Phân tích phân số 1 4 thành tổng hai phân số có tử số là 1 và mẫu số khác nhau

Một vài ý kiến về toán học khi dạy bài:
Viết một phân số thành tổng của nhiều phân số
có tử số là 1; mẫu số khác nhau.
Trong những năm gần đây việc dạy toán nâng cao cho những học sinh có năng
khiếu về toán học là một việc làm thờng xuyên liên tục. Để giúp học sinh tiểu học nắm
đợc lợng kiến thức toán đồ sộ ở tiểu học thì việc giúp các em nhận thức, nắm rõ một số
quy luật của toán học là một việc làm cần thiết, nhất là trong toán dạy học các kiến
thức về phân số.
Trong quá trình giảng dạy,khi dạy bài viết một phân số thành một tổng nhiều
phân số ( bài toán ngợc so với dạng toán mà học sinh đại trà đợc học trên lớp ); tôi thấy
học sinh gặp rất nhiều khó khăn, các em thờng loay hoay với một số bài toán khó và rất
mất thời gian của giáo viên và học sinh.
Chẳng hạn
Viết phân số
6
5
thành tổng của hai phân số có tử số là 1; mẫu số khác nhau?
Học sinh thờng làm nh sau:
Vì 6 chia hết cho 1; 2; 3; 6
Mà 5 = 2 + 3
Nên
2
1
3
1
6
3
6
2
6
32

30
6
65
61
5
1
==
x
x
Bớc 2:
30 chia hết cho 1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30.
Mà 6 là tổng của 3 số khác nhau và khác 0 là: 1; 2; 3.
Nên
10
1

15
1
30
1
30
3
30
2
30
1
30
321
30
6
5
1
++=++=
++
==
Qua các bài tập trên, tôi thấy học sinh thờng làm theo cách thủ công, một số trờng
hợp các em làm mò
Bớc 1 xét xem mẫu số chia hết cho những số nào?
Bớc 2 trong các số chia hết ấy, tử số là tổng của hai hay nhiều số nào?
Khi gặp những bài cha đủ hai bớc trên thì học sinh có thể dùng tính chất cơ bản
của phân số để nâng phạm vi chia hết của mẫu số bằng cách nhân cả tử số và mẫu số
với một số tự nhiên khác 0. ( Để đa phạm vi chia hết của mẫu số, các em thờng nhân
với những số là số chia hết cho 6 hoặc 9).
Để khắc phục tình trạng trên, trong khi dạy bài này tôi dùng phơng pháp quy nạp
để giúp các em rút ra đợc công thức chung cho dạng toán này thông các ví dụ
Ví dụ 1

Tính tổng của các phân số sau

30
1
6
1
+
Học sinh làm nh SGK để tính tổng

5
1
30
6
30
15
30
1
30
5
30
1
6
1
==
+
=+=+

Nh vậy
5
1

đợc viết thành tổng của hai phân số có tử số bằng 1; mẫu số khác nhau là
30
1
;
6
1
.
Học sinh quan sát và đa ra nhận xét về mẫu số của tổng và mẫu số của các số
hạng
Cụ thể
6
1
có mẫu số bằng 6. Mà 6 = 5 + 1 (5 là mẫu số của phân số
5
1
).
30
1
có mẫu số bằng 30. Mà 30 = 5 x 6 = 5 x ( 5 + 1 ) (5 là mẫu số của phân số
5
1
).
Vậy biểu thức
30
1
6
1
5
1
+=

có thể viết lại là
)15(5
1
15
1
5
1
+
+
+
=
x
.
Để củng cố kiến thức này, tôi cho học sinh làm ví dụ 2
Ví dụ 2
Tính
156
1
13
1
4
1
++
Học sinh thực hiện nh sau
156
1
13
1
4
1

++
=
3
1
12
1
4
1
)
156
1
13
1
(
4
1
=+=++
ví dụ 2 này biểu thức

156
1
13
1
4
1
++
=
3
1
12

1
4
1
=+

3
1
12
1
4
1
=+
Nhận xét
4 = 3+1 ( 3 là mẫu số của phân số
3
1
)
12 = 3 x4 = 3 x (3 + 1) ( 3 là mẫu số của phân số
3
1
).
Học sinh nhận xét tiếp
Phân số
13
1
có mẫu số bằng 13 mà 13 = 12 + 1 ( 12 là mẫu số của phân số
12
1
).
Phân số

156
1
có mẫu số bằng 156 mà 156 = 12 x 13 = 12 x ( 12 + 1 ) ( 12 là
mẫu số của phân số
12
1
)
Vậy
))1)13(3(()13(3
1
1)13(3
1
13
1
)13(3
1
13
1
12
1
4
1
3
1
+++
+
++
+
+
=

+
+
+
=+=
xxxxx
Qua 2 ví dụ trên, tôi cho học sinh làm một bài tập dạng công thức
Ví dụ 2
Viết phân số
a
1
thành tổng của hai phân số có tử số là 1 và mẫu số khác nhau
( a 0)
Bài tập này nêu ra ở dạng tổng quát, yêu cầu học sinh phải nắm thật chắc các bài
tập nêu trên.
Do tính quy luật của nó học sinh giải nh sau:
xaaaa )1(
1
1
11
+
+
+
=
Đây chính là công thức chung cho dạng bài tập Viết một phân số thành tổng
của nhiều phân số khác nhau
Luyện tập
Bài 1
Viết phân số
8
1

thành tổng của hai phân số có tử số là 1 và mẫu số khác nhau?
( học sinh xác định a = 8 )
nên
8
1
=
72
1
9
1
)18(8
1
18
1
+=
+
+
+
x
Từ bài tập này ta có thể cho học sinh làm bài tập nâng cao một chút
Bài tập 2
Viết phân số
8
1
thành tổng của ba phân số có tử số là 1 và mẫu số khác nhau?
Học sinh làm theo các bớc sau
Bớc 1
Viết phân số
8
1

thành tổng của hai phân số có tử số là 1 và mẫu số khác nhau

8
1
=
72
1
9
1
)18(8
1
18
1
+=
+
+
+
x
Bớc 2
Học sinh có thể chọn một trong hai phân số
9
1
hoặc
72
1
phân tích tiếp để đợc bài
giải theo yêu cầu
Chẳng hạn
Viết phân số
9

1
thành tổng của ba phân số có tử số là 1 và mẫu số khác nhau

90
1
10
1
)19(9
1
19
1
9
1
+=
+
+
+
=
x
Hoặc

5256
1
73
1
)172(72
1
172
1
72

1
+=
+
+
+
=
x
Vậy

5256
1
73
1
9
1
8
1
++=
hoặc
72
1
90
1
10
1
8
1
++=

Bài tập 3

Viết phân số
4
3
thành tổng của 4 phân số có tử số bằng 1 mẫu số khác nhau?
Cách 1
B ớc 1

4
3
=
4
1
2
1
+
B íc 2
Ph©n tÝch mçi ph©n sè
2
1
;
4
1
thµnh tæng cña hai ph©n sè kh¸c nhau cã tö sè b»ng
1.

2
1
=
6
1

3
1
)12(2
1
12
1
+=
+
+
+
x

20
1
5
1
)14(4
1
14
1
4
1
+=
+
+
+
=
x
C¸ch 2
V×

4
3
= 3 x
4
1
B íc 1
Ph©n tÝch
4
1
thµnh tæng cña 2 ph©n sè kh¸c nhau cã tö sè b»ng 1; mÉu sè kh¸c
nhau.
3 x
4
1
= 3 x (
)
20
1
5
1
(3
)14(4
1
14
1
+=
+
+
+
x

x
B íc 2
Ph©n tÝch
5
1
;
20
1
mçi ph©n sè thµnh tæng cña hai ph©n sè cã tö sè b»ng 1; mÉu
sè kh¸c nhau
=3x (
)120(20
1
120
1
)15(5
1
15
1
+
+
+
+
+
+
+
xx
)
=3 x (
420

1
21
1
30
1
6
1
+++
)
=
420
3
21
3
30
3
6
3
+++
=
140
1
7
1
10
1
2
1
+++
VËy

4
3
=
140
1
7
1
10
1
2
1
+++

KÕt luËn