\(\eqalign{& M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2}\cr& = {\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} + {\overrightarrow {MC} ^2} + {\overrightarrow {MD} ^2} \cr& = {(\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OM} )^2} + {(\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OM} )^2} \cr& + {(\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OM} )^2} + {(\overrightarrow {OD} - \overrightarrow {OM} )^2} \cr&= {\overrightarrow {OA} ^2} - 2\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OM} + {\overrightarrow {OM} ^2} \cr&+ {\overrightarrow {OB} ^2} - 2\overrightarrow {OB} .\overrightarrow {OM} + {\overrightarrow {OM} ^2} \cr&+ {\overrightarrow {OC} ^2} - 2\overrightarrow {OC} .\overrightarrow {OM} + {\overrightarrow {OM} ^2} \cr& + {\overrightarrow {OD} ^2} - 2\overrightarrow {OD} .\overrightarrow {OM} + {\overrightarrow {OM} ^2}\cr&= O{A^2} + O{B^2} + O{C^2} + O{D^2} + 4O{M^2}\cr& - 2\overrightarrow {OM} (\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} ) \cr&= O{A^2} + O{B^2} + O{C^2} + O{D^2} + 4O{M^2}\cr&= 2(O{A^2} + O{B^2}) + 4O{M^2} \cr} \) Đề bài Cho hình bình hành \(ABCD\). Tìm tập hợp các điểm \(M\) sao cho \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2} = {k^2}\), trong đó \(k\) là một số cho trước. Lời giải chi tiết Gọi \(O\) là tâm hình bình hành \(ABCD\), ta có O là trung điểm AC và BD. Do đó \(\begin{array}{l} Ta có: \(\eqalign{ (vì OA=OC, OB=OD) Do đó \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2} = {k^2}\) \(\Leftrightarrow 4O{M^2} = {k^2} - 2(O{A^2} + O{B^2})\) \( \Leftrightarrow O{M^2} = \frac{{{k^2} - 2\left( {O{A^2} + O{B^2}} \right)}}{4}\) +) Nếu \({k^2} > 2(O{A^2} + O{B^2})\)thì tập hợp các điểm \(M\) là đường tròn tâm \(O\) bán kính \(\sqrt {{1 \over 4}\left[ {{k^2} - 2(O{A^2} + O{B^2})} \right]} \). +) Nếu \({k^2} = 2(O{A^2} + O{B^2})\)thì tập hợp các điểm \(M\) chỉ gồm một phần tử là \(O\). +) Nếu \({k^2} < 2(O{A^2} + O{B^2})\)thì tập hợp điểm \(M\) là tập rỗng.
|