Khoảng cách giữa 2 điểm là gì

+ Cho đường thẳng d: ax + by + c = 0 và điểm M ( x0; y0). Khi đó khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d là: d(M; d) =

+ Cho điểm A( xA; yA) và điểm B( xB; yB) . Khoảng cách hai điểm này là :

AB =

Chú ý: Trong trường hợp đường thẳng d chưa viết dưới dạng tổng quát thì đầu tiên ta cần đưa đường thẳng d về dạng tổng quát.

Ví dụ 1: Khoảng cách từ điểm M( 1; -1) đến đường thẳng ( a) : 3x - 4y - 21 = 0 là:

A. 1 B. 2 C.

Hướng dẫn giải

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ( a) là:

d(M;a) =

Chọn D.

Ví dụ 2: Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d:

A. 4,8 B.

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d: = 1 ⇔ 8x + 6y - 48 = 0

⇒ Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d là :

d( O; d) =

Chọn A.

Quảng cáo

Ví dụ 3: Khoảng cách từ điểm M(2; 0) đến đường thẳng

A. 2 B.

Hướng dẫn giải

+ Ta đưa đường thẳng d về dạng tổng quát:

(d) :

⇒ Phương trình ( d) : 4( x - 1) – 3( y - 2) = 0 hay 4x - 3y + 2 = 0

+ Khoảng cách từ điểm M đến d là:

d( M; d) =

Chọn A.

Ví dụ 4. Đường tròn (C) có tâm là gốc tọa độ O(0; 0) và tiếp xúc với đường thẳng
(d): 8x + 6y + 100 = 0. Bán kính R của đường tròn (C) bằng:

A. R = 4 B. R = 6 C. R = 8 D. R = 10

Lời giải

Do đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn ( C) nên khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng d chính là bán kính R của đường tròn

⇒ R= d(O; d) =

Chọn D.

Ví dụ 5 . Khoảng cách từ điểm M( -1; 1) đến đường thẳng d: 3x - 4y + 5 = 0 bằng:

A. B. 1 C. D.

Lời giải

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d là:

d( M; d) =

Chọn A.

Quảng cáo

Ví dụ 6. Khoảng cách từ giao điểm của hai đường thẳng (a): x - 3y + 4 = 0 và
(b): 2x + 3y - 1 = 0 đến đường thẳng ∆: 3x + y + 16 = 0 bằng:

A. 2√10 B.

Lời giải

Gọi A là giao điểm của hai đường thẳng ( a) và ( b) tọa độ điểm A là nghiệm hệ phương trình :

Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆ là :

d( A; ∆) =

Chọn C

Ví dụ 7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A( 1; 2) ; B(0; 3) và C(4; 0) . Chiều cao của tam giác kẻ từ đỉnh A bằng:

A.

Lời giải

+ Phương trình đường thẳng BC:

⇒ ( BC) : 3(x - 0) + 4( y - 3) = 0 hay 3x + 4y - 12 = 0

⇒ chiều cao của tam giác kẻ từ đỉnh A chính là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC.

d( A; BC) =

Chọn A.

Ví dụ 8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(3; -4); B(1; 5) và C(3;1) . Tính diện tích tam giác ABC.

A. 10 B. 5 C. √26 D. 2√5

Lời giải

+ Phương trình BC:

⇒Phương trình BC: 2( x - 1) + 1( y - 5) = 0 hay 2x + y - 7 = 0

⇒ d( A;BC) =

+ BC =

⇒ diện tích tam giác ABC là: S =

Chọn B.

Ví dụ 9: Hai cạnh của hình chữ nhật nằm trên hai đường thẳng d1 : 4x - 3y + 5 = 0 và
d2: 3x + 4y – 5 = 0, đỉnh A( 2; 1). Diện tích của hình chữ nhật là:

A. 1. B. 2 C. 3 D. 4

Lời giải

+ Nhận xét : điểm A không thuộc hai đường thẳng trên.

⇒ Độ dài hai cạnh kề của hình chữ nhật bằng khoảng cách từ A(2; 1) đến hai đường thẳng trên, do đó diện tích hình chữ nhật bằng

S =

Chọn B.

Câu 1: Khoảng cách từ điểm M( 2;0) đến đường thẳng

A. 2 B.

Câu 2: Đường tròn ( C) có tâm I ( -2; -2) và tiếp xúc với đường thẳng
d: 5x + 12y - 10 = 0. Bán kính R của đường tròn ( C) bằng:

A. R =

Câu 3: Hai cạnh của hình chữ nhật nằm trên hai đường thẳng (a) : 4x - 3y + 5 = 0 và
(b) : 3x + 4y - 5 = 0. Biết hình chữ nhật có đỉnh A( 2 ;1). Diện tích của hình chữ nhật là:

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Câu 4: Cho hai điểm A( 2; -1) và B( 0; 100) ; C( 2; -4) .Tính diện tích tam giác ABC ?

A. 3 B.

Câu 5: Khoảng cách từ A(3; 1) đến đường thẳng

A. 0, 85 B. 0,9 C. 0,95 D. 1

Câu 6: Hai cạnh của hình chữ nhật nằm trên hai đường thẳng 4x - 3y + 5 = 0 và
3x + 4y + 5 = 0 đỉnh A(2; 1) . Diện tích của hình chữ nhật là

A. 6 B. 2 C. 3 D. 4

Câu 7: Tính diện tích hình bình hành ABCD biết A( 1; -2) ; B( 2; 0) và D( -1; 3)

A. 6 B. 4,5 C. 3 D. 9

Câu 8: Tính khoảng cách từ giao điểm của hai đường thẳn (d) : x + y - 2 = 0 và
( ∆) : 2x + 3y - 5 = 0 đến đường thẳng (d’) : 3x - 4y + 11 = 0

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Chuyên đề Toán 10: đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

Giới thiệu kênh Youtube Tôi

Trang trước Trang sau

Công thức tính khoảng cách giữa 2 điểm

Công thức tính khoảng cách giữa 2 điểm trong mặt phẳng và không gian tính như thế nào? Có sự khác nhau giữa các công thức không? Bài viết dưới đây sẽ giải đáp các câu hỏi trên. Các em cùng theo dõi nhé!

CÔNG THỨC TÍNH KHOẢNG CÁCH GIỮA 2 ĐIỂM TRONG OXY

Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(a;b) và điểm N(α;β). Khi đó khoảng cách giữa hai điểm M và N được tính theo công thức:

Ví dụ minh họa (Tự luận):

Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(1;2) và điểm B(5;3). Tính độ dài đoạn thẳng AB.

Lời giải:

Độ dài đoạn thẳng AB là khoảng cách giữa hai điểm A và B.

Tính khoảng cách giữa 2 điểm trong mặt phẳng Oxy hoàn toàn tương tự như tính khoảng cách giữa 2 điểm trong không gian Oxyz.

Các bước

1. 1

   Sử dụng tọa độ của hai điểm mà bạn muốn tìm khoảng cách giữa chúng. Giả sử Điểm 1 có tọa độ (x1,y1) và Điểm 2 có tọa độ (x2,y2). Không quan trọng điểm nào là điểm nào, bạn chỉ cần giữ các tên gọi (1 và 2) thống nhất xuyên suốt bài toán.[1] X Nguồn nghiên cứu Đi tới nguồn

   • x1 là tọa độ theo phương ngang (dọc trục x) của Điểm 1, và x2 là tọa độ theo phương ngang của Điểm 2. y1 là tọa độ theo phương đứng (dọc trục y) của Điểm 1, và y2 là tọa độ theo phương đứng của Điểm 2.
   • Ví dụ, ta sẽ lấy 2 điểm có tọa độ (3,2) và (7,8). Nếu (3,2) là (x1,y1) thì (7,8) là (x2,y2).

2. 2

   Công thức tính khoảng cách. Công thức này được sử dụng để tính độ dài của đoạn thẳng nối giữa hai điểm: Điểm 1 và Điểm 2. Khoảng cách giữa hai điểm là căn bậc hai của tổng bình phương khoảng cách theo phương ngang với bình phương khoảng cách theo phương đứng giữa hai điểm.[2] X Nguồn nghiên cứu Đi tới nguồn Nói một cách đơn giản thì đó là căn bậc hai của:

3. 3

   Tìm khoảng cách theo phương ngang và theo phương đứng giữa hai điểm. Đầu tiên, lấy y2 - y1 để tìm khoảng cách theo phương đứng. Sau đó, lấy x2 - x1 để tìm khoảng cách theo phương ngang. Đừng lo nếu phép trừ cho ra kết quả âm. Bước kế tiếp là lấy bình phương các giá trị này, và phép bình phương luôn cho ra kết quả dương.[3] X Nguồn nghiên cứu Đi tới nguồn

   • Tìm khoảng cách theo trục y. Lấy ví dụ là các điểm (3,2) và (7,8), trong đó (3,2) là Điểm 1 và (7,8) là Điểm 2: (y2 - y1) = 8 - 2 = 6. Nghĩa là có sáu đơn vị khoảng cách trên trục y giữa hai điểm.
   • Tìm khoảng cách theo trục x. Đối với 2 điểm có tọa độ (3,2) và (7,8): (x2 - x1) = 7 - 3 = 4. Nghĩa là có bốn đơn vị khoảng cách trên trục x giữa hai điểm.

4. 4

   Lấy bình phương cả hai giá trị. Nghĩa là bạn sẽ lấy bình phương khoảng cách theo trục x (x2 - x1) và bình phương khoảng cách theo trục y (y2 - y1).

5. 5

   Cộng các giá trị đã lấy bình phương với nhau. Kết quả là bạn sẽ có bình phương của đoạn thẳng chéo tuyến tính giữa hai điểm. Đối với các điểm (3,2) và (7,8), bình phương của (7 - 3) là 36, và bình phương của (8 - 2) là 16. 36 + 16 = 52.

6. 6

   Tính căn bậc 2 của phương trình này. Đây là bước cuối cùng trong phương trình. Đoạn thẳng nối hai điểm là căn bậc hai của tổng các giá trị đã lấy bình phương.[4] X Nguồn nghiên cứu Đi tới nguồn

   • Tiếp tục với ví dụ trên: khoảng cách giữa (3,2) và (7,8) là căn bậc 2 của (52), xấp xỉ 7,21 đơn vị.

Tính khoảng cách giữa hai điểm là gì?

Khoảng cách giữa hai điểm là độ dài đoạn thẳng nối liền hai điểm đó. Như vậy, tính khoảng cách giữa hai điểm chính là đi tìm độ dài đoạn thẳng nối giữa hai điểm xác định. Lưu ý rằng, đây chỉ là độ dài đoạn thẳng giữa hai điểm và không phải là độ dài đường thẳng hay độ dài đoạn vuông góc nào khác.

Tính khoảng cách giữa hai điểm trong các bài tập hình học phẳng thông thường

Các bài tập hình học phẳng thông thường sẽ có các câu hỏi như cho điểm A nằm trên đường tròn hoặc hình tam giác, sau đó tìm độ dài đoạn thẳng giữa điểm A này với một điểm có sẵn trước.

Với dạng bài toán này, sẽ không có công thức chung để tìm độ dài đoạn thẳng. Thường bạn sẽ phải áp dụng nhiều kiến thức, lý thuyết hình học khác nhau và tính chất của các hình học, dữ kiện đề bài cho sẵn hoặc dữ kiện tìm được để có thể tìm ra độ dài của đoạn thẳng.

Ví dụ, cho đường thẳng d và một điểm (O) cách d 1cm. Vẽ đường tròn tâm (O) bán kính 3cm. Gọi A và B là các giao điểm của đường thẳng d và đường tròn (O). Tính độ dài đoạn thẳng AB.

Giải:

Gọi H là trung điểm AB. OH đi qua trung điểm AB => OH ⊥ AB

Áp dụng định lý Pythago vào tam giác OAH ta có:

OA2 = OH2 + AH2 => AH2 = OA2 – OH2 => AB = 4√2

Tính khoảng cách giữa hai điểm trong các bài toán tọa độ

Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(a;b) và điểm N(α;β). Khi đó khoảng cách giữa hai điểm M và N được tính theo công thức:

Ví dụ, Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(1;2) và điểm B(5;3). Tính độ dài đoạn thẳng AB. Khi đó, độ dài đoạn thẳng AB là khoảng cách giữa hai điểm A và B.

Cách tính sẽ tương tự với hai điểm trong mặt phẳng Oxyz. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(a;b;c) và điểm N(α;β;γ). Khi đó khoảng cách giữa hai điểm M và N được tính theo công thức:

Ví dụ, trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và điểm B(3;1;2). Tính khoảng cách 2 điểm A và B. Khi đó, khoảng cách giữa hai điểm A và B là:

Tùy vào dữ kiện đề bài, loại bài tập và các kiến thức hình học, đồ thị khác nhau mà bạn sẽ tìm được tọa độ điểm để có thể tính được độ dài đoạn thẳng nối giữa hai điểm.

Ví dụ, cho đường thẳng ∆ 3x – 4y -19=0 và đường tròn (C) (x-1)2 +(y-1)2=25 biết ∆ cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A và B .Tinh độ dài AB.

Giải:

Ta có (C): (x-1)2 +(y-1)2 =25 => hình tròn có tọa độ tâm O(1;1) và bán kính là 5

=> d((O),∆)=|3-4-19|/√(9+16) = 20/5 = 4

H là hình chiếu của O lên AB => OH = 4

Áp dụng định lý pitago với tam giác vuông OAH, ta có:

AH=√(OA2 – OH2)=√(25 – 16)=3

H là hình chiếu của tâm O lên AB => H là trung điểm của đoạn AB => AB=6

Xem thêm: Tính năm nhuận như thế nào?

Như vậy, việc tính khoảng cách giữa hai điểm phụ thuộc rất nhiều vào dữ kiện đề bài và vận dụng các kiến thức toán học khác nhau. Vì vậy, để có thể tính toán chuẩn xác khoảng cách giữa hai điểm, bạn cần phải nắm thật chắc các kiến thức cơ bản nhất trong hình học phẳng và hình học tọa độ.

Công thức khoảng cách giữa hai điểm vectơ lớp 10 - Toán lớp 10

Với Công thức khoảng cách giữa hai điểm vectơ lớp 10 - Toán lớp 10 chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng nhớ toàn Công thức khoảng cách giữa hai điểm vectơ lớp 10 biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem: