Bài tập về xác suất của biến cố lớp 11

Nội dung chính Show

2. Tính chất của xác suất
2.1. Định lí
2.2. Hệ quả
3. Quy tắc cộng xác suất
4. Quy tắc nhân xác suất của giao 2 biến cố
4.1. Định nghĩa hai biến cố độc lập
4.2. Định lí
5. Bài tập xác suất của biến cố hay gặp (có lời giải)

Sách giải toán 11 Bài 5: Xác suất của biến cố giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 11 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:

Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 5 trang 66: Từ một hộp chứa bốn quả cầu ghi chứ a, hai quả cầu ghi chữ b và hai quả cầu ghi chữ c (h.34), lấy ngẫu nhiên một quả. Kí hiệu:

A: “Lấy được quả ghi chữ a”;

B: “Lấy được quả ghi chữ b”;

C: “Lấy được quả ghi chữ c”.

Có nhận xét gì về khả năng xảy ra của các biến cố A, B và C? Hãy so sánh chúng với nhau.

Lời giải:

Khả năng xảy ra của biến cố A là: 4/8 = 0,5

Khả năng xảy ra của biến cố B là: 2/8 = 0,25

Khả năng xảy ra của biến cố C là: 2/8 = 0,25

⇒ Khả năng xảy ra của biến cố A lớn hơn khả năng xảy ra của biến cố B

Và khả năng xảy ra của biến cố B bằng khả năng xảy ra của biến cố C

a) P(∅) = 0, P(Ω) = 1.

b) 0 ≤ P(A) ≤ 1, với mọi biến cố A.

c) Nếu A và B xung khắc, thì

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) (công thức cộng xác suất).

Lời giải:

Theo định nghĩa xác suất của biến cố ta có:

a.Hãy mô tả không gian mẫu.

b.Xác định các biến cố sau.

A: “Tổng số chấm xuất hiện trong hai lần gieo không bé hơn 10”

B: “Mặt 5 chấm xuất hiện ít nhất một lần”.

c.Tính P(A), P(B).

Lời giải:

a. Không gian mẫu gồm 36 kết quả đồng khả năng xuất hiện, được mô tả như sau:

Ta có: Ω = {(i, j) | 1 ≤ i , j ≤ 6}, trong đó i, j lần lượt là số chấm xuất hiện trong lần gieo thứ nhất và thứ hai, n(Ω) = 36.

b. A = {(4, 6), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} ⇒ n(A) = 6

B = {(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 5)}

a. Hãy mô tả không gian mẫu.

b. Xác định các biến cố sau:

A: “Tổng các số trên 3 tấm bìa bằng 8”

B: “Các số trên 3 tấm bìa là ba số tự nhiên liên tiếp”

c.Tính P(A), P(B).

Lời giải:

a.Không gian mẫu gồm 4 phần tử:

Ω = {(1, 2, 3);(1,2,4);(2,3,4);(1,3,4)} ⇒ n(Ω)=4

b.Các biến cố:

+ A = {1, 3, 4} ⇒ n(A) = 1

+ B = {(1, 2, 3), (2, 3, 4)} ⇒ n(B) = 1

Lời giải:

Không gian mẫu là kết quả của việc chọn ngẫu nhiên 2 chiếc giày trong số 8 chiếc giày.

A: “ Chọn được 2 chiếc tạo thành một đôi”

⇒ n(A) = 4 (Vì có 4 đôi).

a. Phương trình có nghiệm

b. Phương trình vô nghiệm

c. Phương tring có nghiệm nguyên.

Lời giải:

Không gian mẫu khi gieo con súc sắc cân đối và đồng chất:

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

⇒ n(Ω) = 6

Đặt A: “con súc sắc xuất hiện mặt b chấm”;

Xét : x2 + bx + 2 = 0 (1)

Δ = b2 – 8

a. Phương trình (1) có nghiệm

⇔ Δ ≥ 0 ⇔ b ≥ 2√2

⇒ b ∈ {3; 4; 5; 6}.

⇒ A = {3, 4, 5, 6}

⇒ n(A) = 4

b. (1) vô nghiệm

⇔ Δ < 0 ⇔ b ≤ 2√2

⇒ b ∈ {1; 2}

⇒ A = {1, 2}

⇒ n(A) = 2

c. phương trình (1) có nghiệm

⇔ b ∈ {3; 4; 5; 6}.

Thử các giá trị của b ta thấy chỉ có b = 3 phương trình cho nghiệm nguyên.

⇒ A = {3}

⇒ n(A) = 1

a. Cả bốn con đều là át.

b. Được ít nhất là một con át.

c. Được hai con át và hai con K

Lời giải:

Không gian mẫu là kết quả của việc chọn ngẫu nhiên 4 con trong số 52 con

a. Đặt A : « Cả 4 con lấy ra đều là át »

⇒ n(A) = 1

b. + B : « Không có con át nào trong 4 con khi lấy ra »

⇒ B là kết quả của việc chọn ngẫu nhiên 4 con trong số 48 con còn lại

c. C: “Rút được 2 con át và 2 con K”.

a. Nam, nữ ngồi đối diện nhau.

b. Nữ ngồi đối diện nhau.

Lời giải:

a. Có 4 cách xếp nam nữ ngồi đối diện nhau. Xác suất để nam, nữ ngồi đối diện nhau là:

P(A) = 4/6 = 2/3

b. Xác suất để nữ ngồi đối diện nhau (hai nam cũng đối diện nhau) là:

P(B) = 1 – P(A) = 1 – 2/3 = 1/3

A là biến cố: “Qủa lấy từ hộp thứ nhất trắng”

B là biến cố: “Qủa lấy từ hộp thứ hai trắng”

a. Xem xét A và B có độc lập không?

b. Tính xác suất sao cho hai quả cầu lấy ra cùng màu.

c. Tính xác suất sao cho hai quả cầu lấy ra khác màu.

Lời giải:

a. Số phần tử của không gian mẫu là: 10 × 10 = 100

Số trường hợp lấy ra một quả cầu trắng ở hộp thứ nhất là 6

Số trường hợp lấy ra 1 quả cầu ở hộp thứ hai là 10. Số trường hợp lấy ra quả cầu ở hộp thứ nhất trắng kết hợp với một quả cầu bất kỳ ở hộp thứ hai là 6 × 10 = 60

Số trường hợp lấy ra quả cầu thứ hai trắng với một quả cầu bất kì ở hộp thứ nhất là 4 × 10 = 40

Biến cố A.B là lấy ra quả cầu ở hộp thứ nhất trắng và quả cầu ở hộp thứ hai là trắng:

b. Gọi A1 là biến cố hai quả cầu lấy ra cùng trắng.

A2 là biến cố hai quả cầu lấy ra cùng đen

Rõ ràng A1 và A2 xung khắc A A1 ∩ A2 là biến cố hai quả cầu lấy ra cùng màu.

c. Gọi B là biến cố lấy ra hai quả cầu khác màu.

Kiến thức về xác suất của biến cố là một kiến thức quan trọng trong chương trình lớp 11, dạng toán này cũng thường xuyên xuất hiện trong các bài kiểm tra quan trọng, vì vậy các em cần nắm chắc cách giải để dễ dàng “ăn điểm” trong phần này. Cùng VUIHOC tìm hiểu thêm ở bài viết này nhé!

Không gian mẫu có T là một phép thử ngẫu nhiên, cho rằng đây là một tập hữu hạn. Biến cố A có xác suất, kí hiệu là P(A) theo công thức sau:

Suy ra có số kết quả có thể xảy ra là:

$P(\Omega_{A})=1,P(\oslash)=0, 0\leq P(A)\leq 1$

1.2. Định nghĩa thống kê của xác suất

T là một phép thử ngẫu nhiên, A là biến cố liên quan đến phép thử. Lặp lại N lần phép thử T, thống kê lại số lần xuất hiện của A. Ta có định nghĩa xác suất của biến cố A.

P(A) = biến cố và số lần xuất hiện A:N

2. Tính chất của xác suất

2.1. Định lí

$P(\Phi )=0;P(\Omega)=1$
$0\leq P(A)\leq 1$, với tất cả biến cố A.
Khi A và B xung khắc với nhau, suy ra:

$P(A\cup B)=P(A) + P(B)$ (công thức cộng xác suất).

2.2. Hệ quả

Với tất cả các biến cố A, ta sẽ có:

$P(\bar{A})=1 - P(A)$

3. Quy tắc cộng xác suất

Quy tắc mở rộng cộng xác suất trong bài 5 xác suất của biến cố:

Với n biến cố $A_{1},A_{2},A_{3},...A_{n}$ xung khắc đôi một.

Trong trường hợp đó:

$P(A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup .....A_{n}=P(A_{1})+P(A_{2})+P(A_{3}).....+P(A_{n})$

Với tất cả các giá trị của biến cố A, ta sẽ có: $P(\bar{A})=1 - P(A)$

Trong trường hợp A và B là 2 biến tùy ý nhưng cùng liên quan đến một phép thử. Trong trường hợp đó:

$P(A\cup B)=P(A) + P(B) + P(AB)$

4. Quy tắc nhân xác suất của giao 2 biến cố

4.1. Định nghĩa hai biến cố độc lập

Hai biến cố A và B được coi là độc lập khi xảy ra (hoặc không xảy ra) của biến cố A sẽ không làm ảnh hưởng đến xác suất của B.

4.2. Định lí

Khi P(AB) = P(A) . P(B) thì A và B là hai biến cố độc lập.

5. Bài tập xác suất của biến cố hay gặp (có lời giải)

Dưới đây là một số bài tập biến cố và xác suất của biến cố có lời giải mà các em có thể tham khảo thêm trong quá trình ôn tập.

Bài tập 1: Xác suất của biến cố có lời giải:

Một hộp có chữ a trên bốn quả cầu, chữ b trên hai của cầu, chữ c trên hai quả cầu, chọn ngẫu nhiên một quả. Kí hiệu:

A: “Chọn quả ghi chữ a”;

B: “Chọn quả ghi chữ b”;

C: “Chọn quả ghi chữ c”.

Vậy khả năng xảy ra các biến cố là như nào? So sánh các khả năng đó.

Bài giải:

Biến cố A có số khả năng xảy ra là: $\frac{4}{8}=0.5$

Biến cố B có số khẳ năng xảy ra là: $\frac{2}{8}=0.25$

Biến cố C có số khả năng xảy ra là: $\frac{2}{8}=0.25$

Nhận xét: Biến cố B có ít khả năng xảy ra hơn biến cố A

Biến cố B và C có cùng khả năng xảy ra.

Bài tập 2: Xác suất của biến cố có lời giải:

Hai chiếc giày từ bốn đôi giày cỡ khác nhau được một người chọn ngẫu nhiên. Tính xác suất tạo được thành một đôi từ hai chiếc giày được chọn.

Bài giải:

Gọi T là phép thử cần được thử nghiệm.

Số cách để từ 8 chiếc giày lấy ra 2 chiếc là $n(\Omega)=C_{2}^{8}=28$ (phân chia trái phải nên không giống nhau).

Số cách từ 4 đôi lấy được 1 đôi là n(A) = 4

Suy ra $P(A)=\frac{4}{28}=\frac{1}{7}$

Bài tập 3: Xác suất của biến cố có lời giải:

Với 4 ghế hai bạn nữ và hai bạn nam xếp ngẫu nhiên. Tính khả năng nam, nữ ngồi đối diện nhau.

Bài giải

Xếp 4 bạn vào 4 chỗ là hoán vị của 4 phần tử, suy ra không gian mẫu có 4!=24 phần tử.

Gọi A là biến cố cần tìm

A: biến cố nam ngồi diện nam, nữ ngồi dối diện nữ.

Có 4 chỗ để bạn nữ lựa chọn.

Có 1 chỗ cho bạn nữ đối diện thứ hai.

Sau khi các bạn nữ chọn chỗ ngồi, ở đối diện nhau thì còn lại hai chỗ để xếp cho 2 bạn nam và có 2! Cách xếp cho 2 người bạn này.

Suy ra theo quy tắc nhân 4.1.2!=8 cách để nam nữ không đối diện.

$P(A)=1 - P(\bar{A})=\frac{2}{3}$

Bài tập 4: Giả bài tập xác suất của biến cố có lời giải:

Các quả cầu trong hai hộp, 6 quả trắng, 4 quả đen trong hộp thứ nhất. 4 quả trắng, 6 quả đen trong hộp thứ hai. Lấy ngẫu nhiên một quả từ mỗi hộp.

Có:

"Quả lấy từ hộp thứ nhất trắng" gọi là biến cố A.

"Quả lấy từ hộp thứ hai trắng" gọi là biến cố B.

Bài giải:

"Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên một quả cầu" gọi là phép thử T.

Việc lấy ngẫu nhiên 1 quả cầu ở hộp thứ nhất và một quả cầu ở hộp thứ hai là không gian mẫu.

Lấy 1 quả cầu bất kì ở hộp 1 có 10 cách, lấy 1 quả cầu bất kì từ hộp 2 có 10 cách.

Suy ra, có phần tử không gian mẫu:

$\Rightarrow n(\Omega)=10 . 10=100$

Quả cầu lấy từ hộp thứ nhất trắng là A.

⇒ Lấy hộp A có 6 cách, hộp B có 10 cách.

⇒ n(A) = 6.10 = 60.

Suy ra $P(A)=\frac{60}{100}=0.6$

Quả cầu lấy từ hộp thứ hai trắng là B.

⇒ Lấy từ hộp B có 4 cách và từ hộp A có 10 cách ⇒ n(B) = 4.10 = 40.

Suy ra $P(B)=\frac{40}{100}=0.4$

Cả hai quả đều ra trắng là A, B.

=> Hộp A có 6 cách lấy màu trắng, hộp B có 4 cách lấy.

$n(A.B)=\frac{24}{100}=0.24=0.6.0.4=P(A).P(B)$

Từ đó, ta có: P(A).P(B)

Vậy A với B là hai biến cố độc lập.

Bài tập 5: Xác suất của biến cố có lời giải:

Rút ngẫu nhiên cùng lúc 4 con từ 52 lá bài tú lơ khơ, sao cho cả 4 con đều là át

Bài giải:

Tú lơ khơ có 52 quân bài, rút 4 con được gọi là phép thử T.

Mỗi kết quả được coi là tổ hợp chập 4 của 52 quân bài.

Suy ra $n(\Omega)=C_{52}^{4}=270725$

Rút 4 con át được gọi là biến cố A, n(A) = 1

Từ đó kết luận: $P(A)= \frac{1}{270725}=0.0000037$

Bài tập 6: Xác suất của biến cố có lời giải:

Súc xắc cân đối và đồng chất được một người reo. Mặt b chấm xuất hiện, có phương trình $x^{2}+bx+2$. Xác xuất để phương trình có nghiệm là?

Bài giải:

Phương trình có nghiệm

$\Leftrightarrow \Delta \geq 0\Leftrightarrow b\geq 2\sqrt{2}$ => $b\in \left \{ 3,4,5,6 \right \}$

=> $A\in \left \{ 3,4,5,6 \right \}$

$\Rightarrow n(A)=4$

$P(A)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$

Bài tập 7: Xác suất của biến cố có lời giải:

4 tấm bìa có số 1->4. 3 tấm được rút ngẫu nhiên.

Xác định các biến cố:

Tổng các số trên 3 tấm bìa bằng 8 là biến cố A.

Các số trên 3 tấm bìa là ba số tự nhiên liên tiếp là biến cố B.

Tính P(A), P(B).

Bài giải:

Không gian mẫu gồm 4 phần tử:

⇒ n(Ω)=4

Các biến cố:

+ A = {1, 3, 4} ⇒ n(A) = 1

=> $P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega)}=\frac{1}{4}$

+ B = {(1, 2, 3), (2, 3, 4)} ⇒ n(B) = 2

$P(B)=\frac{n(B)}{n(\Omega)}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

Trên đây là toàn bộ lý thuyết và cách tìm xác suất của biến cố. Để thành thạo hơn dạng bài này, các em hãy luyện thêm các dạng bài tại Vuihoc.vn và đăng ký tài khoản để luyện đề!