9/22/2016
Liên quan đến chủ đề hằng đẳng thức toán lớp 8, ta có gặp dạng toán tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức. Nếu không tìm hiểu sơ qua cách làm, ta sẽ không biết bắt đầu từ đâu. Nhưng khi đã nắm vững từng bước thì việc tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một biểu thức nào đó không còn khó khăn nữa. Vậy để tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức, ta phải làm như thế nào. Rất đơn giản, các bạn chỉ cần nhớ: - Kết luận m là giá trị lớn nhất của A (kí hiệu maxA = m) ➤ Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A, ta phải: - Chứng minh A $\geq$ n với n là một hằng số - Chỉ ra khi nào dấu "=" xảy ra - Kết luận n là giá trị nhỏ nhất của A (kí hiệu minA = n) Một câu hỏi được đặt ra ở đây là chứng minh A $\leq$ m và A $\geq$ n như thế nào. Có nhiều cách để chứng minh tùy vào biểu thức A. Trên lớp, cô giáo đã dạy cho ta một phương pháp rất hay. Đó là: Áp dụng hằng đẳng thức $a^2$ $\pm$ 2ab + $b^2$ = $(a \pm b)^2$ để biến đổi biểu thức về dạng: * A = m + $[f(x)]^2$ $\leq$ m => maxA = m khi f(x) = 0Nghe có vẻ cũng khó đấy chứ! Đúng là chỉ đọc lý thuyết thì khó thật. Nên sẽ có những bài tập để các bạn rèn luyện. a) A = -2$x^2$ + 8x - 15 b) B = -$x^2$ - 8x + 5 Bài giải: a) Ta có A = - 2$x^2$ + 8x - 15 = - 2$x^2$ + 8x - 8 - 7 = -2($x^2$ - 4x + 4) - 7 = -2$(x - 2)^2$ - 7 Vì -2$(x - 2)^2$ $\leq$ 0 nên -2$(x - 2)^2$ - 7 $\leq$ - 7 Khi đó A $\leq$ - 7 Dấu "=" xảy ra khi x - 2 = 0 <=> x = 2 Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là -7 khi x = 2 b) Ta có: B = -$x^2$ - 8x + 5 = B = -$x^2$ - 8x - 16 + 21 = -($x^2$ + 8x + 16) + 21 = -$(x + 4)^2$ + 21 Vì -$(x + 4)^2$ $\leq$ 0 nên -$(x + 4)^2$ + 21 $\leq$ 21 Khi đó B $\leq$ 21 Dấu "=" xảy ra khi x + 4 = 0 <=> x = -4 Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức B là 21 khi x = -4 a) A = $x^2$ - 4x + 7 b) B = 4$x^2$ + 4x + 11Bài giải: a) Ta có: A = $x^2$ - 4x + 7 = $x^2$ - 4x + 4 + 3 = $(x - 2)^2$ + 3 $\geq$ 3 Dấu "=" xảy ra khi x - 2 = 0 <=> x = 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 3 khi x = 2 b) Ta có: B = 4$x^2$ + 4x + 11 = B = 4$x^2$ + 4x + 1 + 10 = $(2x + 1)^2$ + 10 $\geq$ 10 Dấu "=" xảy ra khi 2x + 1 = 0 <=> x = -$\frac{1}{2}$ Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức B là 10 khi x = -$\frac{1}{2}$. Như vậy, chỉ với hai bài tập trên các bạn đã có thể hiểu được cơ bản cách tìm giá trị lớn nhất hoăc nhỏ nhất của một biểu thức. Chừng đó là vừa với các bạn lớp 8. Lên những lớp trên các bạn sẽ được trang bị những hiểu biết đầy đủ hơn về dạng toán này. Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn! Nhóm thuvientoan.net xin gửi đến các bạn đọc tài liệu Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số - Bồi dưỡng HSG lớp 8. Tài liệu gồm 56 trang tuyển chọn đề thi và lời giải chi tiết về chủ đề này. Nội dung cụ thể bao gồm: A. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức Khái niệm: Nếu với mọi giá trị của biến thuộc một khoảng xác định nào đó mà giá trị của biểu thức A luôn luôn lớn hơn hoặc bằng (nhỏ hơn hoặc bằng) một hằng số k và tồn tại B. Các dạng toán Dạng 1: Tìm GTLN, GTNN của tam thức bậc hai Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN của đa thức có bậc cao hơn 2 Dạng 3 : Đa thức có từ 2 biến trở lên Dạng 4: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức có quan hệ ràng buộc giữa các biến Dạng 5: Phương pháp đổi biến số Dạng 6 : Sử dụng bất đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối Dạng 7: Dạng phân thức C. Tìm GTLN, GTNN của phân thức có dạng khác .... Nhóm thuvientoan.net hy vọng với tài liệu Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số sẽ giúp ích được cho các bạn đọc và được đồng hành cùng các bạn, cảm ơn!
Tài liệu Like fanpage của thuvientoan.net để cập nhật những tài liệu mới nhất: https://bit.ly/3g8i4Dt. Tải tại đây. THEO THUVIENTOAN.NET
1) $ \displaystyle (A+B)^{2}=A^{2}+2AB+B^{2}$ 2) $ \displaystyle (A-B)^{2}=A^{2}-2AB+B^{2}$ 3) $ \displaystyle A^{2}-B^{2}=(A-B)(A+B)$ 4) $ \displaystyle (A+B)^{3}=A^{3}+3A^{2}B+3AB^{2}+B^{3}$ 5) $ \displaystyle (A-B)^{3}=A^{3}-3A^{2}B+3AB^{2}-B^{3}$ 6) $ \displaystyle A^{3}+B^{3}=(A+B)\left( {A^{2}-AB+B^{2}} \right)$ 7) $ \displaystyle A^{3}-B^{3}=(A-B)\left( {A^{2}+AB+B^{2}} \right)$ Bài tập tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức – Toán lớp 8Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $A=x^{2}-4 x+7$ Giải Ta có $: A=x^{2}-4 x+7=\left(x^{2}-2 \cdot 2 \cdot x+4\right)+3=(x-2)^{2}+3$ Ta luôn có : $(x-2)^{2} \geq 0$ với mọi $x$. Suy ra: $(x-2)^{2}+3 \geq 3$ với mọi $x$. hay $A \geq 3$ với mọi $x$. Dấu “=” xảy ra khi : $x-2=0$ hay $x=2$ Nên : $A_{\min }=3$ khi $x=2$ Ví dụ 2: Chứng minh rằng biểu thức sau luôn dương với mọi $x$. $B=4 x^{2}+4 x+3$ Giải Ta có: $B=(2 x)^{2}+2 \cdot 2 x \cdot 1+1^{2}+2=(2 x+1)^{2}+2$ Ta luôn có: $(2 x+1)^{2} \geq 0$ với mọi $x$. Suy ra: $(2 x+1)^{2}+2 \geq 2>0$ với mọi $x$. Hay: $B>0$ với mọi $x$. Vậy: biểu thức $B$ luôn dương với mọi $x$ Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : $C=x^{2}+9 y^{2}+6 x-6 y+5$ Giải Ta có : $C=x^{2}+9 y^{2}+6 x-6 y+5$ $=\left(x^{2}+2 \cdot x \cdot 3+9\right)+\left(9 y^{2}-2 \cdot 3 y \cdot 1+1\right)-5=(x+3)^{2}+(3 y-1)^{2}-5$ Mà : $(x-2)^{2} \geq 0 ;(3 y-1)^{2} \geq 0$ với mọi $x, y$. $(x-2)^{2}+(3 y-1)^{2} \geq 0$ với mọi $x, y$ Suy ra: $(x+3)^{2}+(3 y-1)^{2}-5 \geq-5$ với mọi $x, y$. hay: $C \geq-5$ với mọi $x, y$ Dấu “=” xảy ra khi : $x+3=0$ và $3 y-1=0$ $x=-3 $ và $\displaystyle y=\dfrac{1}{3}$ Nên: $C_{\min }=-5$ khi $x=-3$ và $\displaystyle y=\dfrac{1}{3}$
Chú ý: Do tài liệu trên web đều là sưu tầm từ nhiều nhiều nguồn khác nhau nên không tránh khỏi việc đăng tải nhiều tài liệu mà tác giả không muốn chia sẻ nhưng mình không biết, những ai có tài liệu trên web như vậy thì liên hệ với mình để mình gỡ xuống nhé! Thầy cô nào có tài liệu tự làm muốn có thêm chút thu nhập nhỏ và chia sẻ tài liệu mình đến mọi người thì liên hệ mình để đưa tài liệu lên tài liệu tính phí, thầy cô nào có thể làm các khóa học về môn toán thì liên hệ với mình để làm các khóa học đưa lên web ạ! Điện thoại: 039.373.2038 (zalo web cũng số này, các bạn có thể kết bạn, mình sẽ giúp đỡ) Kênh Youtube: https://bitly.com.vn/7tq8dm Email: Group Tài liệu toán đặc sắc: https://bit.ly/2MtVGKW Page Tài liệu toán học: https://bit.ly/2VbEOwC Website: http://tailieumontoan.com
+ Với mọi x:  + Với mọi a; b ta có: . Dấu = xảy ra khi a+ b = 0 Và • Cho biểu thức A(x): + Nếu + Nếu + Nếu + Nếu + Với mọi A; B ta có: Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 6x - x2 A. 9 B. 11 C. 8 D. 13 Lời giải Ta có: A = 6x - x2 = -(x2 - 6x) = -(x2 - 6x + 9) + 9 = -(x - 3)2 + 9 Với mọi x ta có: Do đó, giá trị lớn nhất của biểu thức A là 9 Chọn A. Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B = 6 - 8x - x2 A. 6 B. 22 C. 18 D. 16 Lời giải Ta có: B = 6 - 8x - x2 = -(x2 + 8x) + 6 = -(x2 + 8x + 16) + 6 + 16 = -(x + 4)2 + 22 Vì Do đó, giá trị lớn nhất của biểu thức B là 22 Chọn B. Ví dụ 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = 4x2 + 8x + 10 A . 6 B. 10 C. 12 D. 18 Lời giải C = 4x2 + 8x + 10 = (2x)2 + 2.2x.2 + 4 + 6 = (2x + 2)2 + 6 Với mọi x ta có: Do đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức C là 6 Chọn A. Ví dụ 4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Lời giải Ta có: 2x2 + 4x + 9 = (2x2 + 4x + 2) + 7 = 2(x2 + 2x + 1) + 7 = 2(x + 1)2 + 7 Với mọi x, Do đó, giá trị lớn nhất của A là Chọn A. Câu 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Với mọi x ta có: Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là Chọn A. Câu 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B = 10 - x2 A. 0 B.10 C. -10 D. 9
Ta có: Do đó, giá trị lớn nhất của biểu thức B là 10 Chọn B. Câu 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = 4x - 2x2 A. 0 B. 1 C. 4 D. 2
Ta có; A = 4x - 2x2 = -2(x2 - 2x) = -2(x2 - 2x + 1) + 2 = -2(x - 1)2 + 2 Vì Do đó, giá trị lớn nhất của biểu thức A là 2. Chọn D. Câu 4 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức C = 4x + 3 - x2 A. 7 B. 4 C. 3 D. -1
Ta có: Vì Do đó, giá trị lớn nhất của C là 7. Chọn A. Câu 5. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức D = -x2 + 6x - 11 A. -11 B. 6 C. -2 D. 9
D = -x2 + 6x - 11 = -(x2 - 6x) - 11 = -(x2 - 6x + 9) + 9 - 11 = -(x - 3)2 - 2 Vì Giá trị lớn nhất của biểu thức D là – 2 Chọn C Câu 6. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức E = 4x - x2 + 1 A. 1 B. 5 C. 3 D. 6
Ta có: E = 4x - x2 + 1 = -(x2 - 4x) + 1 = -(x2 - 4x + 4) + 4 + 1 = -(x - 2)2 + 5 Vì Do đó, giá trị lớn nhất của biểu thức E là 5. Chọn B. Câu 7. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2x2 + 8x + 11 A. 3 B. 8 C. 11 D. 9
Ta có: A = 2x2 + 8x + 11 = 2(x2 + 4x) + 11 = 2(x2 + 4x + 4) - 8 + 11 = 2(x + 2)2 + 3 Vì Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 3 Chọn A. Câu 8. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức E = x2 - 2x + y2 + 4y + 10 A. 1 B. 10 C. 5 D. 8
Ta có: E = x2 - 2x + y2 + 4y + 10 = (x2 - 2x + 1) + (y2 + 4y + 4) + 5 = (x - 1)2 + (y + 2)2 + 5 Vì Do đó, giá trị nhỏ nhất của E là 5. Chọn C. Câu 9. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức D = 4x2 + y2 + 6y + 20 A. 20 B. 11 C. 10 D. 16
Ta có; D = 4x2 + y2 + 6y + 20 = 4x2 + (y2 + 6y + 9) + 11 = 4x2 + (y + 3)2 + 11 Vì: Suy ra: Vậy giá trị nhỏ nhất của D là 11 Chọn B. Câu 10. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức G = x2 + 5y2 - 4xy - 8y + 28 A.10 B. 8 C. 20 D. 15
Ta có: G = x2 + 5y2 - 4xy - 8y + 28 G = (x2 - 4xy + 4y2) + (y2 - 8y + 16) + 8 = (x - 2y)2 + (y - 4)2 + 8 Vì Suy ra: Vậy giá trị nhỏ nhất của G là 8. Chọn B. Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 8 chọn lọc, có đáp án hay khác: Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k8: fb.com/groups/hoctap2k8/ Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Loạt bài Lý thuyết & 700 Bài tập Toán lớp 8 có lời giải chi tiết có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài có lời giải chi tiết được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 8 và Hình học 8. Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn. |
