Show
Cách giải bất phương trình chứa căn bậc 2
Hoặc nếu có dấu bằng thì Ta cần điều kiện f(x) không âm để bất phương trình xác định. Còn điều kiện g(x) không âm là để hai vế không âm. Từ đó có thể bình phương được hai vế. Để hiểu rõ hơn công thức ta cùng xét một ví dụ sau. Ví dụ: Giải bất phương trình sau: Lời giải: Áp dụng công thức để biến đổi ta có: Công thức 2:Hoặc trường hợp có thêm dấu bằng thì Nguyên nhân khi g(x) âm thì ta chỉ cần bất phương trình xác định là do căn bậc hai luôn không âm. Còn khi g(x) không âm bình phương hai vế ta được f(x) lớn hơn (hoặc bằng) g²(x). Do đó ta không cần điều kiện f(x) không âm nữa. Để hiểu rõ hơn về công thức trên ta xét ví dụ sau: Ví dụ: Giải bất phương trình chứa căn sau Lời giải: Áp dụng công thức trên ta có: Trên đây là 2 công thức giải bất phương trình có căn bậc 2 cơ bản mà các bạn cần nắm được. Các bất phương trình khác phức tạp hơn thì chúng ta không xét ở phạm vi bài viết này nhé. Chúc các bạn học tập vui vẻ.
1. Phương trình chứa căn cơ bản +) \(\sqrt {f\left( x \right)} = g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g\left( x \right) \ge 0\\f\left( x \right) = {g^2}\left( x \right)\end{array} \right.\) +) \(\sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt {g\left( x \right)} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) \ge 0\\f\left( x \right) = g\left( x \right)\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}g\left( x \right) \ge 0\\f\left( x \right) = g\left( x \right)\end{array} \right.\) ở đây, với các bài toán cụ thể các em có thể chọn một trong hai điều kiện \(f\left( x \right) \ge 0\) hoặc \(g\left( x \right) \ge 0\) phụ thuộc vào hai hàm \(f\left( x \right),g\left( x \right)\), hàm nào đơn giản hơn thì ta chọn, không cần giải hết các điều kiện \(f\left( x \right) \ge 0\) và \(g\left( x \right) \ge 0\) +) \(f\left( x \right).\sqrt {g\left( x \right)} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}g\left( x \right) = 0\\\left\{ \begin{array}{l}g\left( x \right) \ge 0\\f\left( x \right) = 0\end{array} \right.\end{array} \right.\) 2. Một số phương pháp giải phương trình chứa căn Phương pháp chung: - Bước 1: Đặt điều kiện cho căn có nghĩa. - Bước 2: Chuyển vế để hai vế không âm. - Bước 3: Bình phương hai vế để đưa về một trong các dạng phương trình căn cơ bản. a) Phương pháp đặt ẩn phụ Loại 1: \(a.f\left( x \right) + b\sqrt {f\left( x \right)} + c = 0\) Đặt \(t = \sqrt {f\left( x \right)} \ge 0\) thì phương trình trở thành \(a{t^2} + bt + c = 0\) Loại 2: \(\sqrt {f\left( x \right)} + \sqrt {g\left( x \right)} + \sqrt {f\left( x \right).g\left( x \right)} = h\left( x \right)\) Đặt \(t = \sqrt {f\left( x \right)} + \sqrt {g\left( x \right)} \) và biến đổi phương trình về ẩn \(t\) Loại 3: \(\sqrt {f\left( x \right)} + \sqrt {g\left( x \right)} = h\left( x \right)\) Đặt ẩn phụ \(u = \sqrt {f\left( x \right)} ,v = \sqrt {g\left( x \right)} \) đưa về hệ phương trình với ẩn \(u,v\) b) Đưa về phương trình tích Phương pháp chung: Đoán nghiệm của phương trình để định hướng đưa về phương trình dạng tích hoặc nhân biểu thức liên hợp. c) Sử dụng hằng đẳng thức đưa về phương trình cơ bản Loại 1: \(\sqrt[3]{A} + \sqrt[3]{B} = \sqrt[3]{C}\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\) - Bước 1: Biến đổi \(\left( * \right) \Leftrightarrow {\left( {\sqrt[3]{A} + \sqrt[3]{B}} \right)^3} = {\left( {\sqrt[3]{C}} \right)^3} \Leftrightarrow A + B + 3\sqrt[3]{{AB}}\left( {\sqrt[3]{A} + \sqrt[3]{B}} \right) = C\,\,\,\,\left( {**} \right)\) - Bước 2: Thay \(\sqrt[3]{A} + \sqrt[3]{B} = \sqrt[3]{C}\) vào \(\left( {**} \right)\) ta được: \(\left( {**} \right) \Rightarrow A + B + 3\sqrt[3]{{ABC}} = C\) - Bước 3: Giải phương trình trên và kết luận nghiệm Loại 2: \(\sqrt {f\left( x \right)} + \sqrt {g\left( x \right)} = \sqrt {h\left( x \right)} + \sqrt {k\left( x \right)} \) với \(\left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) + h\left( x \right) = g\left( x \right) + k\left( x \right)\\f\left( x \right).h\left( x \right) = g\left( x \right).k\left( x \right)\end{array} \right.\) - Bước 1: Biến đổi phương trình về dạng: \(\sqrt {f\left( x \right)} - \sqrt {h\left( x \right)} = \sqrt {k\left( x \right)} - \sqrt {g\left( x \right)} \) - Bước 2: Bình phương, giải phương trình hệ quả. Loại 3: Căn trong căn Sử dụng hằng đẳng thức \({a^2} + {b^2} \pm 2ab = {\left( {a \pm b} \right)^2}\) cần lưu ý: \(\left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,\,khi\,\,\,A \ge 0\\A\,\,\,khi\,\,\,A < 0\end{array} \right.\) Tài liệu gồm 26 trang trình bày các dạng toán và phương pháp giải bài toán phương trình chứa căn, tài liệu được biên soạn bởi tác giả Nguyễn Thanh Vân. Nội dung tài liệu: III. Bài tập củng cố căn thức
Đầu chương trình đại số học kì 2 lớp 10, các bạn học sinh được tìm hiểu chương bất đẳng thức và bất phương trình. Tuy nhiên, việc giải bất phương trình đang là bài toán khiến nhiều bạn học sinh cảm thấy khó khăn vì ngoài các bất phương trình bất nhất, bậc hai thì còn xuất hiện nhiều bất phương trình chứa căn thức, chứa trị tuyệt đối. Hiểu được điều đó, Kiến Guru đã biên soạn các công thức giải bất phương trình lớp 10 để các em có thể vận dụng vào việc giải các bất phương trình từ đơn giản đến phức tạp một cách dễ dàng. Giải bất phương trình là một kĩ năng vô cùng quan trọng trong chương trình toán THPT vì lên lớp 11, 12 chúng ta còn sẽ gặp rất nhiều dạng toán mà muốn giải được thì cần có các kĩ năng giải bất phương trình. Hy vọng với các công thức giải bất phương trình mà Kiến Guru giới thiệu sẽ giúp các em giải quyết nhanh gọn tất cả các bài toán giải bất phương trình. I. Các công thức giải bất phương trình lớp 10:A/ Bất phương trình quy về bậc nhất:Trong phần A, chúng tôi sẽ giới thiệu các công thức giải bất phương trình lớp 10 dành cho các phương trình bậc nhất. Trước khi đi vào các công thức giải các em cần phải nắm vững bảng xét dấu của nhị thức bậc nhất.
1. Giải và biện luận bpt dạng ax + b < 0
1.1. Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩnMuốn giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn ta giải từng bất phương trình của hệ rồi lấy giao các tập nghiệm thu được. 1.2. Dấu nhị thức bậc nhất
2. Bất phương trình tích∙ Dạng: P(x).Q(x) > 0 (1) (trong đó P(x), Q(x) là những nhị thức bậc nhất.) ∙ Cách giải: Lập bxd của P(x).Q(x). Từ đó suy ra tập nghiệm của (1). 3. Bất phương trình chứa ẩn ở mẫu Chú ý: Không nên qui đồng và khử mẫu. 4. Bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ∙ Tương tự như giải pt chứa ẩn trong dấu GTTĐ, ta hay sử dụng định nghĩa và tính chất của GTTĐ để khử dấu GTTĐ. ∙ Dạng 1:
B/ Bất phương trình quy về bậc hai:Trong phần B, chúng tôi sẽ giới thiệu các công thức giải bất phương trình lớp 10 dành cho các phương trình bậc hai và phương trình qui về bậc hai. Trước khi đi vào các công thức giải các em cần phải nắm vững bảng xét dấu của nhị thức bậc nhất. 1. Dấu của tam thức bậc hai
Nhận xét: 2. Bất phương trình bậc hai một ẩn ax2 + bx + c > 0 (hoặc ≥ 0; < 0; ≤ 0)Để giải BPT bậc hai ta áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai. 3. Phương trình – Bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐĐể giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ, ta thường sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ để khử dấu GTTĐ.
4. Phương trình – Bất phương trình chứa ẩn trong dấu cănTrong các dạng toán thì bất phương trình chứa căn được xem là dạng toán khó nhất. Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn ta cầ sử dụng kết hợp các công thức giải bất phương trình lớp 10 kết hợp với phép nâng luỹ thừa hoặc đặt ẩn phụ để khử dấu căn.
II. Bài tập giải bất phương trình lớp 10Trong phần 2, chúng tôi xin giới thiệu các dạng bài tập vận dụng các công thức giải bất phương trình lớp 10. Các bài tập cũng được chia ra : bpt bậc nhất, bậc hai và các phương trình chứa dấu GTTĐ và chứa ẩn dưới dấu căn. 1. Bài tập về Bất Phương Trình:Bài 1/ BPT bậc nhất 1.1. Giải các bất phương trình sau:
1.2. Giải các bất phương trình sau:
1.3. Giải các bất phương trình sau:
Bài 2/ BPT qui về bậc nhất Giải các bất phương trình sau:
Bài 3/ BPT bậc hai
Bài 4/ BPT qui về bậc hai có chứa dấu GTTĐ Giải các bất phương trình sau:
Bài 5/ BPT qui về bậc hai có chứa căn thức Giải các phương trình sau:
2. Bài tập về Phương TrìnhBài 1: Giải các phương trình sau: (nâng luỹ thừa) Bài 2. Giải các phương trình sau: (biến đổi biểu thức dưới căn)
Bài 4: Giải các phương trình sau: (nâng luỹ thừa)
Bài 5: Giải các phương trình sau:
3. Bài tập tổng hợp các dạng:
Trên đây là các công thức giải bất phương trình lớp 10 và kèm theo là các dạng bài tập giải bất phương trình lớp 10. Để làm tốt dạng toán giải bất phương trình, trước hết các em học sinh cần phải nắm vững các quy tắc xét dấu của tam thức bậc nhất và tam thức bậc hai. Sau đó, dựa vào các công thức mà tài liệu đã giới thiệu, các em có thể áp dụng để giải các bất phương trình phức tạp hơn. Giải bất phương trình là một dạng toán rất quan trọng và theo suốt chúng ta trong chương trình toán THPT. Do đó, nó luôn xuất hiện trong các bài kiểm tra một tiết và đề thi học kì lớp 10 nên các em cần đặc biệt lưu ý trong quá trình ôn tập. Hy vong, với các công thức mà Kiến Guru giới thiệu, các bạn học sinh lớp 10 sẽ thành thạo việc giải bất phương trình và đạt điểm cao trong các bài kiểm tra sắp tới. |
