Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2x+3y=11

Ta có: $2x+3y=11$

⇔$x=$ $\frac{11-3y}{2}$ $=5-y+$$\frac{1-y}{2}$

Vì $x,y$ ∈ $Z$ ⇒ $\frac{1-y}{2}$ ∈ $Z$

Đặt $\frac{1-y}{2}$ $=t$ $(t∈Z)$

⇒$y=1-2t$ ⇒ $x=5-(1-2t)+t=3t+4$

Vậy $(x,y)$ ∈ ${3t+4, 1-2t}$ với t∈$Z$

Chuyên đề 2:ph ơng trình nghiệm nguyên 1. Tìm nghiệm nguyên của Phơng trình và hệ phơng trình bậc nhất hai ẩnTuỳ từng bài cụ thể mà làm các cách khác nhau.VD1: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: 2x + 3y = 11 (1)Cách 1: Phơng pháp tổng quát:Ta có: 2x + 3y = 112152311 ==yyyxĐể phơng trình có nghiệm nguyên 21y nguyênĐặt Zty=21 y = 2t + 1x = -3t + 4Cách 2 : Dùng tính chất chia hếtVì 11 lẻ 2x + 3y luôn là số lẻ mà 2x luôn là số chẵn 3y lẻ y lẻDo đó : y = 2t + 1 vớiZt x = -3t + 4Cách 3 : Ta nhân thấy phơng trình có một cặp nghiệm nguyên đặc biệt là x0 = 4 ; y0 = 1Thật vậy : 2 . 4 + 3.1 = 11 (2)Trừ (1) cho (2) vế theo vế ta có :2(x - 4) + 3(y - 1) = 02(x -4) = -3(y -1) (3)Từ (3) 3(y - 1) 2 mà (2 ; 3) = 1 y - 1 2 y = 2t + 1 với Zt Thay y = 2t + 1 vào (3) ta có : x = -3t + 4Nhận xét : Với cách giải này ta phải mò ra một cặp nghiệm nguyên (x0, y0) của phơng trình ax + by = c ; cách này sẽ gặp khó khăn nếu hệ số a, b, c quá lớn.Các bài tập t ơng tự : Tìm nghiệm nguyên của phơng trình.a) 3x + 5y = 10b) 4x + 5y = 65c) 5x + 7y = 112VD2 : Hệ phơng trình.Tìm nghiệm nguyên dơng của hệ phơng trình sau :3x + y + z = 14 (1)5x + 3y + z = 28 (2)Giải : Từ hệ đã cho ta có : 2(x + y) = 14 vậy x = 7 - y (*)Thay (*) vào (1) ta đợc z = 14 - y - 3x = 2y -7Vì x > 0 nên 7 - y > 0 y < 7 mà z > 0 nên 2y - 7 > 0 y > 27Vậy 27 < y < 7 và Zy { }6;5;4 yGiải tiếp hệ đã cho có 3 nghiệm (3; 4; 1); (2; 5; 3); (1; 6; 5)Bài tập t ơng tự: a) Tìm nghiệm nguyên của hệ2x -5y = 52y - 3z = 1b) Trăm trâu ăn trăm bó cỏ trâu đứng ăn năm, trâu nằm ăn ba, trâu già 3 con 1 bó. Tìm số trâu mỗi loại.c) Tìm số nguyên dơng nhỏ nhất chia cho 1000 d 1 và chia cho 761 d 8.2. Tìm nghiệm nguyên của phơng trình, hệ phơng trình bậc cao.Phơng pháp 1 : Dùng dấu hiệu chia hết để giải phơng trình.VD1: a) Tìm cặp số nguyên (x ; y) thoả mãn phơng trình6x2 + 5y2 = 74 (1)Cách 1 : Ta có : 6 (x2 - 4) = 5 (10 - y2) (2)Từ (2) 6(x2 - 4) 5 và (6 ; 5) = 1 x2 - 4 5 x2 = 5t + 4 vớiNt Thay x2 - 4 = 5t vào (2) ta có : y2 = 10 6tVì x2 > 0 và y2 > 0 5t + 4 > 010 - 6t > 0 3554<< t với Nt t = 0 hoặc t = 1Với t = 0 y2 = 10 (loại)Với t = 1 x2 = 9x = 3 y2 = 4 y = 2Vậy các cặp nghiệm nguyên là : Cách 2 : Từ (1) ta có x2 + 1 50 < x2 12 x2 = 4 hoặc x2 = 9Với x2 = 4 y2 = 10 (loại)Với x2 = 9 y2 = 4 (thoả mãn)Vậy Cách 3 : Ta có :(1) y2 chẵn 0 < y2 14 y2 = 4 x2 = 9Vậy VD2 : Chứng minh rằng phơng trình sau không có nghiệm nguyên a) x5 + 29x = 10(3y + 1)b) 7x = 2y - 3z - 1Giải : x5 - x + 30x = 10(3y+1)VP 30 còn VT 30 phơng trình vô nghiệmPhơng pháp 2: Phân tích một vế thành tích, một vế thành hằng số nguyênVD1: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:a) xy + 3x - 5y = -3b) 2x2 - 2xy + x - y + 15 = 0c) x2 + x = y2 - 19Giải : a) Cách 1: x(y + 3) 5(y + 3) = -18(x 5) (y + 3) = -18 Cách 2 : 3185335+=+=yyyxb) Tơng tự.c) 4x2 + 4x = 4y2 - 76 (2x + 1)2 - (2y)2 = -75 Phơng pháp 3 : Sử dụng tính chẵn lẻ (đặc biệt của chia hết)VD2 : Tìm nghiệm nguyên.x3 - 2y3 - 4z3 = 0Giải : x3 = 2(y3 + 2z3)VP 2 x3 2 x 2 đặt x = 2k8k3 = 2(y3 + 2z3) 4k3 = y3 + 2z3 y3 = 4k3 - 2z3 = 2(2k3 - z3) y chẵn. Đặt y = 2t ta có :8t3 = 2(2k3 - z3) 4t3 = 2k3 - z3 z3 = 2k3 - 4t3 z chẵn z = 2m 8m3 = 2(k3 - 2t3) k chẵn Phơng pháp 4 : Phơng pháp sử dụng tính chất của số chính phơngVD1 : Tìm nghiệm nguyên của.a) x2 - 4xy + 5y2 = 169b) x2 - 6xy + 13y2 = 100Giải :a) (x - 2y)2 + y2 = 169 = 0 + 169 = 25 + 144 b) (x 3y)2 + (2y)2 = 100 = 0 + 100 = 36 + 64 = Phơng pháp 5 : Phơng pháp công thức nghiệm phơng trình bậc 2VD1 : Tìm nghiệm nguyên của phơng trình.a) 2x2 -2xy + x + y + 15 = 0b) 5(x2 + xy + y2) = 7(x+2y) (đề thi học sinh giỏi tỉnh 2009 2010)c) x(x + 1) = y (y + 1) (y2 + 2)Phơng pháp 6 : Phơng pháp đặt ẩn phụVD: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: 67322222122222=+++++++++xxxxxxxx (1)Đặt y = x2 + 2x + 2 (y Z)(1) 6711=++yyyy 5y2 7y 6 = 0 531=y (loại) ; y2 = 2 (thoả mãn) x1 = 0; x2 = -2Các bài tập t ơng tự: a) x3 + (x + 1)3 + (x + 2)3 = (x + 3)3b) 121)1(1)2(12=++xxx* Một số phơng pháp khác.VD1 : Tìm nghiệm nguyên của phơng trình : 2x2 + 4x = 19 -3y2Giải : 4x2 + 8x + 4 = 42 - 6y2(2x + 2)2 = 6 (7 - y2)Vì (2x + 2)2 0 7 - y2 0 72yMà y Z y = 0 ; 1 ; 2 Từ đây ta tìm đợc giá trị tơng ứng của x