Giải tích sơ cấp Ví dụNhững bài toán phổ biến Giải tích sơ cấp Tìm Tập Xác Định sin(arccos(x)) Step 1 Đặt đối số trong lớn hơn hoặc bằng để tìm nơi biểu thức xác định. Step 2 Đặt đối số trong nhỏ hơn hoặc bằng để tìm nơi biểu thức xác định. Step 3 Tập xác định là tất cả các giá trị của và làm cho biểu thức xác định. Ký hiệu khoảng: Ký hiệu xây dựng tập hợp: Step 4 Shortlink: http://wp.me/P8gtr-106 I. Các khái niệm cơ bản: 1. Định nghĩa hàm số 1 biến: Cho Hàm số f từ tập hợp D vào R là một ánh xạ (quy tắc) tương ứng với mỗi giá trị với duy nhất 1 giá trị . Ký hiệu
– D được gọi là miền xác định của hàm số. Tập hợp tất cả cá giá trị y ( thỏa y = f(x) ) được gọi là tập giá trị của hàm số. Ký hiệu: 2. Đơn ánh: – Nếu với mỗi phần tử y thuộc miền giá trị T, tồn tại duy nhất 1 giá trị x X sao cho y = f(x) thì f được gọi là đơn ánh (ánh xạ 1-1). Nghĩa là:
( 3. Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến: Cho hàm số 1. Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số tăng nghiêm ngặt (đồng biến) trên D khi và chỉ khi: 2. Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số giảm nghiêm ngặt (nghịch biến) trên D khi và chỉ khi: 3. Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên X được gọi là hàm đơn điệu trên X. 4. Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số không giảm trên X khi và chỉ khi: 5. Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số không tăng (nghịch biến) trên X khi và chỉ khi: 4. Hàm số chẵn, hàm số lẻ: – Tập X đối xứng qua 0: D được gọi là tập đối xứng qua 0 nếu: Ví dụ: là tập đối xứng qua 0. Thật vậy: – Hàm số y = f(x) được gọi là hàm chẵn trên D nếu: D đối xứng qua 0 và – Hàm số y = f(x) được gọi là hàm lẻ trên D nếu: X đối xứng qua 0 và – Đồ thị hàm số chẵn đối xứng qua trục tung; đồ thị hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ. 5. Hàm số tuần hoàn: Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số tuần hoàn trên D nếu tồn tại số T khác 0 sao cho: (*) Số dương bé nhất trong số các giá trị T thỏa mãn (*) được gọi là chu kỳ của hàm số tuần hoàn. Ví dụ: y = sinx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ T = 2π. Hàm số y = c = const (hằng số) là 1 hàm tuần hoàn nhưng không có chu kỳ 6. Hàm số bị chặn: – Hàm số y = f(x) bị chặn dưới khi và chỉ khi tồn tại sao cho – Hàm số y = f(x) bị chặn trên khi và chỉ khi tồn tại sao cho – Hàm số y = f(x) bị chặn khi và chỉ khi tồn tại sao cho 7. Hàm số hợp: Cho ánh xạ và Khi đó, nếu miền giá trị của f thuộc miền xác định của g thì hàm số g(f(x)) được gọi là hàm hợp của g và f. Ký hiệu: Ví dụ: Khi đó: Nhận xét: 8. Hàm số ngược: a. Ảnh ngược: Từ hàm số y = f(x) với y là hàm theo biến số x, ta biểu diễn x theo y, giả sử x = g(y) thì ánh xạ g được gọi là ảnh ngược của y cho bởi ánh xạ f. Khi đó, ta ký hiệu: – Để ảnh ngược là một hàm số thì ứng với mỗi giá trị y chỉ tương ứng với 1 giá trị x. – Khi đó, xét hàm số thì hàm số này được gọi là hàm số ngược của hàm Ví dụ: Ta có: . Khi đó, hàm số là hàm ngược của hàm số – Ta có: . Khi đó, hàm số là hàm ngược của hàm số b. Định nghĩa hàm số ngược: Hàm số g gọi là hàm ngược của hàm số f và kí hiệu là nếu: với mọi x thuộc miền xác định của g với mọi x thuộc miền xác định của f Lưu ý: – Rõ ràng, là hàm ngược của vì: c.Tính chất: – Hàm số g là hàm ngược của f khi và chi khi f là hàm ngược của g. – Hàm ngược là một đơn ánh. – Mọi hàm số đơn ánh đều có hàm ngược. Mọi hàm số đơn điệu nghiêm ngặt đều có hàm số ngược. – Hàm ngược của hàm số (nếu có) là duy nhất. Ví dụ: Hàm
không là hàm đơn điệu trên toàn bộ miền xác định, vì có ảnh ngược
không duy nhất nên không có hàm số ngược. Tuy nhiên, hàm số
là 1 đơn ánh và có ảnh ngược là
nên hàm số
có hàm ngược
d.Đồ thị hàm số ngược: Đồ thị của hai hàm số ngược nhau đối xứng qua đường phân giác thứ nhất. Nói cách khác: Điểm (a;b) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) khi và chỉ khi điểm (b;a) thuộc đồ thị hàm ngược Thật vậy, nếu (a;b) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) thì f(a) = b. Khi đó: . Vậy Hay điểm (b;a) thuộc đồ thị hàm số II. hàm lượng giác ngược: 1. Hàm số y = arcsinx. Hàm số y = sinx không là đơn ánh trên toàn bộ miền xác định. Tuy nhiên, nếu xét trên đoạn thì hàm số y = sinx là hàm đồng biến nên tồn tại duy nhất ảnh ngược, và ảnh ngược đó được ký hiệu x = arcsiny (đọc là ác-sin y, nghĩa là x là cung mà sin bằng y). Và
Vậy: – Miền xác định: D: – Miền giá trị: – Hàm đồng biến trên [-1;1] Tính chất: – – – Ví dụ: Vd1. Ta có: (vì: và ) Do đó: Vd2. Ta không thể kết luận Do Tuy vậy: Nên: 2. Hàm số y = arccosx. Xét hàm số y = cosx trên đoạn thì hàm số y = cosx là hàm giảm nên tồn tại duy nhất ảnh ngược, và ảnh ngược đó được ký hiệu x = arccosy (đọc là ác-cos y, nghĩa là x là cung mà cosin bằng y). Vậy
Vậy: – Miền xác định: D: – Miền giá trị: – Hàm nghịch biến trên [-1;1] Tính chất: – – – Ví dụ: Vd1. Ta có: Nên: Vd2. Ta cần xác định arccos0.4. Đặt y = arccos0.4 , . Suy ra cosy = cos(arccos0.4) = 0.4 Khi đó: (do nên ) Vậy: 3. Hàm số y = arctanx Hàm y = arctanx là hàm ngược của hàm y = tanx. Hàm ngược y = arctanx có miền xác định và miền giá trị – – – 4. Hàm số y = arccotgx Hàm y = arccotgx là hàm ngược của hàm y = cotgx. Hàm ngược y = arccotgx có miền xác định và miền giá trị – – – 5. Một số tính chất của hàm lượng giác ngược: – – – – – 6. Bài tập áp dụng: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. |
