 CHƢƠNG I: HÀM BIẾN SỐ PHỨC CHƢƠNG I HÀM BIẾN SỐ PHỨC Số phức khởi đầu được sử dụng để tính toán một cách đơn giản, tuy nhiên lý thuyết hàm biến phức ngày càng chứng tỏ là một công cụ rất hiệu quả trong nhiều lĩnh vực của khoa học và kỹ thuật. Hầu hết các lời giải độc đáo của các bài toán quan trọng trong lý thuyết truyền nhiệt, truyền dẫn, tĩnh điện, và thủy động lực đều được sử dụng phương pháp các hàm biến phức. Đối với vật lý hiện đại, hàm biến phức trở thành một bộ phận thiết yếu của vật lý lý thuyết. Chẳng hạn các hàm sóng trong cơ học lượng tử là các hàm biến phức. Dĩ nhiên khi thực hiện một thí ngiệm hoặc phép đo nào đó thì kết quả mà chúng ta nhận được là các giá trị thực, nhưng để phát biểu lý thuyết về kết quả này thường phải sử dụng đến số phức. Có một điều kỳ lạ rằng nếu lý thuyết chính xác thì các phân tích toán học với hàm biến phức luôn dẫn đến lời giải là thực. Vì vậy hàm biến phức thực sự là một công cụ không thể thiếu của khoa học kỹ thuật hiện đại. Trong chương này chúng ta tìm hiểu những vấn đề cơ bản của giải tích phức: Lân cận, miền, giới hạn, liên tục, đạo hàm của hàm biến phức, tích phân phức, chuỗi số phức, chuỗi lũy thừa, chuỗi Laurent … Để nghiên cứu các vấn đề này chúng ta thường liên hệ với những kết quả ta đã đạt được đối với hàm biến thực. Mỗi hàm biến phức tương ứng với hai hàm hai biến thực , . Hàm biến phức liên tục khi và chỉ khi , liên tục. Hàm khả vi khi và chỉ khi , có đạo hàm riêng cấp 1 thỏa mãn điều kiện Cauchy-Riemann. Tích phân phức tương ứng với hai tích phân đường loại 2 của các hàm , … như vậy ta có thể chuyển các tính chất giải tích của hàm biến phức về tính chất tương ứng của hàm thực hai biến và các tính chất này đã được học trong giải tích 2. Ngoài ra xuất phát từ những tính chất đặc thù của hàm biến phức chúng ta còn có các công thức tích phân Cauchy, khai triển hàm biến phức thành chuỗi Taylor, chuỗi Laurent, tính thặng dự của hàm số tại điểm bất thường cô lập và ứng dụng lý thuyết thặng dư để giải quyết những bài toán cụ thể. Cuối cùng ta xét phép biến đổi Z là một ứng dụng cụ thể của khai triển Laurent. 1.1 TẬP SỐ PHỨC 1.1.1 Các dạng của số phức và các phép toán của số phức Rất nhiều bài toán trong khoa học kỹ thuật và trong thức tế được qui về giải phương trình đại số cấp hai: . Phương trình này có nghiệm thực khi , tuy nhiên trường hợp phương trình không có nghiệm thực, ứng với , cũng thường gặp và có nhiều ứng dụng. Vì vậy người ta mở rộng trường số thực đã có lên trường số mới sao cho trong trường số này phương trình cấp hai trên luôn có nghiệm. Phương trình cấp hai với đơn giản nhất có dạng . Nếu ta đưa vào số mới (đơn vị ảo) sao cho thì phương trình trên có thể phân tích thành |
