Cập nhật lúc: 14:37 30-08-2018 Mục tin: LỚP 9 Show
Tài liệu tóm tắt lại lý thuyết và đưa ra các ví dụ liên quan tới các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông Hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng: a) Cạnh huyền nhân với góc đối hay nhân với góc kề. b) Cạnh góc vuông kia nhân với của góc đối hay nhân với của góc kề. \(b = a.\sin B = a\cos C;c = a.\sin C = a.\cos B;b = c.tgB = c.\cot gC;\) \(c = b.tgC = b.\cot gC\) 2. Giải tam giác vuông là tìm tất cả các cạnh và các góc chưa biết của tam giác vuông đó.  Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 9 - Xem ngay >> Học trực tuyến lớp 9 và luyện vào lớp 10 tại Tuyensinh247.com. , cam kết giúp học sinh lớp 9 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
$4. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG A. Tóm tắt kiến thức Các hệ thức Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng : Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kề ; Cạnh góc \TJông kia nhân với tang góc đối hoặc nhân với côtang góc kề. b = asinB = acosC b = ctgB = ccotgC c = asinC = acosB c = btgC = bcotgB Giải tam giác vuông Trong một tam giác vuông, nếu cho trước hai yếu tố (trong đó có ít nhất một yếu tố về cạnh và không kể góc vuông) thì ta sẽ tìm được các yếu tố còn lại. B. Ví dụ giải toán A Ví dụ 1. Giải tam giác ABC vuông tại A biết B = 57° và AC = 3,5. Nhận xét. ơ trên ta đã tính BC bằng cách lấy AC (đã cho) chia cho sin B (góc B đã cho). Kết quả sẽ chính xác hơn là tính BC qua các kết quả trung gian. Ví dụ nếu tính BC theo định lí Py-ta-go, BC2 = AB2 + AC2 thì phải dùng số đo của AB « 2,3, đó là một số gần đúng, kết quả có thể kém chính xác hơn. Ví dụ 2. Tam giác ABC có AB = 4 ; AC = 3. Tính diện tích tam giác này trong hai trường hợp : a) Â = 60° ; b) Â = 120°. Giải. Vẽ CH ± AB. Trong cả hai trường hợp ta đều có CAH = 60°. Bài 26 Bài 27 Hình a Hình c Ta có CH = AC.sin 60° = 3.sin 60° ~ 2,6. Diện tích AABC là : s = ị AB.CH « ị .4.2,6 = 5,2 (đvdt). 2 2 Nhận xét. Trong trường hợp tổng quát, ta chứng minh được rằng : Diện tích của một tam giác bằng nửa tích của hai cạnh nhân với sin của góc nhọn tạo bởi các đường thẳng chứa hai cạnh ấy. ’ABC = — AB.AC.sin A (nếu góc A nhọn). = — AB.AC. sin(l 80° - A) (nếu góc A tù). c. Hướng dẫn giải các bài tập trong sách giáo khoa HD. Chiều cao của tháp là 86.tg 34° -58 (m) (h.a) B = 90° - 30° = 60°. AB = AC.tg c = lO.tg 30° « 5,774 (cm) ; AC 1 (ì BC = « 11,547 (cm). cosC cos30° (h.b) B = 90° - 45° = 45°. => AC = AB = 10 (cm); AB 10 BC = --- = ————- ~ 14,142 (cm). sinC sin 45° (h.c) C = 90° - 35° = 55°. AB = BC.cos B = 20.COS 35° « 16,383 (cm); AC = BC.sin B = 20.sin 35° « 11,472 (cm). AC 18 tgB = -9^ = 77 « 0,8571 AB 21 BC = B «41°; C «49°. AC 18 27,437 (cm). sinB sin41° Nếu tính theo định lí Py-ta-go thì Bài 28. Bài 29. Bài 30. Bài 31. BC — V2Ĩ +18 « 27,659 (cm). Hình d Kết quả này chính xác hơn vì khi tính toán, ta dùng ngay các số liệu đã cho mà không dùng kết quả trung gian. HD. tga=7 => a « 60° 15'. 4 HD. cos a = 250 320 a «38 37'. Vẽ BK 1 AC, ta được KBC = 60° và KBA = 60° - 38° = 22°. Xét AKBC vuông tại K có : BK = BC.sin c = 1 l.sin 30° = 5,5 (cm). Xét AKBA vuông tại K có : .-"'C 11 BK 5,5 AB = 5,932 (cm). cos 22° cos 22° Xét AABN vuông tại N có AN = AB.sin38° « 5,932.sin38° « 3,652 (cm). Xét AANC vuông tại N có AC = AN _ ~ 75304 (cm). sinC sin 30° Xét AABC vuông tại B có : AB = AC.sin c = 8.sin 54° « 6,472 (cm). Vẽ AH ± CD. Xét AACH có : B AH = AC.sin c = 8.sin 74° « 7,690 (cm). Xét AAHD vuông tại H có : AH 7,690 sin D = AD ~ 9,6 0,8010 =>D«53C Nhận xét. Để tính được số đo của góc D, ta đã vẽ AH -L CD. Mục đích của việc vẽ đường phụ này là để tạo ra một tam giác vuông biết độ dài hai cạnh và có góc D là một góc nhọn của nó. Từ đó tính được một tỉ số lượng giác của góc D rồi suy ra số đo của góc D. Bài 32. Gọi AB là đoạn đường mà con thuyền đi được trong 5 phút, BH là chiều rộng của khúc sông, -ỉ- h là 12 Xét AABH vuông tại H, biết cạnh huyền AB và một góc nhọn thì có thể tính được BH. Quãng đường thuyền đi trong 5 phút AB = 2.-^- = ị (km). 12 6 157 m. Chiều rộng khúc sông là : BH = AB.sin A - — sin 70° « 0,1566 (km) 6 D. Bài tập luyện thêm Giải tam giác ABC vuông tại A biết: BC = 6,3 ; C = 40° ; AB = 4,5 ; AC = 5,3. Tam giác ABC có B = 70° ; C = 50°, đường cao AH = 3,0. Tính diện tích tam giác ABC. Cho hình bình hành ABCD có AB = 5,2 ; BC = 3,5 và B = 75°. ' Tính diện tích hình bình hành. Tam giác ABC có BC = 8,4 ; B = 65° ; C = 40°. Tính chu vi tam giác ABC. Lời giải - Hướng dẫn - Đáp sô' a) B =50°; AB « 4,0 ; AC « 4,8. b)tgc= ±1 «tg40° => C « 40° ; B « 50° ; BC « 7,0. BH « 1,1 ; CH « 2,5, do đó BC « 3,6 3. 4. => s « 5,4 (đvdt). (Xem hình bên) Vẽ đường cao CH, ta có CH = BC.sin B = 3,5.sin 75° « 3,4. Diện tích hình bình hành là : s« 5,23,4 = 17,7 (đvdt). Â = 180°-(65°+ 40°) = 75°. Vẽ các đứờng cao AH và BK. Ta có BK = BC.sin c = 8,4.sin 40° « 5,4. AB=-^-^L,5.6. sin A sin 75° AH = AB.sin B « 5,6.sin 65° « 5,1. AC = ’1 S3 7,9. sinC sin 40° Chu vi tam giác ABC là : 8,4 + 5,6 + 7,9 = 21,9. Nhận xét : Việc vẽ thêm các đường cao AH và BK tạo điều kiện vận dụng các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông để tính các cạnh của tam giác.
Sau đây là một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông mà chúng ta hay áp dụng vào giải các bài tập về giải tam giác vuông, tính các cạnh và góc trong tam giác.
Hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuôngCho tam giác ABC vuông tại A có BC = a, AC = b, AB = c. Ta có: Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông Ta có thể hiểu các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông như sau: Trong một tam giác vuông: Cạnh góc vuông = cạnh huyền × sin góc đối = cạnh huyền × cos góc kề Cạnh góc vuông = cạnh góc vuông còn lại × tan góc đối = cạnh góc vuông còn lại × cot góc kề Các dạng bài áp dụng một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuôngDạng 1: Giải tam giác vuôngGiải tam giác là dạng bài yêu cầu ta tính độ dài các cạnh và số đo các góc dựa và dữ kiện cho trước của bài toán. Phương pháp giải: Để giải tam giác vuông, ta dùng một số hệ thức về các cạnh và góc của tam giác vuông và dùng máy tính để tính các yếu tố còn lại. Ví dụ 1: Cho tam giác vuông ABC với các cạnh góc vuông AB = 5, AC = 8. Hãy giải tam giác vuông ABC. Giải: Trước tiên ta vẽ hình như sau: Ta xác định giải tam giác ABC này là phải tính độ dài của cạnh còn lại BC – cạnh huyền, và tính các góc B và C. Từ đó ta thấy ngay muốn tính BC thì có thể áp dụng Định lí Py-ta-go, ta có: BC² = AB² + AC² ⇒ BC² = 5² + 8² = 89 ⇒ BC = √89 = 9,434. Theo hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông, ta có thể tính các góc B và C như sau: tan C = AB/AC = 5/8 Bấm máy tính ta tìm được góc C = 32º do đó góc B = 90° − 32° = 58°. Ví dụ 2: Cho tam giác OPQ vuông tại O có góc P = 36°, PQ = 7. Hãy giải tam giác vuông OPQ. Giải: Ta vẽ hình tam giác OPQ như sau: Ta giải tam giác vuông OPQ tức là tìm số đo góc còn lại là Q, và tính các cạnh OP, OQ. Ta thấy ngay góc P và Q là hai góc phụ nhau, nên ∠Q = 90° − ∠P = 90° − 36° = 54° Theo các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông, ta có: OP = PQ . sin Q = 7. sin 54° ≈ 5,663 OQ = PQ . sin P = 7 . sin 36° ≈ 4,114 Như vậy, có hai loại bài toán về giải tam giác vuông là:
Dạng 2: Tính cạnh và góc của tam giác thườngDạng bài này không có tam giác vuông, ta cần tạo ra tam giác vuông bằng cách kẻ thêm đường cao. Sau đó áp dụng các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông để tính các góc và cạnh theo yêu cầu đề bài. Phương pháp: Làm xuất hiện tam giác vuông để áp dụng các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông bằng cách kẻ thêm đường cao. Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có BC = 11 cm, ∠ABC = 38° và ∠ACB = 30°. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống cạnh BC. Hãy tính: a) Độ dài đoạn thẳng AH b) Độ dài đoạn thẳng AC Giải: Trước tiên ta cần vẽ đúng đề bài. a) Phân tích: Ta cần tính độ dài đoạn thẳng AH. Vậy ta cần xét tam giác vuông nào có cạnh là AH rồi tìm mối liên hệ giữa AH và cạnh đã biết BC. Nhìn hình ta thấy ngay đó là các tam giác vuông AHB và AHC. Xét tam giác vuông AHB vuông tại H, theo các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông, ta có: AH = BH. tan B (1) Xét tam giác vuông AHC vuông tại H, theo hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông, ta có: AH = HC. tan C (2) Như vậy, từ (1) và (2) ta có: BH. tan B = HC . tan C hay BH . tan 38° = HC . tan 30° Mà BH + CH = BC = 11 cm nên suy ra BH = 11 − HC (11 − HC) tan 38° − HC . tan 30° = 0 HC( tan 38° + tan 30°) = 11.tan 38° HC = 11.tan 38°/ ( tan 38° + tan 30°) = 6,326 Ta thay vào (2) và suy ra AH = 6,326 . tan 30° ≈ 3,65 cm b) Phân tích: Ta cần tính độ dài AC nên ta sẽ xét tam giác vuông có cạnh AC. Đó là tam giác vuông AHC, ta đã biết góc C = 30° và AH = 3,65 cm. Theo hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông, ta có: AC = AH/sin C = 3,65/ sin 30° ≈ 7,3 cm. Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có góc B = 60°, góc C = 50° và AC = 3,5 cm. Tính diện tích tam giác ABC. Giải: Ta vẽ hình theo đề bài và phân tích bài toán. Muốn tính diện tích tam giác ABC ta cần kẻ AH vuông góc BC (H thuộc BC) để tính chiều cao AH, cạnh BC. Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông AHC, ta có: AH = AC . sin C = 3,5. sin 50° ≈ 2,68 cm HC = AC . cos C = 3,5 . cos 50° ≈ 2,25 cm Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông AHB, ta có: BH = AH . cot B = 2,68 . cot 60° ≈ 1,55 cm Vì thế ta suy ra BC = BH + CH = 1, 55 + 2,25 = 3,8 cm Diện tích tam giác ABC là: S = 1/2. AH.BC = 1/2 . 2,68 . 3,8 = 5,2 cm². Dạng 3: Toán ứng dụng thực tếPhương pháp: Dùng các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông để giải quyết tình huống trong thực tế. Ví dụ 5: Một cột đèn cao 7m có bóng trên mặt đát dài 4m. Hãy tính góc (làm tròn đến phút) mà tia sáng mặt trời tạo với mặt đất (góc α trong hình vẽ) (SGK – Toán 9 trang 89) Giải: Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông ta có: tan α = 7/4 suy ra α = 60° 15′ Ví dụ 6: Một cầu trượt trong công viên có độ dốc là 28° và có độ cao là 2,1 m. Tính độ dài của mặt cầu trượt. Giải: Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông, ta có: Chiều dài mặt cầu trượt = 2,1/ sin 28° ≈ 4,47 m. Dạng 4: Toán tổng hợpPhương pháp giải: Ta sẽ vận dụng linh hoạt một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông để giải các yêu cầu của bài toán. Ví dụ 7: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AC>AB và đường cao AH. Gọi D, E lần là hình chiếu của H trên AB, AC. a) Chứng minh AD.AB = AE.AC và tam giác ABC đồng dạng với tam giác AED. b) Cho biết BH = 2 cm, HC = 4,5 cm. Tính (i) Độ dài đoạn thẳng DE; (ii) Số đo góc ABC (iii) Diện tích tam giác ADE. Giải: Ta vẽ hình theo đề bài: a) Áp dụng hệ thức lượng giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông để tìm quan hệ giữa AD.AB và AE.AC. Ta xét tam giác vuông AHC có: AH² = AE . AC Ta xét tam giác vuông AHB có: AH² = AD . AB Vì vậy ta suy ra AD.AB = AE.AC (= AH²) Ta xét tam giác ABC và AED có góc A chung = 90° và AD.AB = AE.AC (cmt) nên ta suy ra: ΔABC ∼ Δ AED (c – g – c) b) (i) Ta muốn tính DE, ta thấy rằng tứ giác ADHE là hình chữ nhật (vì góc A = góc D = góc E = 90°) nên hai đường chéo DE = AH. Mà AH là đường cao trong tam giác vuông ABC nên áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC ta có: AH² = HB.HC = 2 . 4,5 = 9 cm nên suy ra AH = 3 cm = DE. (ii) Ta muốn tính góc ABC, ta xét tam giác vuông AHB để áp dụng hệ thức về cạnh và góc như sau: tan ABC = AH/BH = 3/2 nên suy ra số đo góc ABC ≈ 56° (iii) Ta cần tính diện tích tam giác ADE. Ta biết rằng ΔABC ∼ Δ AED (Cmt) nên có thể áp dụng công thức tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng. Diện tích ADE / Diện tích ABC = (DE/BC)² = 27/13 Mà diện tích tam giác ABC = 1/2. AH. BC = 1/2 . 3 . 6,5 = 9,75 cm² Ta suy ra diện tích tam giác ADE = 9,75 . 27/13 = 20,25 cm² Bài tập thêm Áp dụng một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, có BC = a, AC = b, AB = c. Giải tam giác ABC, biết: a) b = 5,4 cm và góc C = 30° b) c = 10 cm và góc C = 45° Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A, có BC = a, AC = b, AB = c. Giải tam giác ABC, biết: a) a = 15 cm, b = 10 cm b) b = 12 cm, c = 7 cm Bài 3. Cho tam giác ABC có góc B = 60°, góc C = 50° và CA = 35 cm. Tính diện tích tam giác ABC. Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao là AH, HB = 9 cm, HC = 16 cm. a) Tính AB, AC, AH. b) Gọi D và E lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên AB và AC. Tứ giác ADHE là hình gì? c) Tính chu vi và diện tích của tứ giác ADHE. d) Tính chu vi và diện tích của tứ giác BDEC. (Bài tập từ sách Củng cố và ôn luyện Toán 9 – tập 1) Xem thêm các đề ôn tập phần này tại đây Vậy là ta đã tổng kết lại các kiến thức cần nhớ về một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông và cách áp dụng chúng vào giải các dạng bài tập giải tam giác, tìm cạnh và góc của tam giác thường và bài toán tổng hợp. Cảm ơn các em đã theo dõi và nhớ hãy chia sẻ nếu cảm thấy bài viết có ích. Ths. Toán học Nguyễn Thùy Dung Xem thêm: Bài Tỉ số lượng giác của góc nhọn Học các bài khác ở Mục Học toán 9 Full lí thuyết về đường tròn Toán 9 |
