Đặt \(\widehat {CKC'} = \varphi \) thì \(\tan \varphi = {{CC'} \over {CK}} = {a \over 3}.{{2\sqrt {13} } \over {a\sqrt 3 }} \Leftrightarrow \tan \varphi = {{2\sqrt {39} } \over 9}\) Đề bài Cho tam giác cân ABC, \(AB = AC = a,\widehat {BAC} = {120^0}\). Xét hai tia cùng chiều Bt, Ct và vuông góc với mp(ABC). Lấy điểm B thuộc Bt, C thuộc Ct sao cho BB = 3CC và \(C C\). a) Chứng minh rằng giao tuyến của mp(ABC) và mp(ABC) cố định khi B. C thay đổi. b) Khi BB = a, tính góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ABC), tính diện tích tam giác ABC. Lời giải chi tiết  a) Vì BB = 3CC nên đường thẳng BC cắt BC tại điểm I thì \(BI = {3 \over 2}BC\). Như vậy I là điểm cố định, mặt khác giao tuyến của mp(ABC) và mp(ABC) là AI. Như vậy, khi B, C thay đổi thì giao tuyến của mp(ABC) và mp(ABC) là đường thẳng AI cố định. b) Khi BB = a thì \(CC' = {a \over 3}\) Dễ thấy: \(BC = a\sqrt 3 \) Do \(CC' = {1 \over 2}BC\) nên \(CI = {{a\sqrt 3 } \over 2}\) Ta có: \(AJ = {a \over 2}\left( {AJ \bot BC,J \in BC} \right)\) và \(IJ = a\sqrt 3 \). Kẻ \(CK \bot AI\), do \(C'C \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(C'K \bot AI\). Vậy \(\widehat {CKC'}\) là góc giữa mp(ABC) và mp(ABC). Ta có: \(\eqalign{ & {{CK} \over {AJ}} = {{CI} \over {AI}}; \cr & A{I^2} = A{J^2} + J{I^2} = {{{a^2}} \over 4} + 3{a^2} = {{13{a^2}} \over 4} \cr} \) nên \(AI = {{a\sqrt {13} } \over 2}\) Từ đó \(CK = {a \over 2}.{{a\sqrt 3 } \over 2}.{2 \over {a\sqrt {13} }} = {{a\sqrt 3 } \over {2\sqrt {13} }}\) Đặt \(\widehat {CKC'} = \varphi \) thì \(\tan \varphi = {{CC'} \over {CK}} = {a \over 3}.{{2\sqrt {13} } \over {a\sqrt 3 }} \Leftrightarrow \tan \varphi = {{2\sqrt {39} } \over 9}\) Như thế góc giữa mp(ABC) và mp(ABC) là φ mà \(\tan \varphi = {{2\sqrt {39} } \over 9}\) . Tam giác ABC có hình chiếu trên mp(ABC) là tam giác ABC mà \({S_{ABC}} = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}\). Vậy \({S_{AB'C'}} = {{{S_{ABC}}} \over {\cos \varphi }} = {{{a^2}\sqrt {79} } \over {12}}\) (Tính cosφ nhờ \(\tan \varphi = {{2\sqrt {39} } \over 9}\) được \(\cos\varphi = {{3\sqrt 3 } \over {\sqrt {79} }}\))
|
