Cách giải trắc nghiệm phương trình lượng giác

Trong các dạng toán về lượng giác thì một điều bắt buộc để giải được là học sinh phải thuộc các công thức biến đổi. Tuy nhiên, cả khi học sinh đã thuộc công thức lượng giác thì đối diện với một bài trắc nghiệm, nếu ta biết sử dụng Casio để thao tác thì hiệu quả sẽ cao hơn rất nhiều. Bài viết sau đây sẽ cung cấp cho học sinh một công cụ để giải các bài tập trắc nghiệm về lượng giác một cách nhanh chóng.

Ta xét ví dụ sau:

1. Tìm nghiệm của phương trình

\(4{{\sin }^{3}}x\cos 3x+4{{\cos }^{3}}x\sin 3x+3\sqrt{3}\cos 4x=3\)

A. \(\left[ \begin{matrix} x=\frac{\pi }{8}+k\frac{\pi }{2} \\ x=\frac{-\pi }{24}+k\frac{\pi }{2} \\ \end{matrix} \right.\)

B. \(\left[ \begin{matrix} x=\frac{\pi }{8}+k\frac{\pi }{2} \\ x=\frac{\pi }{24}+k\frac{\pi }{2} \\ \end{matrix} \right.\)

C. \(\left[ \begin{matrix} x=\frac{-\pi }{8}+k\frac{\pi }{2} \\ x=\frac{-\pi }{24}+k\frac{\pi }{2} \\ \end{matrix} \right.\)

D. \(\left[ \begin{matrix} x=\frac{\pi }{8}+k\frac{\pi }{2} \\ x=\frac{-\pi }{24}+k\pi \\ \end{matrix} \right.\)

Hướng dẫn:

Nhận xét: Ta thấy rằng phương trình đã cho là một phương trình lượng giác bậc cao, chứa cả các góc \(3x,4x\). Để giải thì thường có 2 cách, một là biến đổi tương đương nhóm nhân tử chung, hai là đưa về các dạng phương trình lượng giác thường gặp. Cả hai kĩ thuật này đều yêu cầu học sinh phải ở mức độ khá giỏi và cẩn thận trong quá trình biến đổi tương đương. Tuy nhiên, với một bài tập trắc nghiệm, ta hoàn toàn có thể sử dụng máy tính cầm tay để giải quyết nhanh bài toán trên. Cụ thể ta thao tác như sau:

Phương trình tương đương \(4{{\sin }^{3}}x\cos 3x+4{{\cos }^{3}}x\sin 3x+3\sqrt{3}\cos 4x-3=0\)

Vì đáp án theo đơn vị Radian nên ta phải đổi máy tính sang đơn vị radian. Bằng cách bấm lần lượt Shift Mode 4.

Nhập vế trái của phương trình vào máy tính:

\(4{{\sin }^{3}}x\cos 3x+4{{\cos }^{3}}x\sin 3x+3\sqrt{3}\cos 4x-3\)

Calc thử từng giá trị đặc trưng ở các đáp án

Ví dụ để kiểm tra đáp án A, B, D đúng hay sai ta sẽ thử \(x=\frac{\pi }{8}\)

Bấm lần lượt Calc \(\frac{\pi }{8}\) =. Kết quả máy tính ra 0.

Vậy là A hoặc B, D đúng tiếp theo ta thử\( x=\frac{-\pi }{24}\).

Bấm lần lượt Calc \(\frac{-\pi }{24}\) =. Kết quả máy tính ra 0.

Vậy là khả năng chỉ còn A và D các em sẽ xem tiếp sự khác biệt.

\(x=\frac{-\pi }{24}+k\frac{\pi }{2},x=\frac{-\pi }{24}+k\pi\) các em cho\( k=1\) rồi Calc tiếp \(x=\frac{-\pi }{24}+\frac{\pi }{2}\). Kết quả máy tính ra 0.

Vậy A đúng do đáp án D không chứa kết quả này.

1. Tìm m để phương trình sau có nghiệm

\(2m(\cos x+\sin x)=2{{m}^{2}}+\cos x-\sin x+\frac{3}{2}\)

B. \(\frac{-1}{2}\)

C. \(\frac{\pm 1}{2}\)

D. \(\frac{2}{3}\)

Hướng dẫn:

Để thử đáp án A. Ta thay \(m=\frac{1}{2}\) vào phương trình thì được

\(2.\frac{1}{2}(\cos x+\sin x)=2{{(\frac{1}{2})}^{2}}+\cos x-\sin x+\frac{3}{2}\)

Ta nhập phương trình vào máy tính (lưu ý dấu = ấn bằng tổ hợp Alpha Calc)

Sau đó bấm lần lượt Shift Calc =

Kết quả báo lại ra nghiệm \(x=90{}^\circ => m=\frac{1}{2}\) thỏa mãn.

Nhìn vào các đáp án, ta thấy có A và C thỏa mãn. Để xác định xem đáp án nào đúng, ta thử tiếp \(m=\frac{-1}{2}\). Phương trình tương đương

\[2.\frac{-1}{2}(\cos x+\sin x)=2{{(\frac{-1}{2})}^{2}}+\cos x-\sin x+\frac{3}{2}\]

Ta nhập phương trình vào máy tính (lưu ý dấu = nhập bằng tổ hợp Alpha Calc.

Sau đó bấm lần lượt Shift Calc =

Kết quả báo lại ra nghiệm \(x=180{}^\circ => m=\frac{-1}{2}\) thỏa mãn.