Giải sách bài tập toán 9 tập 1 trang 8 năm 2024

Câu 21 trang 8 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Rút gọn các biểu thức:

1. \(\sqrt {4 - 2\sqrt 3 } - \sqrt 3 \);

2. \(\sqrt {11 + 6\sqrt 2 } - 3 + \sqrt 2 \);

3. \(\sqrt {9{x^2}} - 2x\) với x < 0 ;

4. \(x - 4 + \sqrt {16 - 8x + {x^2}} \) với x < 4.

Gợi ý làm bài

1. \(\eqalign{ & \sqrt {4 - 2\sqrt 3 } - \sqrt 3 \cr & = \sqrt {3 - 2\sqrt 3 + 1} - \sqrt 3 \cr} \)

\(\eqalign{ & = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}^2}} - \sqrt 3 \cr & = \left| {\sqrt 3 - 1} \right| - \sqrt 3 \cr & = \sqrt 3 - 1 - \sqrt 3 = - 1 \cr} \)

\(\eqalign{ & b)\,\sqrt {11 + 6\sqrt 2 } - 3 + \sqrt 2 \cr & = \sqrt {9 + 2.3\sqrt 2 + 2} - 3 + \sqrt 2 \cr} \)

\(\eqalign{ & = \sqrt {{{\left( {3 + \sqrt 2 } \right)}^2}} - 3 + \sqrt 2 \cr & = 3 + \sqrt 2 - 3 + \sqrt 2 = 2\sqrt 2 \cr} \)

\(\eqalign{ & c)\,\,\sqrt {9{x^2}} - 2x = \sqrt {{{\left( {3x} \right)}^2}} - 2x \cr & = \left| {3x} \right| - 2x = - 3x - 2x = - 5x \cr} \)

( với x < 0)

\(\eqalign{ & d)\,\,x - 4 + \sqrt {16 - 8x + {x^2}} \cr & = x - 4 + \sqrt {{{\left( {x - 4} \right)}^2}} \cr} \)

\(\eqalign{ & = x - 4 + \left| {x - 4} \right| \cr & = x - 4 + x - 4 = 2x - 8 \cr} \)

( với x > 4).

Câu 22 trang 8 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Với n là số tự nhiên, chứng minh đẳng thức:

\(\sqrt {{{(n + 1)}^2}} + \sqrt {{n^2}} = {(n + 1)^2} - {n^2}\)

Gợi ý làm bài

Ta có:

\(\eqalign{ & \sqrt {{{(n + 1)}^2}} + \sqrt {{n^2}} = \left| {n + 1} \right| + \left| n \right| \cr & = n + 1 + 1 = 2n + 1 \cr} \)

\(\eqalign{ & {(n + 1)^2} - {n^2} \cr & = {n^2} + 2n + 1 - {n^2} \cr & = 2n + 1 \cr} \)

Vế phải bằng vế trái nên đẳng thức được chứng minh.

Với n = 1, ta có:

\(\eqalign{ & \sqrt {{{(1 + 1)}^2}} + \sqrt {{1^2}} = {(1 + 1)^2} - {1^2} \cr & \Leftrightarrow \sqrt 4 + \sqrt 1 = 4 - 1 \cr} \)

Với n = 2, ta có:

\(\eqalign{ & \sqrt {{{(2 + 1)}^2}} + \sqrt {{2^2}} = {(2 + 1)^2} - {2^2} \cr & \Leftrightarrow \sqrt 9 + \sqrt 4 = 9 - 4 \cr} \)

Với n = 3, ta có:

\(\eqalign{ & \sqrt {{{(3 + 1)}^2}} + \sqrt {{3^2}} = {(3 + 1)^2} - {3^2} \cr & \Leftrightarrow \sqrt {16} + \sqrt 9 = 16 - 9 \cr} \)

Với n = 4, ta có:

\(\eqalign{ & \sqrt {{{(4 + 1)}^2}} + \sqrt {{4^2}} = {(4 + 1)^2} - {4^2} \cr & \Leftrightarrow \sqrt {25} + \sqrt {16} = 25 - 16 \cr} \)

Với n=5, ta có:

\(\eqalign{ & \sqrt {{{\left( {5 + 1} \right)}^2}} + \sqrt {{5^2}} = {\left( {5 + 1} \right)^2} - {5^2} \cr & \Leftrightarrow \sqrt {36} + \sqrt {25} = 36 - 25 \cr} \)

Với n=6, ta có:

\(\eqalign{ & \sqrt {{{\left( {6 + 1} \right)}^2}} + \sqrt {{6^2}} = {\left( {6 + 1} \right)^2} - {6^2} \cr & \Leftrightarrow \sqrt {49} + \sqrt {36} = 49 - 36 \cr} \)

Với n=7, ta có:

\(\eqalign{ & \sqrt {{{\left( {7 + 1} \right)}^2}} + \sqrt {{7^2}} = \left( {7 + 1} \right) - {7^2} \cr & \Leftrightarrow \sqrt {64} + \sqrt {49} = 64 - 49 \cr} \)

Câu 2.1 trang 8 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 9 Tập 1

Đẳng thức nào đúng nếu x là số âm:

(A) \(\sqrt {9{x^2}} = 9x\)

(B) \(\sqrt {9{x^2}} = 3x\)

(C) \(\sqrt {9{x^2}} = - 9x\)

(D) \(\sqrt {9{x^2}} = - 3x.\)

Hãy chọn đáp án đúng

Gợi ý làm bài

Chọn (D)

Giaibaitap.me

Câu 18 trang 8 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Phân tích thành nhân tử:

1. \({x^2} - 7\);

2. \({x^2} - 2\sqrt 2 x + 2\);

3. \({x^2} + 2\sqrt {13} x + 13\).

Gợi ý làm bài

1. Ta có:

\(\eqalign{ & {x^2} - 7 = {x^2} - {\left( {\sqrt 7 } \right)^2} \cr & = \left( {x + \sqrt 7 } \right)\left( {x - \sqrt 7 } \right) \cr} \)

2. Ta có:

\(\eqalign{ & {x^2} - 2\sqrt 2 x + 2 \cr & = {x^2} - 2.x.\sqrt 2 + {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} \cr & = {\left( {x - \sqrt 2 } \right)^2} \cr} \)

3. Ta có:

\(\eqalign{ & {x^2} + 2\sqrt {13} x + 13 \cr & = {x^2} + 2.x.\sqrt {13} + {\left( {\sqrt {13} } \right)^2} \cr & = {\left( {x + \sqrt {13} } \right)^2} \cr} \)

Câu 19 trang 8 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Rút gọn các phân thức:

1. \({{{x^2} - 5} \over {x + \sqrt 5 }}\) (với \(x \ne - \sqrt 5 \))

2. \({{{x^2} + 2\sqrt 2 x + 2} \over {{x^2} - 2}}\) (với \(x \ne \pm \sqrt 2 \) )

Gợi ý làm bài

1. \(\eqalign{ & {{{x^2} - 5} \over {x + \sqrt 5 }} = {{{x^2} - {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}} \over {x + \sqrt 5 }} \cr & = {{\left( {x - \sqrt 5 } \right)\left( {x + \sqrt 5 } \right)} \over {x + \sqrt 5 }} = x - \sqrt 5 \cr} \)

(với \(x \ne - \sqrt 5 \))

2. \(\eqalign{ & {{{x^2} + 2\sqrt 2 x + 2} \over {{x^2} - 2}} \cr & = {{{x^2} + 2.x.\sqrt 2 + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} \over {\left( {x + \sqrt 2 } \right)\left( {x - \sqrt 2 } \right)}} \cr & = {{x + \sqrt 2 } \over {x - \sqrt 2 }} \cr} \)

(với \(x \ne \pm \sqrt 2 \) )

Câu 20 trang 8 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

So sánh (không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi):

1. \(6 + 2\sqrt 2 \) và 9;

2. \(\sqrt 2 + \sqrt 3 \) và 3;

3. \(9 + 4\sqrt 5 \) và 16;

4. \(\sqrt {11} - \sqrt 3 \) và 2.

Gợi ý làm bài

1. \(6 + 2\sqrt 2 \) và 9

Ta có : 9 = 6 + 3

So sánh: \(2\sqrt 2 \) và 3 vì \(2\sqrt 2 \) > 0 và 3 > 0

Ta có: \({\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} = {2^2}{\left( {\sqrt 2 } \right)^2} = 4.2 = 8\)

\({3^2} = 9\)

Vì 8 < 9 nên \({\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} < {3^2} \Rightarrow 2\sqrt 2 < 3\)

Vậy \(6 + 2\sqrt 2 < 9.\)

2. \(\sqrt 2 + \sqrt 3 \) và 3

Ta có:

\(\eqalign{ & {\left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 } \right)^2} = 2 + 2.\sqrt 2 .\sqrt 3 + 3 \cr & = 5 + 2.\sqrt 2 .\sqrt 3 \cr} \)

\({3^2} = 9 = 5 + 4 = 5 + 2.2\)

So sánh: \(\sqrt 2 .\sqrt 3 \) và 2

Ta có:

\(\eqalign{ & {\left( {\sqrt 2 .\sqrt 3 } \right)^2} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^2}.{\left( {\sqrt 3 } \right)^2} \cr & = 2.3 = 6 \cr} \)

\({2^2} = 4\)

Vì 6 > 4 nên \({\left( {\sqrt 2 .\sqrt 3 } \right)^2} > {2^2}\)

Suy ra:

\(\eqalign{ & \sqrt 2 .\sqrt 3 > 2 \cr & \Rightarrow 2.\sqrt 2 .\sqrt 3 > 2.2 \cr & \Rightarrow 5 + 2.\sqrt 2 .\sqrt 3 > 4 + 5 \cr} \)

\(\eqalign{ & \Rightarrow 5 + 2\sqrt 2 .\sqrt 3 > 9 \cr & \Rightarrow {\left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 } \right)^2} > {3^2} \cr} \)

Vậy \(\sqrt 2 + \sqrt 3 > 3\)

3. \(9 + 4\sqrt 5 \) và 16

So sánh \(4\sqrt 5 \) và 5

Ta có: \(16 > 5 \Rightarrow \sqrt {16} > \sqrt 5 \Rightarrow 4 > \sqrt 5 \)

Vì \(\sqrt 5 > 0\) nên:

\(\eqalign{ & 4.\sqrt 5 > \sqrt 5 .\sqrt 5 \Rightarrow 4\sqrt 5 > 5 \cr & \Rightarrow 9 + 4\sqrt 5 > 5 + 9 \cr} \)

Vậy \(9 + 4\sqrt 5 > 16\).

4. \(\sqrt {11} - \sqrt 3 \) và 2

Vì \(\sqrt {11} > \sqrt 3 \) nên \(\sqrt {11} - \sqrt 3 > 0\)

Ta có:

\(\eqalign{ & {\left( {\sqrt {11} - \sqrt 3 } \right)^2} \cr & = 11 - 2.\sqrt {11} .\sqrt 3 + 3 \cr & = 14 - 2.\sqrt {11} .\sqrt 3 \cr} \)

So sánh 10 và \(2.\sqrt {11} .\sqrt 3 \) hay so sánh giữa 5 và \(\sqrt {11} .\sqrt 3 \)

Ta có: \({5^2} = 25\)

\(\eqalign{ & {\left( {\sqrt {11} .\sqrt 3 } \right)^2} = {\left( {\sqrt {11} } \right)^2}.{\left( {\sqrt 3 } \right)^2} \cr & = 11.3 = 33 \cr} \)

Vì 25 < 33 nên \({5^2} < {\left( {\sqrt {11} .\sqrt 3 } \right)^2}\)

Suy ra : \(5 < \sqrt {11} .\sqrt 3 \Rightarrow 10 < 2.\sqrt {11} .\sqrt 3 \)

Suy ra : \(\eqalign{ & 14 - 10 > 14 - 2.\sqrt {11} .\sqrt 3 \cr & \Rightarrow {\left( {\sqrt {11} .\sqrt 3 } \right)^2} < {2^2} \cr} \)

Vậy \(\sqrt {11} - \sqrt 3 < 2\)

Giaibaitap.me