Vậy \({S_{BM{\rm{D}}'N}}\) nhỏ nhất khi và chỉ khi MK nhỏ nhất, tức MK là đường vuông góc chung của BD và AA. Dễ thấy OM0là đường vuông góc chung của BD và AA, trong đó M0là trung điểm của AA; \(O{M_0} = {{a\sqrt 2 } \over 2}\). Vậy lúc đó: Đề bài Cắt hình lập phương bằng một mặt phẳng (P) đi qua một đường chéo của hình lập phương. Phải chọn (P) như thế nào để thiết diện thu được có diện tích nhỏ nhất. Lời giải chi tiết  Xét (P) là mặt phẳng chứa một đường chéo, chẳng hạn đường chéo BD của hình lập phương. Nếu (P) chứa DA thì thiết diện có diện tích là \({a^2}\sqrt 2 .\) Tương tự, nếu (P) chứa DC hoặc DD thì thiết diện cũng có diện tích là \({a^2}\sqrt 2 \). Ta xét (P) cắt AA tại điểm M. Gọi O là tâm hình lập phương thì MO cắt CC tạo N. Do đó thiết diện của hình lập phương khi cắt bởi (P) là BMDN, đó là hình bình hành. Ta có \({S_{BM{\rm{D}}'N}} = B{\rm{D}}'.MK = d.MK\) (d là độ dài đường chéo của hình lập phương). Vậy \({S_{BM{\rm{D}}'N}}\) nhỏ nhất khi và chỉ khi MK nhỏ nhất, tức MK là đường vuông góc chung của BD và AA. Dễ thấy OM0là đường vuông góc chung của BD và AA, trong đó M0là trung điểm của AA; \(O{M_0} = {{a\sqrt 2 } \over 2}\). Vậy lúc đó: \({S_{BMD'N}} = a\sqrt 3 .{{a\sqrt 2 } \over 2} = {{{a^2}\sqrt 6 } \over 2}\) Chú ý. Khi (P) cắt AB' hoặc BC thì cách giải quyết câu toán cũng như trên và ta có diện tích thiết diện nhỏ nhất trong trường hợp đó cũng là \({{{a^2}\sqrt 6 } \over 2}\). Dễ thấy \({{{a^2}\sqrt 6 } \over 2} < {a^2}\sqrt 2 .\) Vậy nếu (P) qua đường chéo BD và qua trung điểm một cạnh của hình lập phương không đi qua B và D, thì diện tích thiết diện nhỏ nhất và có giá trị bằng \({{{a^2}\sqrt 6 } \over 2}\).
|
