Với dạng toán viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng thì đường thẳng của chúng ta có thể cho trước, cũng có thể chúng ta cần phải đi tìm phương trình đường thẳng này. Với dạng toán này thông thường chúng ta phải đưa phương trình đường thẳng về dạng tham số và tọa độ hóa tâm của mặt cầu theo đường thẳng tham số đó. Dựa vào một vài điều kiện bài toán cho thêm, chúng ta sẽ tìm được tọa độ tâm, bán kính và phương trình của mặt cầu.
Phân tích:
Cụ thể: Gọi $I$ là tâm mặt cầu cần tìm. Vì $I\in d$ nên ta có tọa độ tâm $I$ là: $I(1+2t;2-3t;3-t)$ Vì mặt cầu đi qua hai điểm $A(1; 2; -2), B(0; 3; 4)$ nên ta có: $IA=IB$ $\Leftrightarrow \sqrt{(2t)^2+(3t)^2+(t-5)^2}=\sqrt{(1+2t)^2+(1+3t)^2+(1+t)^2}$ $\Leftrightarrow 22t=22$ $\Leftrightarrow t=1$ Với $t=1$ ta có tọa độ tâm $I$ là: $I(3;-1;2)$ và bán kính của mặt cầu là: $R=IA=IB=\sqrt{29}$ Vậy phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng $d$ và đi qua hai điểm A, B là: $(x-3)^2+(y+1)^2+(z-2)^2=29$ Tham khảo bài giảng:
Phân tích:
Phân tích:
Cụ thể: Phương trình tham số của đường thẳng $d$ là: $\left\{\begin{array}{ll}x=-2+t\\y=1-t\\z=2+2t\end{array}\right.$ Gọi tâm mặt cầu là $I$. Vì điểm $I$ thuộc đường thẳng $d$ nên tọa độ của $I$ là: $I(-2+t;1-t;2+2t)$ Khoảng cách từ tâm $I$ tới mặt phẳng $(P)$ là: $d_1=\frac{|-2+t+2(1-t)+2(2+2t)+3|}{3}=\frac{|3t+7|}{3}$. Khoảng cách từ tâm $I$ tới mặt phẳng $(Q)$ là: $d_2=\frac{|-2+t-2(1-t)-2(2+2t)+7|}{3}=\frac{|-t-1|}{3}$. Vì mặt cầu $(S)$ tiếp xúc với hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ nên ta có: $d_1=d_2$ $\Leftrightarrow |3t+7|=|-t-1|$ $\Leftrightarrow \left[\begin{array}{ll}t=-2\\t=-3\end{array}\right.$
Phân tích:
Đáp án: Có 2 phương trình mặt cầu $(S)$: $(x-\frac{21}{2})^2+y^2+(z-\frac{21}{2})^2=22$ $(x+\frac{23}{2})^2+y^2+(z+\frac{23}{2})^2=22$
Hướng dẫn:
Lời kếtNhư vậy với dạng toán lập phương trình mặt cầu biết tâm thuộc đường thẳng thì chúng ta cần chú ý tới việc biến đổi phương trình đường thẳng từ dạng chính tắc hay tổng quát sang dạng tham số. Cần nắm thêm các công thức khoảng cách, một số tính chất của đường tròn, mặt phẳng tiếp diện, điều kiện tiếp xúc…thì các bạn sẽ đơn giản hóa được mọi bài toán. Hãy để lại cảm nhận của bạn về bài giảng và nhớ subscriber để nhận bài giảng mới nhất.
SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ
+ I(a; 0; 0) thuộc trục Ox là tâm mặt cầu \(\Leftrightarrow IA=IB\Leftrightarrow IA^{2}=IB^{2}\) \(\Leftrightarrow a=2\Rightarrow I(2;0;0)\) \(\Leftrightarrow R^{2}=61\) \(\Rightarrow\) Phương trình mặt cầu: \((x-2)^{2}+y^{2}+z^{2}=61\) + Tọa độ giao điểm của (S) và Oz thỏa mãn: \(\left\{\begin{matrix} (x-2)^{2}+y^{2}+z^{2}=61\\\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! x=y=0 \end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow z=\pm \sqrt{57}\) \(\Rightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} M(0;0;\sqrt{57})\\M(0;0;-\sqrt{57}) \end{matrix}\)
Trong không giân với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;1;2), B(3;2;-3). Mặt cầu (S) có tâm I thuộc Ox và đi qua A, B có phương trình A. x 2 + y 2 + z 2 - 8 x + 2 = 0 B. x 2 + y 2 + z 2 + 8 x + 2 = 0 C. x 2 + y 2 + z 2 - 4 x + 2 = 0 D. x 2 + y 2 + z 2 - 8 x + 2 = 0 Các câu hỏi tương tự
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A (0; 8; 2), B (9; -7; 23) và mặt cầu (S) có phương trình (S): (x - 5)2 + ( y + 3 )2 + (z + 2)2 = 72. Mặt phẳng (P): x + by + cz + d = 0 đi qua điểm A và tiếp xúc với mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ B đến mặt phẳng (P) lớn nhất. Giá trị của b + c + d khi đó là: A. b + c + d = 2 B. b + c + d = 4 C. b + c + d = 3 D. b + c + d = 1
Trong không gian với hệ trục toạ độ (Oxyz), cho mặt cầu (S): (x-1)²+ (y-2)²+ (z-3)²=9, điểm A (0; 0; 2). Phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và cắt mặt cầu (S) theo thiết diện là hình tròn (C) có diện tích nhỏ nhất là: A. (P):x+2y+3z+6=0. B. (P):x+2y+z-2=0. C. (P):x-2y+z-6=0. D. (P):3x+2y+2z-4=0.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên đường thẳng d : x 1 = y - 1 1 = z - 2 1 và tiếp xúc với hai mặt phẳng (P): 2x - z - 4 = 0, (Q): x – 2y – 2 = 0 A . S : x - 1 2 + y - 2 2 + z - 3 2 = 5 B . S : x - 1 2 + y - 2 2 + z - 3 2 = 5 C . S : x + 1 2 + y + 2 2 + z + 3 2 = 5 D . S : x - 1 2 + y - 2 2 + z - 3 2 = 3
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A (0; 0; -2) và đường thẳng ∆ : x + 2 2 = y - 2 3 = z + 3 2 . Phương trình mặt cầu tâm A, cắt Δ tại hai điểm B và C sao cho BC = 8 là: A . S : x 2 + y 2 + z + 2 2 = 16 B . S : x 2 + y 2 + z + 2 2 = 25 C . S : x + 2 2 + y + 3 2 + z + 1 2 = 16 D . S : x + 2 2 + y 2 + z 2 = 25
Trong không gian Oxyz, cho điểm A ( 0 ; 1 ; 2 ) , mặt phẳng α : x - y + z - 4 = 0 và mặt cầu S : ( x - 3 ) 2 + ( y - 1 ) 2 + ( z - 2 ) 2 = 16 . Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A, vuông góc với α và đồng thời (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tọa độ giao điểm M của (P) và trục x'Ox là: 
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(3;-2;6),B(0;1;0) và mặt cầu (S): ( x - 1 ) 2 + ( y - 2 ) 2 + ( z - 3 ) 2 = 25 . Mặt phẳng (P): ax+by+cz-2=0 đi qua A và B và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính T=a+b+c A. T=3 B. T=5 C. T=2 D. T=4
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;0;-1) và mặt phẳng (P): x+ y -z -3 =0. Mặt cầu (S) có tâm I nằm trên mặt phẳng (P), đi qua điểm A và gốc tọa độ O sao cho chu vi tam giác OIA bằng 6 + 2 . Phương trình mặt cầu (S) là
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0;1;2), mặt phẳng (α): x-y+z-4=0 và mặt cầu (S): (x-3)²+ (y-1)²+ (z-2)²=16. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A, vuông góc với (α) và đồng thời (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tọa độ giao điểm M của (P) và trục x'Ox là: A . M - 1 2 ; 0 ; 0 B . M - 1 3 ; 0 ; 0 C . M 1 ; 0 ; 0 D . M 1 3 ; 0 ; 0
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình x²+y²+z²+2x-4y+6z-2=0. Tìm tọa độ tâm I và tính bán kính R của (S). A. Tâm I(-1;2;-3) và bán kính R=4 B. Tâm I(1;-2;3) và bán kính R=4 C. Tâm I(-1;2;3) và bán kính R=4 D. Tâm I(1;-2;3) và bán kính R=16. |
