\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 4x = 0\\\cos x = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x = k\pi \\x = \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{k\pi }}{4}, k\in\mathbb{Z}\\x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k\in\mathbb{Z}\end{array} \right.\end{array}\)
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
Giải các phương trình LG a \(\cos 3x - \sin 2x = 0\) Phương pháp giải: Đưa phương trình về dạng \(\cos a=\cos b\) Khi đó \(a=\pm b+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}\). Lời giải chi tiết: Ta có: \(\cos 3x-\sin 2x=0\) \(\Leftrightarrow\cos 3x=\sin 2x\) \(\Leftrightarrow\cos 3x=\cos(\dfrac{\pi}{2}-2x)\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \(\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}5x = \dfrac{\pi}{2}+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}\\x = -\dfrac{\pi}{2}+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} Vậy phương trình có nghiệm là: \(x = \dfrac{\pi}{10}+k\dfrac{2\pi}{5} ,k\in\mathbb{Z}\) và \(x = -\dfrac{\pi}{2}+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}\). LG b \(\tan x\tan 2x = -1\) Phương pháp giải: Tìm điều kiện xác định của \(\tan x\) và\(\tan 2x\) là \(\cos x\ne0\) và \(\cos 2x\ne0\) Biến đổi \(\tan x=\dfrac{\ sin x}{\cos x}\) Áp dụng công thức cosin của một hiệu: \(\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b\) Lời giải chi tiết: ĐKXĐ:\(\left\{ \begin{array}{l} \cos x\ne0\\\cos 2x\ne0\end{array} \right. \) Ta có:\(\tan x\tan 2x = -1\) \(\Leftrightarrow \dfrac{\sin x}{\cos x}\dfrac{\sin 2x}{\cos 2x}=-1\) \(\Rightarrow \sin x\sin 2x=-\cos x\cos 2x\) \(\Leftrightarrow \cos x\cos 2x+\sin x\sin 2x=0\) \(\Leftrightarrow \cos (2x-x)=0\) \(\Leftrightarrow \cos x=0\) Kết hợp với điều kiện khi đó phương trình vô nghiệm. LG c \(\sin 3x+\sin 5x = 0\) Phương pháp giải: Đưa phương trình về dạng \(\sin a=\sin b\) Khi đó \(a=b+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}\) và \(a=\pi-b+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}\). Lời giải chi tiết: Ta có: \(\sin 3x+\sin 5x=0\) \(\Leftrightarrow \sin 5x=-\sin 3x\) \(\Leftrightarrow \sin 5x=\sin (-3x)\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 5x = -3x+k2\pi,k \in \mathbb{Z}\\5x= \pi-(-3x)+k2\pi,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=k\dfrac{\pi}{4} ,k\in\mathbb{Z}\\x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi ,k\in\mathbb{Z}\end{array} \right. \) Vậy phương trình có nghiệm là: \(x=k\dfrac{\pi}{4} ,k\in\mathbb{Z}\) và \(x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi ,k\in\mathbb{Z}\) Cách khác: sin3x + sin5x = 0 2sin4x. cosx = 0 \(\begin{array}{l} LG d \(\cot 2x\cot 3x= 1\). Phương pháp giải: Tìm điều kiện xác định của \(\cot 2x\) và\(\cot 3x\) là \(\sin 2x\ne0\) và \(\sin 3x\ne0\) Biến đổi \(\cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}\) Áp dụng công thức cosin của một tổng: \(\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b\) Tìm điều kiện xác định của \(\cot 2x\) và\(\cot 3x\) là \(\sin 2x\ne0\) và \(\sin 3x\ne0\) Biến đổi \(\cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}\) Áp dụng công thức cosin của một tổng: \(\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b\) Lời giải chi tiết: ĐKXĐ:\(\left\{ \begin{array}{l}\sin 2x\ne0\\\sin 3x\ne0\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} 2x\nem\pi ,m\in\mathbb{Z}\\3x\ne m\pi,m\in\mathbb{Z}\end{array}\right. \) \(\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} x\ne m\dfrac{\pi}{2} ,m\in\mathbb{Z}\\x\nem\dfrac{\pi}{3} ,m\in\mathbb{Z}\end{array}\right. \) Ta có:\(\cot 2x\cot 3x = 1\) \(\Leftrightarrow \dfrac{\cos 2x}{\sin 2x}\dfrac{\cos 3x}{\sin 3x}=1\) \(\Rightarrow \cos 2x\cos 3x=\sin 2x\sin 3x\) \(\Leftrightarrow \cos 2x\cos 3x-\sin 2x\sin 3x=0\) \(\Leftrightarrow \cos (2x+3x)=0\) \(\Leftrightarrow \cos 5x=0\) \(\Leftrightarrow 5x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi ,k\in\mathbb{Z}\) \(\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{10}+k\dfrac{\pi}{5} ,k\in\mathbb{Z}\) Với điều kiện ở trên khi đó: \(\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{\pi}{10}+k\dfrac{\pi}{5}\nem\dfrac{\pi}{2},m\in\mathbb{Z}\\\dfrac{\pi}{10}+k\dfrac{\pi}{5}\nem\dfrac{\pi}{3},m\in\mathbb{Z}\end{array}\right. \) \(\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} k\ne\dfrac{5m-1}{2} ,m\in\mathbb{Z}\\k\ne\dfrac{10m-3}{6} ,m\in\mathbb{Z}\end{array}\right. \) Vậy phương trình có nghiệm \(x=\dfrac{\pi}{10}+k\dfrac{\pi}{5} ,k\in\mathbb{Z}\) với \(k\ne\dfrac{5m-1}{2}\) và \(k\ne\dfrac{10m-3}{6}\)\(m\in\mathbb{Z}\). Chú ý: Một cách loại nghiệm khác như sau: Với k = 2 + 5m, m Z thì \(\begin{array}{l} nênk = 2 + 5m không thỏa mãn điều kiện xác định.
|
