√ Eureka!Uni Show Toán cao cấp cho các nhà kinh tếLỚP TCC ONLINEĐÁP ÁN CHI TIẾTBÀI TẬP BUỔI 1NEU – Spring 2020 Hoàng Bá BạnhNhóm Xác suất và thống kê – Tài liệu NEU fb/groups/xacsuatneu Website Eureka! Uni eureka-uni BÀI TẬP BUỔI 1 (TRÍCH TỪ ĐỀ THI – ĐỀ KIỂM TRA CÁC KHÓA) 1. Bài tập giới hạn Bài 1. Tính các giới hạn sau ( Bổ trợ ) 1 lim 2 x x L − →+∞ \= 2 2 2 lim 3 xx x L
\= 3 3 lim x x Le − →+∞ \= 5 3 4 lim 5 xx x L
\= 53 lim log x Lx →+∞ \= ( ) 3 6 1 2 lim log x Lx →−∞ \= − 7 lim ln 1( ) x Lx →+∞ \= + ( ) 8 1 lim ln 1 x Lx →− \= − 9 ( ) 2 lim ln 2 x Lx →+ \= − 10 2 limarccos x 2 x L → \= 11 ( ) 2 limarccos 3 x Lx → \= − 12 lim arctan 2( ) x Lx →+∞ \= ( ) 2 13 lim arctan x Lx →−∞ \= ( ) 3 14 lim arccot x Lx →−∞ \= 15 3 1 lim arccot x 3 L x →−+ \= − 16 2 2 1 lim arctan x 4 L x →+ \= − Giải 1 1 11 lim 0 0 22 x x L →+∞ +∞ \= = = = +∞ ( ) 221 2 lim 3 3 x x x L
\= = +∞ = +∞ 3 3 1 lim 0 0 x x Le e e − −∞ →+∞ +∞ \= = = = 3 32 5 1 5 4 1 lim 5 lim 5 0 5 0 5 x xx x xx L
→−∞ →−∞ +∞ \= = = = = 5 ( ( ) )ln lim ln x ln x L →+∞ \= = +∞ +∞ = +∞ ( ) ( )33 6 ln ln lim lim 1 ln ln 2 xx xx L →−∞ →−∞ −− = = = −∞ − 7 lim ln 1( ) x Lx →+∞ \= + = +∞ 8 ( ) ( ) 1 lim ln 1 ln x Lx − → \= − = −∞ = −∞ L 9 = −∞ L 10 =arccos 1 0( )= L 11 = −=arccos 1( ) π 12 13 arctan( ) 22 LL ππ \= = +∞ = 14 L =π (arccot( )−∞ =π) ( ) 15 11 arccot arccot arccot 30 L x ππ − \= → = −∞ = − 16 2 L π = − ( ) 2 11 arctan arctan arctan 40 2x π − → = −∞ = − − Bài 2. Tính các giới hạn sau ( Vận dụng theo dạng ) Chia ( ) 13 2 lim 1 x 2 x Lx →−∞ x \= + + 2 22 3 41 lim 23 x xx L xx →+∞ −+ +− Giải 1 ( ) 2 3 33 3 2 12 12 1 2 lim 1 lim lim lim 1 2 2 22 2 1 11 1 x xxx xx Lx xx x x x xx x →−∞ →−∞ →−∞ →−∞ ++ = + = = = −− =− −
Nhóm Xác suất và thống kê – Tài liệu NEU fb/groups/xacsuatneu Website Eureka! Uni eureka-uni 22 tan ~ 22 2 2 2 22 4 3 0 0 00 1 1 tan tan tan tan lim lim lim lim. tan tan xx x x xx xx xxxxxx L → → →→xx x x x x x − − −+ = −= = = 21 00 tan tan lim lim 1 2 xx xx x L →→xx
( ) ( )22 2232 00 0 tan 1 1 tan 1 tan 1 lim lim lim 33 3 L xx x xx x x L →→xx x→ − −+ == =−=− 2 21 22 12 2 33 LLL ⇒=× =−=− ( ) ( ) ( )( )2 32 0 00 2017cos 2017tan2018 2017 1 tan 2018 sin lim lim lim 1 2018cos2018 2018tan2017 2018 1 tan 2017 sin LL x xx x x x x L x x x x
Kẹp 1 3 7 1 cos 2 lim 48 →+∞ ++ −+ x xx x L xx ( )2 lim sin 5 sin 3 x L xx →+∞ \= +− + Giải 133 7 1 cos lim 48 48 x xx x L xx xx →+∞ + = + −+ −+ 11 3 cos lim 0 38 x x L xx →+∞ \= = −+ vì 3 1 lim 0 38 cos2 1 x xx x →+∞ = −+ ≤ ( ) 2 12 3 3 23 1 7 71 71 lim lim lim 7 48 48 481 xxx xx xx x L xx xx xx →+∞ →+∞ →+∞
−+ −+ −+ ⇒= + =+ =LL L 1 11 12 07 7 2 53 53 lim 2cos sin x 22 xx xx L →+∞ ++ + +− + = có 53 cos 1 2 xx++ + ≤ ( ) ( ) ( )53 53 1 lim sin lim sin lim sin sin0 0 xx 2 25 3x 53 xx xx →+∞ →+∞ xx→+∞ xx +− + +−+ = = = = + + ⇒=L 2 0 Lũy thừa mũ 1 1 41 lim →+∞ 3 − x x x L x ( ) 2 2 32 0 lim tan xx x Lx + − → \= ( ) 2 1 3 0 tan sin lim → \= x x x L x Giải 1 L Đặt ( ) ( )1 41 ln 41 3 ln 4 1 ln 3 ln 3 x x x x x x yy x xx − − −− =⇔= = (do 0 4 10 x x x > → +∞ ⇒ −> ) Nhóm Xác suất và thống kê – Tài liệu NEU fb/groups/xacsuatneu Website Eureka! Uni eureka-uni ( ) ( )ln 4 1 ln 3 ( ) 4 ln4 1 ln4 1 lim ln lim lim ln 4 1 14 x x L x xxxx x y x xx →+∞ →+∞ →+∞ − −− = = −= −= −− Vậy, ln 4 Le 1 = = 4 L 2 Đặt ( ) ( ) ( )2 322 tan ln 3 2 ln tan xx y x yxx x − = ⇔= − ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) 3 2~2 2 2 00 0 0 2ln tan lim ln lim 3 2 ln tan lim 2 ln tan lim 1 xx x xx x x x y xxx xx x ++ + + −− →→ → → − =− =−= ( ) ( )2 2 00 2 1 tan 2 tan lim lim .2. 1 tan 0 1 tan L xx x x x xx x x →→++
Vậy, 0 Le 2 = = 1 L 3 Đặt ( ) ( ) 2 1 2 tan sin ln tan sin ln x x x x yy xx =⇔= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ln 1 ~ 22 2 00 0 0 22 003 2 022 tan sin tan sin tan sin ln ln 1 limln lim lim lim tan sin cos. 1 tan sin cos 1 tan sin cos lim lim lim. 3 33 uu xx x x L xx x x xx xx xx x y xx x xx x xx xxx x x xx →→ → → →→ → − − + = = = − +−− = = = + 31 0 cos 1 lim x 33 x L → \= = ; ( ) 322 00 cos 1 sin 1 lim lim 3 66 L xx xx L →→xx −− = = = − ; ( ) 2 tan ~ 2 3322 00 tan sin sin lim lim 1 uu xx x x L →→xx \= = = 32 33 31 0 11 1 limln. x 63 6 yL L L → ⇒ = + × =−+ = Vậy, 1/ 3 Le= Bài 3. Tính các giới hạn sau ( Cuối kì – Tổng hợp ) 1 ( ) 3 41 lim 2 1 x 2 x Lx →−∞ xx
3 2 1 lim → 1 − x − xx L x ( )2 3 lim 16 2 4 x L xx x →−∞ \= +++ 42 0 51 lim → 6 5sin cos 1 −
x x L x xx ( ) 5 0 sin lim → ln cos − x xx L xx ( ) ( ) 2 62 0 ln 1 tan3 3 lim 1 tan 2 x x xx L ex → − +− −+ − 7 lim arctan 41 π →+∞ \= − x + x Lx x 7 0 11 lim cot x 3 Lx → xx \= − ( ) 3 3 8 5 2 lim 2 3arccot 2 x x ex x L xx − →+∞ ++ −− ( )2 92 34 lim 2 cos 3 5 x 1 x L x xx →+∞ xx
10 ( )1 2 lim sin 3 →+∞ \= − x x x L ex Nhóm Xác suất và thống kê – Tài liệu NEU fb/groups/xacsuatneu Website Eureka! Uni eureka-uni ( ) 2 922 23 4 34 lim cos 4 5 x 11 xx x L xx →+∞ xx xx + + = − −+ −+ −+ ( ) 912 2 4 23 23 4 lim lim 6 1 11 1 xx xx x L xx xx →+∞ →+∞ + + = = = −+ −+ 2 922 34 lim cos 4 5 0 x 1 x L xx →+∞xx
vì 2 2 2 2 cos 4 5 1 34 34 lim lim 0 1 11 1 xx xx x xx xx xx →+∞ →+∞ − +≤ + + = = −+ −+ ⇒ = + =+=LL L 9 91 92 606 10 L Đặt ( )( )1 2 2 ln sin sin3 ln x x x ex ye x y x − =− ⇔= ( )( ) 222 22 ln sin3 2 3cos3 2 3 cos lim ln lim lim lim sin3 1 sin x L xx xx xxxx ex e x ex y x e x ex − →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ − − −− = = = −− 22 2 sin31;cos lim sin3 0; lim cos3 0 lim 0 xx x xx x xx ex ex e −− − →+∞ →+∞ →+∞ ≤≤ ⇒= = = 20 lim ln 2 x 10 y →+∞ − ⇒== − Vậy, 2 Le 10 = L 11 Đặt ( ) 61 arcsin3 ln 6 1 ln arcsin 66 x y x yx x ππ − =−⇔=− − ( ) ( ) ( ) ( ) 11 1 66 6 2 2 112 662 ln arcsin 6 lim ln lim 6 1 ln arcsin3 lim 6 1 61 3 1 9 arcsin 6 61 1 lim lim. 6 21 9 arcsin 61 6 xx x L xx x yx x x xx x x x x π π π π −− − −− →→ → →→ − = −− = − − −− − = = − −− − 1112 1 6 11 lim x 21 9 3 L x − → \= = − ( ) ( ) ( ) 2 112 11 66 2 61 1261 lim lim 0 3 arcsin 619 L xx xx L x x π −− →→ −− = = = −− − 111 112 1 6 1 lim ln 0 0 x 3 yL L − → ⇒ = × = ×= Vậy, 0 Le 11 = = 1 Nhóm Xác suất và thống kê – Tài liệu NEU fb/groups/xacsuatneu Website Eureka! Uni eureka-uni L 12 Đặt ( ) ( ) 2 3 2 3ln cot cot x ln xx yxx y x \= ⇔= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 00220 0 2 2 0 2 2 2 232 000 0 tan tan 3ln 3ln 1 3 3ln cot tan tan tan limln lim lim lim lim 3 tan 3 tan 3 1 1 tan tan lim lim lim lim 1 tan 3 xx x x x L xxx x x xx xx xx xx x y xx x x xx xx x x xx x x x →→ → → → →→→ → − − + = = = = −−−− = = = =−=− Vậy, 1 12 1 Le e − = = L 12 a Đặt ( )( )2018 2018ln 2018 2018 ln x x x x y xy x
( )( ) ( )( ) ( ) 2 3 2 2018ln 2018 2018 2018 ln2018 1 2018 ln 2018 lim ln lim lim lim 2018 2018 ln2018 1 2018 ln 2018 lim lim 2018 2018 2018 ln 2018 xxLLx xx x xxx L x xxx x y →+∞ →+∞ xx→+∞ →+∞ →+∞ →+∞ = = = \= = = Vậy, 2018ln 2018 2018 12 2018 a Le= = 2. Bài tập liên tục Bài 1. Tìm tham số để các hàm số sau liên tục tại điểm đặc biệt ( ) ( ) 2 2 1 cos 1 sin ; 0 1) ; x xx fx kx − +≠ \= ( ) ( ) 4 3 1 2 arctan ; 2 2) 2 ; xx fx x ax −≠ = − \= Bài 2. Xét sự liên tục của các hàm số sau ( ) 4 3 3 2 cos ; 2
0 ; xx y x x −≠ = − \= 2 1 2 tan ; 2) ; x x x y x ex ≠ \= Bài 3. Xét sự liên tục của các hàm số sau
( ) 5 sin 21 1 sin 4 ; 0 ; +≠ \= xxx fx ex . Xét tính liên tục tại điểm x = 0
2 = + 1 x fx x e
2 ; sin 3 ; − −− > = − +≤ xx ee x x fx xx mx x . Tìm m để hàm số liên tục tại x = 0
sin ; 1; 0 ≠ \= x x fx x x Giải Nhóm Xác suất và thống kê – Tài liệu NEU fb/groups/xacsuatneu Website Eureka! Uni eureka-uni Do ( ) 1 3 2 0 lim 0 x ye y e y → \=≠=⇒ không liên tục tại x= 0 (2) Từ (1) và (2) ta thấy y liên tục tại mọi x≠ 0 Bài 3. Xét tính liên tục của hàm số (1) ( ) 21 fe 0 = ( ) ( ) 5 sin 00 lim lim 1 sin4 x xx fx x →→ \= + ( ) 5ln 1 sin4( ) ln sin x fx x
( ) ( ) 00 0 4cos 5 5ln 1 sin 1 sin limln lim lim 20 sin cos L xx x x x x fx →→xx→
20 0 lim x fx e → ⇒= ( ) ( ) ( ) 20 21 0 lim 0 x fx e f e fx → \=≠=⇒ gián đoạn tại x= 0 (2) f( )−= 10 ( ) ( ) 2 11 lim lim 1 0 x xx fx x e →−−−→− \= −+ = ( ) ( ) 2 11 lim lim 1 0 x xx fx x e →−++→− \= += ( ) ( ) ( ) ( ) 11 lim lim 1 0 xx fx fx f fx →−−+→− \= = −=⇒ liên tục tại x= − 1 (3) fm( ) 03 = ( ) ( ) 00 lim lim 3 3 xx fx m x m →→−− \= += ( ) ( ) ( ) ( ) 00 0 0 0 22 lim lim lim lim lim 2 sin 1 cos sin cos xx LxxLLxx xx xx x x x ee x ee ee ee fx xx x x x ++ + + + − − −− →→ → → → −− +− − + = = = = = −− fx( ) liên tục tại ( ) ( ) ( ) 00 2 0 lim lim 0 3 2 xx 3 x fx fx f m m →→−+ \=⇔ = = ⇔ =⇔= (4) ( ) ( ) ( ) 00 00 sin sin lim lim 1 lim lim 1 xx xx xx fx fx fx xx ++ −− →→ →→ \= =≠ = =−⇒ − gián đoạn tại x= 0 3. Bài tập đ ạo hàm Bài 1. Tính đạo hàm bằng định nghĩa
3 y xx = 2 tan. Tính y ′( ) 0
sin 6 ; 3 2; 0 ≠ \= x x fx x x . Tính f ′( ) 0
9 1 ; 3 3; 0 − − ≠ = − \= x e x fx x x . Tính f ′( ) 0
2 3 5 sin , 0 0 , xx fx x x +≠ \= Bài 2. Tính đạo hàm 1) Tính y′′ biết ( )22 yx x x= + +− +ln 16 x 16 Nhóm Xác suất và thống kê – Tài liệu NEU fb/groups/xacsuatneu Website Eureka! Uni eureka-uni
2 ) tan x ay= x ( ) cos ) arctan x by= x
( ) 4 5 1 6 3 arctan ; 2 2 0 ; −≠ = − \= xx fx x x . Tính fx ′( ) Bài 3. Khai triển Tay-lor tại x= 0 các hàm số sau: ( ) 1 113
x fx x x
đến bậc 4 ( ) 2 2) 3 2 x fx e x= + đến bậc 3, phần dư Peano Bài 4. Tìm khoảng tăng giảm và cực trị hàm số : ( ) ( ) 5 2 4 5 1)fx=−+2 5x 5 x ( ) 112122 2) arcsin 1 2 2 4 12 fx x x x x x π = − + −− Bài 5. Ứng dụng phân tích kinh tế
sản lượng và mức giá để doanh nghiệp tối đa hóa lợi nhuận.
122 ATC 0, 5 Q 0, 25 Q 10 Q \=−+ +. Với P = 106 , tìm Q * thỏa mãn điều kiện cực đ ại lợi nhuận.
wL = 20. Hãy tìm mức sử dụng lao động để lợi nhuận tối đa.
2 AVC =−+ > Q 12 Q 14 Q 0.
22 180 0, 5 ; 30 2 ds P =−=+ QP Q.
lần lượt là sản lượng, giá bán, thu nhập.
Giải chi tiết Bài 1 (1) ( ) ( ) 33 00 0 0 2 tan 0 2 sin 0 lim lim lim. 0 xx 0 xcos yy xx x x y →→x x →xx − − ′ = = = = − Nhóm Xác suất và thống kê – Tài liệu NEU fb/groups/xacsuatneu Website Eureka! Uni eureka-uni ( ) ( ) 4 5 5 2 12 1 63 arctan 56 3 212 x x x x − =−− − − +− x= 2 : ( ) ( ) ( ) 4 5 54 22 25 1 6 3 arctan 0 231 2 lim lim lim .arctan xx 22 x 2 2 x fx f x xxx x →→−− →− −− − − − = = = −∞ −−− − Vì 2 1 lim x x 2 →− \= −∞ − và 2 1 lim arctan x x 22 π →− \= − − ( ) ( ) ( ) 4 5 54 22 25 1 6 3 arctan 0 231 2 lim lim lim .arctan xx 22 x 2 2 x fx f x xxx x →→++ →+ −− − − − = = = −∞ −−− − Vì 2 1 lim x x 2 →+ \= +∞ − và 2 1 lim arctan x x 22 π →+ \= − ( ) ( ) 2 2 lim x 2 fx f → x − ⇒ = −∞ ⇒ − không tồn tại f′( ) 2 Vậy, ( ) ( ) ( ) 4 5 5 2 12 1 63 arctan 56 3 212 x fx x x x − ′ =−− − − +− với x≠ 2 Bài 3
11 ln 33 fx x x =++ ( ) ( ) ( ) 111 1 1 1 0 ln ln3 ln3; ln 1 0 ln3 1 1 ln 333 3 3 f fx x f − = = =− ′′= + +⇒ =− +=− ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 13 9 0 3; 0 9; 131 31 3 fx f fx f x x x ′′ ==⇒= =− ⇒=−′′ ′′′ ′′′ + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 44 3 54 0 54 31 fx f x \= ⇒= + ####### ( ) ( ) ( ) 1339 234 4 ln3 1 ln 3 224 ⇒ =− +− + − + +fx x x x x ox
2 32 x fx e x − = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 2; 3 3 3 52 2 3 2 2 0 20 0 2 32 23 2 4 4 3 9 3 9 72 2 0 20 0 0 2 3 2 2 32 4 8 16 x x f e fx f x e x fx f f f x x f x fx fx fx f f f f x x − − \= ′′=− ++ =− + ⇒ =− + =− + + ′ ′′ =− + − ⇒=−+ − =′ ′′ ′ ′ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 3 39 9 2 27 23 2 232 32 32 2 fx fx fx fx fx fx x xx x ′′ ′ ′ ′′′ =−+−−+′′
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 9 27 361 2 0 20 0 0 0 4 4 8 64 ⇒=−+ − + =f fff f′′′ ′′ ′′ ′ Nhóm Xác suất và thống kê – Tài liệu NEU fb/groups/xacsuatneu Website Eureka! Uni eureka-uni ( ) ( ) 5 2 2 2 2 361 2 33 2 4 32 384 ⇒=− + − +fx x x x ox Bài 4
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 42 5 5 22 45 44 525522 25 4 2 5 10 5 4 2 5 30 50 8 55 25 5 25 .5 5 25. xx x xx x xx fx x x xx xx −+ − − ++ − − −+ ′ = += = + − −+ −+ ( ) 2 2 2 25 0 5 05 0 5 30 50 8 0 25 865 30 x x fx x x xx x ≠± −≠ ′ = ⇔ + ≠⇔ ≠− − − += −± = \=>điểm tới hạn: 25 865 2 25 865 2 5; ; ; ; 30 5 30 5 −− −+ −− Bảng biến thiên: x −∞ − 5 25 865 30 −− 2 5 − 25 865 30 −+ 2 5 +∞ y′ + − 0 + + 0 − − y yC§ yCT C§ 2 y Kết luận: (tự làm)
( ) 22 ( ) 22 1 11 1 1 arcsin 1 2211 4 4 6 x fx x x x x x xx − π ′ = + − + − + −= −− ( ) 2 22 2 1 11 1 1 2 44 4 arcsin arcsin 661 x xx xx xx x ππ −+ − − = −+ = − − ( ) 00 01 arcsin 62 xx fx xx π = = ′ =⇔⇔ = = Bảng biến thiên: x − 1 0 1 2 1 y′ + 0 − 0 + y yC§ CT y Kết luận: (tự làm) Bài 5 Nhóm Xác suất và thống kê – Tài liệu NEU fb/groups/xacsuatneu Website Eureka! Uni eureka-uni ####### ( ) ( )
00 1 7 686 113 7 113 448 30 3 Q CS D Q dQ p Q Q dQ Q Q − = − = − − = − −= ∫∫ Thặng dư sản xuất ( ) ( ) ( )
00 17832 7 1 448 303 Q Q PS p Q S Q dQ Q dQ − + = − = −+ = − = ∫∫
1 2 113 113 226 2 q d dQ p pp dp Q pp p ε −− = = = −−− Tại
p = ⇒=−ε cho biết tại
32 (%) 49 Hệ số co dãn của cung theo giá là : 1 2 12 2 s s dQ ppp dp Q pp p ε= = = −− Tại
p = ⇒=ε cho biết tại
4 % 7 22 P= − ⇔= − =+ ⇒= −180 0,5Q Qdd360 2 ;pP30 2Q Qss0,5 15p
⇔ = ⇔ − = − ⇔ − = −⇔= ⇒=QQds 360 2p p0,5 15 360 2 0,5 15p p p 150 Q2 15
1 360 2 360 2 360 2 d d dQ p pp dp Q ppp ε −− = = = −−− Tại
Hệ số co dãn của cung theo giá là: 0, 2 0,5 15 0,5 15 2 60 s s dQ p pp dp Q ppp ε= = = −−− Tại
2 15 2 0 CS=− −=180 0,5Q dQ 150 15 40 15 ####### ∫ Thặng dư sản xuất: ( ) 2 15 2 0 PS= −+ =150 15 30 2Q dQ 160 15 ####### ∫ Bài 7
Vậy giá cân bằng
dp M M M dM p M M ε= = = ++ Tại M= 100 ⇒=ε 0,1, cho biết nếu lúc này thu nhập tăng 3% thì giá cân bằng sẽ tăng xấp xỉ 0,3% |