Điểm không đồng phẳng trong hình học là gì? Các điểm không đồng phẳng: Một nhóm các điểm không nằm trong cùng một mặt phẳng là không đồng phẳng. Trong hình trên, các điểm P, Q, X và Y là không đồng phẳng. Phần trên cùng của hộp chứa Q, X và Y, và bên trái chứa P, Q và X, nhưng không có bề mặt phẳng nào chứa tất cả bốn điểm. Show
Ví dụ về điểm không đồng phẳng là gì? Các điểm P, Q và R nằm trong mặt phẳng A và điểm S nằm trên mặt phẳng B. Chúng không phải là đồng phẳng. 4 điểm không đồng phẳng là gì? Ta muốn chứng minh rằng có một mặt cầu tâm O duy nhất được xác định bởi bốn điểm này. 3 điểm có thể không phải là đồng phẳng không? Hai hoặc ba điểm bất kỳ luôn đồng phẳng vì một máy bay có thể chạy qua cả ba điểm. Một nhóm các điểm không nằm trong cùng một mặt phẳng thì không phải là điểm đồng phẳng. Các điểm nằm trên cùng một bề mặt phẳng với các điểm khác là đồng phẳng. Hai đường thẳng có thể nằm trên cùng một mặt phẳng, do đó nằm trên cùng một mặt phẳng. Điểm không đồng phẳng trong hình học là gì? - Câu hỏi liên quanBa điểm không thẳng hàng là gì?Các điểm B, E, C và F không nằm trên đường thẳng đó. Do đó, các điểm A, B, C, D, E, F được gọi là các điểm không thẳng hàng. Nếu ta nối ba điểm không thẳng hàng L, M và N nằm trên mặt phẳng của tờ giấy thì ta sẽ được một hình đóng giới hạn bởi ba đoạn thẳng LM, MN và NL. Định nghĩa của điểm không thẳng hàng là gì?: không thẳng hàng: a: không nằm hoặc tác dụng lên cùng một đường thẳng các lực không thẳng hàng. b: không tồn tại một đường thẳng trong các mặt phẳng phi tuyến chung. Bạn có thể nói gì về điểm đồng phẳng?Điểm đồng phẳng là ba hoặc nhiều điểm nằm trong cùng một mặt phẳng. Bất kỳ bộ ba điểm nào trong không gian đều là đồng phẳng. Một tập hợp bốn điểm có thể là đồng phẳng hoặc có thể không đồng phẳng. Các đường xiên có đồng phẳng không?Đường xiên là hai hoặc nhiều đường không cắt nhau, không song song và không đồng phẳng. (Hãy nhớ rằng các đường thẳng song song và các đường thẳng cắt nhau nằm trên cùng một mặt phẳng.) Vì các đường thẳng trên mỗi bề mặt nằm trong các mặt phẳng khác nhau nên các đường thẳng trong mỗi bề mặt sẽ không bao giờ gặp nhau, cũng như chúng sẽ không song song. Làm thế nào để bạn biết nếu đồng phẳng của nó?Nếu tích ba vô hướng của ba vectơ bất kỳ là 0, thì chúng được gọi là đồng phẳng. Các vectơ là đồng phẳng nếu ba vectơ bất kỳ phụ thuộc tuyến tính và nếu trong số chúng không quá hai vectơ là độc lập tuyến tính. 2 điểm có thể là đồng phẳng không?Điểm đồng phẳng: Một nhóm các điểm nằm trong cùng một mặt phẳng là đồng phẳng. Hai hoặc ba điểm bất kỳ luôn luôn đồng phẳng. Làm thế nào để bạn tìm thấy các đường đồng phẳng?Kiểm tra cả hai đường ở dạng tham số. Nếu các vectơ của chúng song song thì chúng chắc chắn là đồng phẳng. Nếu các vectơ của chúng không song song, hai đường thẳng đồng phẳng nếu và chỉ iff chúng cắt nhau; nếu không, chúng bị lệch. Chia eq thứ hai. Làm thế nào để bạn biết nếu ba điểm là đồng phẳng?Trong hình học, một tập hợp các điểm trong không gian là đồng phẳng nếu tồn tại một mặt phẳng hình học chứa tất cả chúng. Ví dụ, ba điểm luôn đồng phẳng và nếu các điểm phân biệt và không thẳng hàng, mặt phẳng mà chúng xác định là duy nhất. Làm thế nào để bạn biết nếu 4 điểm là đồng phẳng?Phương pháp tìm phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm. Sau đó, kiểm tra xem điểm thứ 4 có thỏa mãn phương trình thu được ở bước 1. Tức là, đưa giá trị của điểm thứ 4 vào phương trình thu được. Nếu nó thỏa mãn phương trình thì 4 điểm là đồng phẳng, ngược lại thì không. Một tia có 3 điểm được không?Tia có một thành phần định hướng vì vậy hãy cẩn thận với cách bạn đặt tên cho nó. Tia AB không cùng phương với tia BA. Một tia có 3 điểm được dán nhãn có thể được đặt tên theo nhiều cách khác nhau, như hình dưới đây. Chỉ cần đảm bảo bao gồm điểm cuối. 3 điểm thẳng hàng là gì?Ba hoặc nhiều điểm nằm trên cùng một đường thẳng là các điểm thẳng hàng. Ví dụ: Các điểm A, B, C nằm trên đường thẳng m. Chúng thẳng hàng. Công thức của điểm không thẳng hàng là gì?P (x1, y1, z1), Q (x2, y2, z2) và R (x3, y3, z3) là ba điểm không thẳng hàng trên một mặt phẳng. Do đó, phương trình của mặt phẳng với ba điểm không thẳng hàng P, Q, R là x + 3y + 4z − 9. Hình nào do 3 điểm thẳng hàng tạo thành?Hình tam giác là một hình được tạo thành bởi ba đoạn nối ba điểm phi tuyến tính. Mỗi điểm trong ba điểm nối các cạnh của tam giác là một đỉnh. Công thức của điểm thẳng hàng là gì?Sol: Nếu A, B và C là ba điểm thẳng hàng thì AB + BC = AC hoặc AB = AC - BC hoặc BC = AC - AB. Nếu diện tích tam giác bằng không thì các điểm được gọi là điểm thẳng hàng. 3 điểm Noncollinear có thể vẽ được bao nhiêu đường?Để vẽ bất kỳ đường thẳng nào, chúng ta chỉ cần hai điểm. Vì vậy, tổng số đường có thể có là 3. Do đó từ ba điểm phi tuyến tính, chúng ta có thể vẽ ba đường. Tại sao ba điểm thẳng hàng không xác định một mặt phẳng?Ba điểm không thẳng hàng xác định một mặt phẳng. Câu này có nghĩa là nếu bạn có ba điểm không nằm trên một đường thẳng thì chỉ có một mặt phẳng cụ thể có thể đi qua các điểm đó. Máy bay được xác định bởi ba điểm vì các điểm chỉ cho bạn chính xác vị trí của máy bay. Ví dụ thực tế về điểm đồng phẳng là gì?Một số ví dụ trong thế giới thực về đường đồng phẳng là gì? Các dòng trên một cuốn sổ là đồng phẳng với nhau. Vì chúng nằm trên cùng một trang nên chúng nằm trên cùng một mặt phẳng. Sự thật thú vị: không chỉ những đường thẳng này đồng phẳng, mà chúng còn song song với nhau. Tên của 4 điểm đồng phẳng là gì?Tên của bốn điểm đồng phẳng là gì? A. Các điểm P, M, F, C là đồng phẳng. Các đường có bị lệch không?Trong hình học ba chiều, đường xiên là hai đường thẳng không cắt nhau và không song song. Hai đường thẳng nằm trong cùng một mặt phẳng phải chéo nhau hoặc song song, do đó đường xiên chỉ có thể tồn tại trong ba chiều hoặc nhiều hơn. Hai đường thẳng lệch nhau nếu và chỉ khi chúng không đồng phẳng. Các ví dụ về đường xiên là gì?Đường xiên là đường thẳng ở dạng ba chiều không song song và không cắt nhau. Một ví dụ về các đường xiên là vỉa hè trước một ngôi nhà và một đường chạy ngang qua mép trên cùng của một bên ngôi nhà. Các đường thẳng không nằm trong cùng một mặt phẳng và không cắt nhau. Các điểm không nằm trên cùng một đường thẳng?Các điểm không nằm trên cùng một đường thẳng được gọi là các điểm không thẳng hàng. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai? Hình nào sau đây vẽ đúng quy tắc? Một hình chóp có đáy là ngũ giác có số mặt và số cạnh là : Trong các hình chóp, hình chóp có ít cạnh nhất có số cạnh là bao nhiêu? Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau? Cho 4 điểm không đồng phẳng $A,\,\,B,\,\,C,\,\,D.$ Gọi $I,\,\,K$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $BC.$ Giao tuyến của $\left( {IBC} \right)$ và $\left( {KAD} \right)$ là:
A. Phương pháp giải + Để chứng minh bốn điểm A; B; C; D đồng phẳng ta có thể chứng minh hai đường thẳng AB và CD song song hoặc cắt nhau + Để chứng minh 3 đường thẳng đồng quy ta chứng minh e đường thẳng đó là giao tuyến của ba mặt phẳng phân biệt hoặc tìm giao điểm của hai đường thẳng và chứng minh điểm đó thuộc đường thẳng còn lại. B. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi G và J lần lượt là trọng tâm tam giác BCD và tam giác ACD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và AC. Bốn điểm nào sau đây không đồng phẳng? A. G; J; A; B B. A; B; M; N C. G; J; M; N D. M; N; K; J Lời giải + Gọi K là trung điểm của CD. + Do G và J lần lượt là trọng tâm tam giác BCD và tam giác ACD. ⇒ KG/KB = KJ/KA = 1/3 ⇒ GJ // AB (định lí Ta-let đảo) (1) + Xét tam giác ABC có M và N lần lượt là trung điểm của BC và AC ⇒ MN là đường trung bình của tam giác AB ⇒ MN // AB (2) Từ (1) và (2) suy ra: GJ // AB // MN ⇒ Bốn điểm G; J; A; B đồng phẳng Bốn điểm G; J; M; N đồng phẳng Bốn điểm A; B; M; N đồng phẳng Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Gọi M, N, E, F lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB, SBC, SCD và SDA. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Tìm mệnh đề sai? A. Bốn điểm M, N, E, F đồng phẳng B. Ba đường thẳng ME; NF; SO đồng qui C. MN // EF D. Có đúng hai mệnh đề đúng Lời giải  Gọi M’; N’; E’; F’ lần lượt là trung điểm các cạnh AB; BC; CD và DA + Ta có SM/SM' = 2/3, SN/SN' = 2/3 ⇒ SM/SM' = SN/SN' ⇒ MN // M’N’ ( định lí Ta let đảo) (1) + Tương tự SE/SE' = SF/SF' ⇒ EF || E'F' (2) + Lại có Từ (1); (2) và (3) suy ra MN // EF Vậy bốn điểm M; N; E và F đồng phẳng. + Dễ thấy M’N’E’F’ cũng là hình bình hành và O = M'E' ∩ N'F' Xét ba mặt phẳng (M'SE'),(N'SF') và (MNEF) ta có : (M'SE') ∩ (N'SF') = SO (M'SE') ∩ (MNEF) = ME (N'SF') ∩ (MNEF) = NF ME ∩ NF = I. Do đó theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì ba đường thẳng ME; NF; SO đồng qui ⇒ A; B, C đúng ; D sai Chọn D Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD có M; N lần lượt thuộc AB; DB sao cho MN // AD. Gọi I là trung điểm BC. Gọi HK là giao tuyến của mp(CNM) và mp(AID). Tìm mệnh đề sai? A. HK // AD B. HK // MN C. K; H; N; M đồng phẳng D. A hoặc B sai Lời giải + Xét hai mp (CNM) và mp (AID) có: ⇒ HK // AD // MN (hệ quả) + Do HK // NM nên 4 điểm H; K; N; M đồng phẳng Chọn D Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD và 3 điểm P; Q và R lần lượt nằm trên ba cạnh AB; CD và BC. Biết PR cắt AC tại I. Xác định giao điểm S của mp(PQR) với cạnh AD. A. Là giao điểm của QI và AC B. Là giao điểm của QI và AD C. Là giao điểm của RI và AD D. Là giao điểm của PI và AD Lời giải + Xét giao tuyến của 3 mp(ABC); mp(ACD) và (PQR): (ABC) ∩ (ACD) = AC (ABC) ∩ (PQR) = PR (ACD) ∩ (PQR) = d, trong đó d đi qua Q. ⇒ Ba mp( ABC); mp( ACD) và mp(PQR) cắt nhau theo 3 giao tuyến là AC; PR và d. Lại có: PR ∩ AC = I ⇒ Ba đường thẳng AC; PR và d đồng quy tại I ⇒ Đường thẳng d là đường thẳng QI. + Khi đó; giao điểm của QI và AD chính là điểm S cần tìm. Chọn B Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M; N: P; Q, R; T lần lượt là trung điểm AC; BD, BC; CD; SA và SD. Bốn điểm nào sau đây đồng phẳng? A. M; P; R; T B. M; Q; T; R C. M; N; R; T D. P; Q; R; T Lời giải Chọn B + Ta có RT là đường trung bình của tam giác SAD nên RT // AD (1) + MQ là đường trung bình của tam giác ACD nên MQ // AD (2) Từ (1) và (2) suy ra: RT // MQ Do đó 4 điểm M; Q; T; R đồng phẳng Ví dụ 6: Cho tứ diện ABCD Gọi M; N: P; Q; R; S lần lượt là trung điểm của các cạnh AC; BD; AB; AD; BC; CD. Bốn điểm nào sau đây đồng phẳng? A. P; Q; R; S B. M; N; R; S C. M; N;P; Q D. M; P; R; S Lời giải Chọn A + Do PQ là đường trung bình của tam giác ABD nên PQ // BD + Tương tự, ta có RS // BD Vậy PQ // RS nên 4 điểm P; Q; R; S cùng nằm trên một mặt phẳng + Các bộ bốn điểm M; N; R; S hoăc M; N; P; Q hoặc M; P; R; S đều không đồng phẳng Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi. Gọi M; N; E; F lần lượt là trung điểm của các cạnh bên SA; SB; SC; SD. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Bốn điểm M; N; E; F đồng phẳng B. Bốn điểm M; N; E; F không đồng phẳng C. MN, EF chéo nhau. D. Cả A, B, C đều sai Lời giải Chọn A + Trong ( SAC); gọi I = ME ∩ SO + Xét tam giác SAC có ME là đường trung bình nên ME // AC. ⇒ MI // AO và M là trung điểm của SA ⇒ I là trung điểm của SO suy ra FI là đường trung bình của tam giác SOD. ⇒ FI // OD. (1) + Tương tự ta có NI // OB (2) Từ (1) và (2) suy ra: 3 điểm N; I; F thẳng hàng hay I ∈ NF Do ME ∩ NF = I nên ME và NF xác định một mặt phẳng Suy ra 4 điểm M; N; E, F đồng phẳng Ví dụ 8: Cho hình chóp A.BCD; gọi M, N lần lượt là trung điểm của BD, BC. Gọi G1, G2 lần lượt là trọng tâm tam giác ABD và ABC. Tìm mệnh đề đúng? A. MN và G1G2 chéo nhau B. G1 ,G2, M, N đồng phẳng C. G2M và G1N chéo nhau D. Tất cả sai Lời giải + Xét tam giác AMN ta có: (AG1)/AM = (AG2)/AN = 2/3 (tính chất trọng tâm tam giác) ⇒ MN // G1G2 Do đó; 4 điểm M,N, G1 , G2 đồng phẳng và 2 đường thẳng G2M, G1N sẽ cắt nhau. Chọn B Ví dụ 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi. Gọi M; N; E; F lần lượt là trung điểm của các cạnh bên SA; SB; SC; SD. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. ME; NF; SO đôi một song song (O là giao điểm của AC) B. ME; NF; SO không đồng quy (O là giao điểm của AC và BD) C. ME; NF; SO đồng quy (O là giao điểm của AC và BD) D. ME; NF; SO đôi một chéo nhau (O là giao điểm của AC và BD) Lời giải Chọn C. + Trong (SAC); gọi I = ME ∩ SO + Xét tam giác SAC có ME là đường trung bình nên ME // AC ⇒ MI // AO và M là trung điểm của SA ⇒ I là trung điểm của SO suy ra FI là đường trung bình của tam giác SOD. ⇒ FI // OD (1) + Tương tự ta có NI // OB (2) Từ (1) và (2) suy ra: 3 điểm N; I; F thẳng hàng hay I ∈ NF Vậy ME; NF; SO đồng quy C. Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB // CD ). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và SB; G là trọng tâm tam giác SCD. Bốn điểm nào sau đây đồng phẳng? A. G, C, S, B B. M, N, C, D C. G, C, A, B D. M, N, G, B. Câu 2: Cho tứ diện ABCD có M thuộc cạnh AB sao cho AM = 3MB; N thuộc AC sao cho AC = 4 NC; H thuộc AD sao cho HD = 3 AH. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của BD và CD. Bốn điểm nào sau đây đồng phẳng? A. M, N, H, A B. M, N, P, Q C. P, Q, N, H D. H, Q, M, N Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD. Một mặt phẳng (P) cắt các cạnh SA; SB; SC và SD lần lượt tại A’; B’; C’ và D’. Ba đường thẳng nào sau đây đồng qui? A. SO; A’C; C’D B. SO; AC’; B’D’ C. A’C’; B’D; CD’ D. SO; A’C’; B’D’ Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD; một mp (P) đi qua D và C cắt SA tại A’. Gọi giao điểm của A’C và SO là I; giao điểm của AC và BD là O. Tìm mệnh đề sai? A. Ba điểm A’; I và C thẳng hàng. B. Ba đường thẳng SO; A’C và B’D đồng quy. C. DI cắt SB. D. Có đúng hai mệnh đề đúng Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M ; N ; P ; Q ; R ; T lần lượt là trung điểm AC ; BD, BC, CD,SA, SD. Tìm mệnh đề sai? A. 4 điểm R, T, Q, M đồng phẳng B. RQ và TM cắt nhau C. PN // CD D. RM và TQ cắt nhau Câu 6: Cho tứ diện ABCD đều. Gọi M, AN, P, Q, H, K lần lượt là trung điểm của AB, AD, CD, BC, AC và BD. Ban đường thẳng nào sau đây đồng quy? A. MP, NQ, BN B. HK, MP, NC C. MP, NQ, HK D. HK, NQ, CM Câu 7: Cho tứ diện ABCD. Gọi M , N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của AB; CD; BC; DA; AC và BD. Hỏi ba đường thẳng nào sau đây đồng quy. A. MN, PQ, RS B. MN; PR; QS C. MP; NA; RS D. MR; NS; PQ Câu 8: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi M; M’ lần lượt là trung điểm của BC và B’C’; gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và A’B’C’. Bốn điểm nào sau đây đồng phẳng? A. A ; G ; G’, C’ B. A, G, M’, B’ C. A’, G’, M, C D. A, G’, M’, G |
