây. Tính chất: Giả sử O.ABC là tứ diện vuông tại O (OA Khi đó đường cao OH của tứ diện OABC được tính theo công thức Dựng Ta có
Hai mặt phẳng (ABC) và (AOD) vuông góc với nhau theo giao tuyến AD có Trong các tam giác vuông OBC và OAD có
Vì vậy : Sử dụng tính chất này để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng trong nhiều trường hợp tỏ ra khá bất lợi. Đây là công thức đẹp và cũng được hay sử dụng . Trong đề thi Đại Học những năm vừa qua có nhiều bài sử dụng công thức này , chúng ta lần lượt xem những ví dụ sau đây : Câu 1: ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2002 Cho hình tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) , biết Ta có Tứ diện ABCD có đôi một vuông góc với nhau tại A nên
Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, a) Tính d(O;(SBC)), d(A;(SBC)). b). Tính d(AD;SB). a) Từ giả thiết có tam giác ABC đều nên có OB = Do tứ diện OSBC vuông tại O
= Suy ra d(O;(SBC)) = Tính khoảng cách từ A mặt phẳng (SBC) thì ta sử dụng công thức tỉ lệ khoảng cách . Vì 2 điểm A và O nằm trên đường thẳng có giao điểm với mặt phẳng (SBC) tại C nên có :
b). Vì AD // mp(SBC) nên d(AD;SB) = d(AD;(SBC)) = d(A;(SBC)) = Câu 3: Cho hình lập phượng Vì
Vì hai đểm A và D' nằm trên đường thẳng có giao điểm với mp(DA'C') tại O nên có
Tứ diện
Kết luận d(AC ; Câu 4: ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2008 Cho lăng trụ đứng a) Tính LỜI GIẢI Do đó
Vì E trung đểm BB' nên
Vì tứ diện BAME là tứ diện vuông tại B nên ta có:
Suy ra d( b). Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB'C) các bạn lanh mắt tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (AB'C) trước vì BB'AC là tứ diện vuông , sau đó sử dụng công thức tỉ số khoảng cách thì tính được khoảng cách từ M . Ta tính như sau : Vì đường thẳng qua 2 điểm B và M có giao điểm với mặt phẳng (AB'C) tại C nên có :
Câu 5: Cho lăng trụ đều Vì đề bài cho chưa có góc nào để có tứ diện vuông , nên ta phải dựng thêm đường thẳng để có tứ diện vuông. Vì ABC đều nên ta nghĩ ngay đến kẻ đường cao của tam giác . Gọi O và O' lần lượt là trung điểm của BC và B'C' . Ta có ngay tứ diện vuông tại O Gọi P là giao điểm của OO' với CN. Vì B'M // AN suy ra B'M // mp(CAN) nên Muốn tính khoảng cách từ B đến (ACN) thông qua khoảng cách từ O đến (ACN) Mặt phẳng (ACN) và mặt phẳng (ACP) như nhau. Ta có OA ,OP , OC đôi một vuông góc tại O nên O.ACP là từ diện vuông tại O nên có
Vì BO có giao điểm với mặt phẳng (CAN) tại C nên có
Câu 6: ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2007 Cho hình chóp S.ABCD , có đáy ABCD là hình thang, Gọi M là giao điểm của AB với CD ; K là giao điểm của AH với SM. Dể thấy B là trung điểm của AM. Ta có:
Suy ra H là trọng tâm của tam giác SAM Từ đó Tứ diện A.SDM vuông tại A nên : Suy ra d(A,(SCD)) = a .Vậy d( H,(SCD))= Câu 7: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a . Gọi K là trung điểm của DD'. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CK và A'D . Gọi M là trung điểm của BB' . Ta có A'M // KC nên d(CK, = d(K, ( Gọi N là giao điểm của AK với Khi đó Suy ra d(CK; Tứ diện Suy ra d(A;( HAI ÑÖÔØNG THAÚNG CHEÙO NHAU 1). Khái niệm : Hai đường thẳng a và b không cùng thuộc một mặt phẳng (không có mặt phẳng nào chứa cả a và b) thì ta nói hai đường thẳng a và b chéo nhau . 2). Đường vuông góc chung của hai đường thẳng : Nếu có đường thẳng d lần lượt vuông góc với cả hai đường thẳng a và b chéo nhau lần lượt tại M và N , thì đường thẳng d gọi là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b , còn độ dài đoạn MN gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Có hai dạng toán chính của bài này là : Dạng 1 : Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng cheo nhau Dạng 2 : Xác định đường vuông góc chung và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau . Chúng ta lần lượt xét các phương pháp giải cụ thể của hai dạng trên như sau : DẠNG 1 :Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Phương pháp chung ta phải chuyển khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau về khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng hoặc khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng . Thường xảy ra những trường hợp sau đây : 1). Nếu đường thẳng a thuộc một mặt phẳng (P) , và đường thẳng b song song với mặt phẳng (P). Thì khoảng cách giữa a và b bằng khoảng cách từ đường thẳng b đến mặt phẳng (P) , CHỌN một điểm M thích hợp thuộc b sao có có thể tính khoảng cách dễ dàng đến mặt phẳng (P) . Khoảng cách từ M đến (P) là khoảng cách giữa hai đường a và b . Chú ý : Nếu không tìm được một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia , thì ta phải dựng mặt phẳng (P) chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia . 2). Nếu đường thẳng a thuộc mặt phẳng (P) , đường thẳng b thuộc mặt phẳng (Q) .Mà hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau , thì khoảng cách giữa a và b bằng khoảng cách (P) và (Q) . 3). Cụ thể tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b, với a là cạnh bên còn b là một cạnh của đáy . Cách làm như sau : Gọi I là giao điểm của đường thẳng a với mặt đáy. Từ I dựng đường thẳng Thông qua các ví dụ sau các bạn sẽ hiểu rõ hơn : Câu 1: ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2011 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, Ta có Trong tam giác ABC có Ngoài ra : Vì : Xét Tính khoảng cách giữa AB và SN , đây là bài toán tính khoảng cách giữa cạnh bên SN và cạnh đáy AB . Do chưa có mặt phẳng nào chứa một trong hai đường trên nên ta phải dựng một mặt phẳng (P) chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia . Cách dựng theo phương pháp 3 ở trên : Có N là giao điểm của cạnh bên SN với mặt đáy (ABC). Từ N kẻ Nên Chú ý : A là hình chiếu của đỉnh, còn mặt phẳng (SNx) là mặt phẳng bên, các bạn xem lại phương pháp tính khoảng cách từ hình chiếu của đỉnh lên một mặt phẳng bên ở bài khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Trong (ABC) dựng Hai mặt phẳng (SNx) và (SAI) vuông góc với nhau theo giao tuyến SI, trong (SAI) dựng Ta có Trong
Kết luận Câu 2: ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2012. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 600. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a. Áp dụng định lý cosin cho tam giác AHC có :
Ta có HC là hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng (ABC). Nên góc giữa SC và mặt phẳng (ABC) là góc Trong tam giác SCH vuông tại H có Tính khoảng cách giữa SA và BC , đây là bài toán tính khoảng cách giữa cạnh bên SA và cạnh đáy BC . Do chưa có mặt phẳng nào chứa một trong hai đường trên nên ta phải dựng một mặt phẳng (P) chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia . Cách dựng theo phương pháp 3 ở trên : A là giao điểm của cạnh bên SA với mặt đáy (ABC) . Từ A Kẻ Nên BC song song với mặt phẳng (SAx) thì khoảng cách mọi điểm trên đường thẳng BC đến mặt phẳng (SAx) đều bằng nhau. Vì sao Thầy lại chọn điểm B mà không chọn điểm khác chẵn hạn là C , là vì điểm B nằm trên đường thẳng có chứa điểm H là hình chiếu của đỉnh , việc tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng bên (SAx) là rất dễ dàng . Thông qua công thức tính tỉ số khoảng cách thì ta tính được khoảng cách từ B. Nên trên lý thuyết Thầy có nói chọn điểm M thích hợp có thể tính khoảng cách đến mp(P), cụ thể ở bài này là điểm B. Trong (ABC) dựng Vì Hai mặt phẳng (SAx) và (SHI) vuông góc với nhau theo giao tuyến SI, trong (SHI) dựng Trong Trong Đường thẳng đi qua hai điểm B và H có giao điểm với mặt phẳng (SAx) là A nên Kết luận Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = SB = SC = SD = a). Chứng minh (SIK) b). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AD. LỜI GIẢI
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Ta có Có ( vì Có AD Hai mặt phẳng (SBC) và (SIK) vuông góc với nhau theo giao tuyến SK, trong (SIK) dựng Trong Trong
Hai điểm I và O cùng nằm trên đường thẳng có giao điểm với mp(SBC) tại K nên
Kết luận Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I, AB=2a, BD= Do
Do
Có Muốn tính khoảng cách từ C đến mp(SAB), ta phải tính khoảng cách từ H (hình chiếu vuông góc của đỉnh trên mp đáy) đến mp(SAB) trước, sau đó sử dụng công thức tỉ lệ khoảng cách để tính khoảng cách từ C đến mp(SAB). Dựng Ta có Trong
Hai điểm C và H cùng nằm trên đường thẳng có giao tuyến với mp(SAB) tại A, có
Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I, AB=a, AD=2a. Gọi M là trung điểm cạnh AB và N là trung điểm đoạn MI. Hình chiếu vuông góc của điểm S lên mặt phẳng đáy (ABCD) trùng với điểm N. Biết góc tạo bởi đường thẳng SB với mặt phẳng đáy (ABCD) bằng Có
BN là hình chiếu vuông góc của SB trên mp(ABCD), nên góc giữa SB và mp(ABCD) là góc Có Dựng Có tứ giác AMNK là hình chữ nhật Trong Kết luận Câu 6: Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh bằng a, góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 300. Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng (A1B1C1) thuộc đường thẳng B1C1. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA1 và B1C1 theo a. Do Xét tam giác vuông AHA1 có AA1 = a ,
Do tam giác A1B1C1 là tam giác đều cạnh a, H thuộc B1C1 và Kẻ đường cao HK của tam giác AA1H thì HK chính là khoảng cách giữa AA1 và B1C1 Ta có AA1.HK = A1H.AH Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại C và D. Biết Vì Đặt Ta có Ta có
Ta có Ta có Từ O dựng OH vuông góc với SC tại H, suy ra OH là đoạn vuông góc chung của SC và BD. Vậy Dựng AK vuông góc với SC tại K. Trong tam giác SAC có
Ta có Câu 8: Cho hình lăng trụ ABC. Gọi H trung điểm của CM. Vì tam giác A'MC đều nên Đặt Pitago cho Vì A'H là đường cao tam giác đều A'CM nên có Tính khoảng cách từ H đến mp(ACC'A'). Dựng Vậy Trong Vì 2 điểm M và H nằm trên đường thẳng có giao điểm với mp(ACC'A') tại C, có:
Vì 2 điểm B và M nằm trên đường thẳng có giao điểm với mp(ACC'A') tại A, có:
Vì Vậy: Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên mp(ABCD). Vì mp(SCD) vuông góc với mp(ABCD) theo giao tuyến CD, suy ra H thuộc CD. Vì Có Có HB là hình chiếu vuông góc của SB trên mặt phẳng (ABCD),suy ra góc giữa SB với mặt phẳng (ABCD) là góc Có Có Có mà Vậy Có Kết luận Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật với Có Có Qua M kẻ đường thẳng d song song với AC. Thì Vậy Dựng Đáy ABCD được vẽ lại ở hình 2 Có Trong Câu 11: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a và mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt đáy. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC. (D 2014 ). Gọi H trung điểm của BC, vì hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) vuông góc với nhau theo gia tuyến BC, có Vì ABC vuông cân tại A nên có Có Trong Vậy DẠNG 2 : XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG VUÔNG GÓC CHUNG 1. Phương pháp giải Ta có các trường hợp sau đây: a) - Ta dựng mặt phẳng - Trong b) Cách 1 : - Ta dựng mặt phẳng - Lấy một điểm - Từ - Từ - Ta dựng mặt phẳng - Dựng hình chiếu vuông góc của - Trong mặt phẳng - Từ - Từ - Độ dài đoạn thẳng Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = h và a). SB và CD. b). AD và SB c). AB và SD d). SC và BD. e). SC và AB. f). SC và AD LỜI GIẢI
a). Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SB và CD Có
Mà Từ (1) và (2) ta có BC là đường vuông góc chung của SB và CD, và BC cũng là khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD .Kết luận b).Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SB và AD Trong
Từ (3) và (4) thì AK là đường vuông góc chung của SB và AD, và AK cũng là khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AD . Trong
Kết luận c). Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB và SD. Trong Ta có Từ (5) và (6) thì AH là đường vuông góc chung của SD và AB , và AH cũng là khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AB . Trong
Kết luận d). Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SC và BD. Gọi Ta có Từ (7) và (8) thì OG là đường vuông góc chung của SC và BD , và OG cũng là khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và BD . Trong Ta có
Kết luận e). Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SC và AB. Ta có Từ H dựng Trong mặt phẳng (AB,HI) dựng IJ Ta có Vậy IJ là đường vuông góc chung của SC và AB, và IJ cũng là khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB . Kết luận f). Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SC và AD. Ta có Từ K dựng Trong mặt phẳng (AD,KL) dựng LM Ta có Vậy LM là đường vuông góc chung của SC và AD, và LM cũng là khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AD . Kết luận Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , có góc a). SB và CD b). BD và SC c). SC và AB . LỜI GIẢI a). Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SB và CD. Vì Trong mặt phẳng (ABCD) từ B dựng BN Từ (1), (2), (3) thì BN là đường vuông góc chung của hai đường thẳng SB và CD và khoảng cách giữa chúng là CL. Vì ABCD là hình thoi có Kết luận b). Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của BD và SC. Gọi Ta có Từ (4) và (5) thì OM là đường vuông góc chung của SC và BD, và OM cũng là khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và BD . Trong Ta có
Kết luận c). Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SC và AB . Trong (ABCD) dựng Từ H dựng Trong mặt phẳng (AB,HI) dựng IK Ta có Vậy IK là đường vuông góc chung của SC và AB, và IK cũng là khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB. Trong
Kết luận Câu 3: Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình thoi cạnh a , góc A bằng 600, góc của đường chéo AC' và mp đáy bằng 600 . a). Tính đường cao của hình hộp đó. b). Tìm đường vuông góc chung của A'C và BB'. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng đó. LỜI GIẢI Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp đứng nên :
Vì ABCD là hình thoi có Trong
Gọi O là giao điểm của AC và BD. I trung điểm của A'C. Ta có OI là đường trung bình của Ta có Trong mặt phẳng (BDD'B') dựng Từ (1), (2), (3) suy ra IK là đường vuông góc chung của A'C và BB'. IK cũng là khoảng cách giữa A'C và BB'. Kết luận : Câu 4: Cho chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng Trong tam giác ABC đều, kéo dài AG cắt BC tại M Chóp S.ABC đều, mà G là tâm Vì Trong Trong Trong Câu 5: Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA vuông góc với mp(ABC) và Ta có Dựng Ta thấy:
Câu 6: Trong mặt phẳng (P) cho hình thoi ABCD có tâm là O, cạnh a). BD và SC b). AB và SD a). Dễ dàng chứng minh được Trong mp(SAC) kẻ Trong
Trong Trong Và Gọi G , H lần lượt trung điểm của AB và CD. Ta có Từ O dựng Trong mặt phẳng (SGH) kẻ GJ // OI ( Từ J dựng đường thẳng song song với CD cắt SD tại K. Suy ra AB và JK cùng thuộc một mặt phẳng. Trong mặt (AB,JK) dựng KL // GJ( Thật vậy vì Trong
Kết luận Câu 7: Cho tứ diện ABCD với AB = CD = a , AC = BD = b , BC = AD = c . Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Hãy tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB và CD. Ta có Chứng minh tương tự ta có Kết luận IJ là đoạn vuông góc chung của AB và CD. BJ là đường trung tuyến của
Trong
Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a; mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD); góc giữa mặt phẳng (SAD) và mặt phẳng (ABCD) bằng 450. Tính khoảng cách từ C tới mặt phẳng (SAD). Gọi H là hình chiếu của S trên AB.Vì Vì Vì BC // mp(SAD) suy ra d(C;mp(SAD)) = d(B;mp(SAD)) Gọi K là hình chiếu vuông góc của B lên SA có
Trong
Câu 9: Cho hình lập phương Ta có
Gọi Ta có
· Vì Để Câu 10: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , Ta có Trong tam giác vuông BKD :
Ta có Trong tam giác vuông B'KD :
Suy ra tam giác B'BD cân tại B' do đó H chính là giao điểm của AC và BD. Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc
Kẻ HN song song AB N kẻ HI vuông góc với SK , I thuộc SK
Câu 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy ABCD và SA=a. Tính : a). Khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng MCD với M trung điểm của SA. b). Khoảng cách giữa AC và SD. LỜI GIẢI
Ta có mà Ta có
Vì M trung điểm của SA nên :
Có Kết luận : b). Khoảng cách giữa AC và SD. Trong mặt phẳng (ABCD) từ D kẻ Dx // AC. Gọi Vì Nên Từ A kẻ Thật vậy ta có
Ta có Trong tam giác
Câu 13: ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2007 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh MN vuông góc với BD và tính (theo a) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC. Gọi O giao điểm của AC và BD . P trung điểm của SA Trong tam giác EAD có MP là đường trung bình của tam giác nên Vì N trung điểm của BC nên Từ (1) và(2) suy ra tứ giác CPMN là hình bình hành nên MN // PC Ta có Vì MN // mp(SAC) nên Hai điểm B và N nằm trên đường thẳng có giao điểm với mặt phẳng (SAC) tại điểm C nên
Kết luận Câu 14: Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có các mặt bên là hình vuông cạnh bằng a . Gọi D , E , F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC , A'C' , B'C' . Tính khoảng cách giữa DE và A'F . LỜI GIẢI Vì các mặt bên ABB'A' , ACC'A' , BCC'B' là các hình vuông có
Vậy Ta có Hình vuông BCC'B' được vẽ lại ở hình 2 Ta có
Vì hai điểm B' , F nằm trên đường thẳng có giao điểm với mp(ADIE) tại I nên có
DÖÏNG THIEÁT DIEÄN MAËT PHAÚNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Bước 1: Tìm những đường thẳng thuộc khối chóp vuông góc với d. Bước 2: Suy ra Bước 3: Tìm giao tuyến của
Câu 1: Cho tam giác ABC đều, tâm O có đường cao a). Chứng minh b). Dựng thiết diện tạo bởi mặt phẳng c). Tính diện tích thiết diện tìm được ở câu b). Định x để thiết diện có diện tích lớn nhất? LỜI GIẢI
a). Có mà Có
Trong Từ đó có b). Có Giao tuyến của mp Giao tuyến của mp Giao tuyến của mp Do đó suy ra thiết diện cần tìm là hình thang EFJI (Vì c). Có Trong
Trong Trong Do
Có Vậy Suy ra Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, a). Chứng minh b). Dựng AH vuông góc với SO tại H. Chứng minh c). Tính khoảng cách từ A và E đến mặt phẳng (SBD). d). Mặt phẳng LỜI GIẢI
a). Có
Trong
Trong
b). Theo câu a) có c). Theo câu b) AH là khoảng cách từ A đến (SBD). Có Trong Hai điểm A và E nằm trên đường thẳng có giao điểm với (SBD) tại B, nên có:
d). Có Giao tuyến của mp Trong mp(SAB) dựng Giao tuyến của mp Từ đó suy ra thiết diện cần tìm là hình thang vuông MNPQ (Vì Rõ ràng MQ là đường trung bình của hình thang ABCD Trong mp(SAB) có
Trong
Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, biết SA vuông góc với đáy và a). Chứng minh b). Mặt phẳng c). Đặt LỜI GIẢI Có b). Có Có Có Có Từ cách dựng điểm trên suy ra tứ giác MNPQ là hình thang (vì Ngoài ra có c). Trong
Trong
Trong
Câu 4: Cho hình chóp S.ABC có a). Chứng minh b). Lấy điểm c). Đặt Do tam giác ABC cân tại A a). Có b). Do Có Có Có Có Từ cách dựng ở trên suy ra tứ giác MNPQ là hình bình hành. Ngoài ra có c). Trong Trong
Có Vậy diện tích MNPQ lớn nhất khi Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với a). Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng LỜI GIẢI a). Do Vì Vì Vì Từ cách dựng ở trên suy ra thiết diện cần tìm là hình thang MNPQ. Ngoài ra dễ dàng chứng minh b). Gọi Trong
Trong
Câu 6: Cho hình thoi ABCD có tâm O với các đường chéo a). Chứng minh tứ giác AMNP có hai đường chéo vuông góc. b). Tính diện tích tứ giác AMNP. c). Chứng minh tam giác MNP đều. a). Có
Dựng Do
b). Trong Trong Tam giác cân SAC có hai đường cao Trong
c). Dễ dàng chứng minh H trung điểm của MP. Trong Do H là trọng tâm Có Từ (1) và (2) suy ra Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và a). Chứng minh b). Chứng minh LỜI GIẢI a). Do SAB là tam giác đều, nên Trong Trong b). HM là đường trung bình của Xét hai tam giác vuông ADH và DCM có:
c). Có Do Do Do Do M trung điểm của AD, nên dễ dàng thấy I trung điểm của HC và N trung điểm của BC Theo tính chất đường trung bình có Từ chứng minh trên có Do Câu 8: Cho tứ diện ABCD, gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của CD, BC và AB. a). Tìm giao tuyến của (ABM) và (AND). b). Tìm giao tuyến của (MNP) và (ACD). Xác định thiết diện của (MNP) với tứ diện ABCD. Thiết diện là hình gì? c). Cho a). Có Trong mp(BCD) gọi
Từ (1) và (2) suy ra Có NP là đường trung bình của Có Trong (ACD) gọi Có Thật vậy vì có b). Có Áp dụng định lý cosin cho tam giác MNP:
Diện tích thiết diện MNPQ:
Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, a). Chứng minh b). Gọi E là giao điểm của SC và (ABH). Xác định hình dạng của tứ giác ABEH. c). Tính diện tích tứ giác ABEH. a). Ta có mà b). Có Vậy tứ giác ABEH là hình thang vì có c). Tính diện tích tứ giác ABEH. Ta có Có Vậy Câu 10: Cho tứ diện SABC có a). Chứng minh b). Tính góc giữa SA với mp(SIC). c). Mặt phẳng a). Ta có Có
b). Dựng
Do Trong Vậy c). Gọi N trung điểm của SA
Mà BN là đường trung tuyến của tam giác đều SAB Từ (1) và (2) suy ra Suy ra thiết diện của Diện tích thiết diện là: Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD, biết a). Chứng minh b). Tính khoảng cách từ I đến (SCD). c). Mặt phẳng a). Do tam giác SAB vuông cân tại S nên Có Có mà b). Hai mặt phẳng (SCD) và (SIJ) vuông góc với nhau theo giao tuyến SJ, trong mặt phẳng (SIJ) dựng Có Trong
Kết luận c). Có Từ đó tứ giác MNPQ là hình thang (theo cách dựng Trong Trong Có Trong Diện tích MNPQ là:
Câu 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = 2a, AD = DC = a, a). Chứng minh b). Gọi c). Gọi a). Có mà Gọi H trung điểm của AB, suy ra tứ giác AHCD là hình vuông. Trong Có b). Có Trong c). Có Từ đó suy ra thiết diện cần tìm là tam giác SDH. Có Diện tích thiết diện cần tìm là: Câu 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. a). Chứng minh rằng: mặt phẳng b). Tính số đo góc của 2 mặt phẳng c). Mặt phẳng LỜI GIẢI a). Có mà b). Có mà b). Có Ngoài ra Từ (1) và (2) suy ra Có
Và
Câu 14: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông, cạnh a, tâm O, a). Chứng minh b). Tính khoảng cách từ A đến c). Mặt phẳng a). Có
Có mà b). Hai mặt phẳng (sac) và mp(SBD) vuông góc với nhau theo giao tuyến SO, trong mp(SAC) dựng
Vậy Có Có SO là hình chiếu vuông góc của SC trên mp(SBD), nên Trong mp(ABCD) dựng Từ đó có Dựng Dễ thấy AOBI là hình vuông Có Kết luận Có Vì Giao tuyến của Ngoài ra có Từ (1) và (2) suy ra thiết diện là hình thang vuông. Có Có Trong Diện tích thiết diện: Câu 15: Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác vuông cân tại a). Chứng minh b). Tính góc giữa hai mặt phẳng c). M thuộc cạnh AC với a). Có Có Từ đó có H là trực tâm của ( do có Có và
b). Có Ta có Với Có Trong mp(ABC) dựng Từ đó có Dựng mà Dễ thấy ABCI là hình chữ nhật Có Kết luận c). Có Giao tuyến của Giao tuyến của Giao tuyến của Suy ra thiết diện cần tìm là hình thang MNPQ (do Ngoài ra có Từ (1) và (2) suy ra thiết diện là hình thang vuông. Trong Trong
Trong Vậy Câu 16: Cho hình chóp a). Chứng minh: b). Tình tan của góc hợp bởi 2 mặt phẳng c) M là điểm trên cạnh AB với LỜI GIẢI
Có Từ (1) và (2) suy ra
mà Câu 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a và góc a). Tính góc giữa đường thẳng SC và b). Chứng minh hai mặt phẳng c).Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng d). Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CD và SB. e). Gọi a). Vì Có AC là hình chiếu của SC trên mp(ABCD), do đó góc giữa SC và (ABCD) là góc Trong
b). Có c). Hai mp(SAC) và (SBD) vuông góc với nhau theo giao tuyến SO, trong (SAC) dựng Trong Kết luận d). Dễ thấy hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) vuông góc với nhau theo giao tuyến AB, trong (ABCD) dựng Trong mp(ABCD) dựng e). Dựng Trong (SAC) gọi Vì Có Từ đó suy ra thiết diện cần tìm là tứ giác APMN.
Theo đề có Từ đó suy ra Q là trọng tâm của Trong Tứ giác APMN có hai đường chéo AM và PN vuông góc với nhau nên:
|
