\( {\left( {ac + bd} \right)^2} + {\left( {ad - bc} \right)^2} \)\(= {a^2}{c^2} + 2abcd + {b^2}{d^2} + {a^2}{d^2}\)\( - 2abcd + {b^2}{c^2}\)\(= {a^2}{c^2} + {b^2}{d^2} + {a^2}{d^2} + {b^2}{c^2} \)\(= {a^2}{c^2}+ {b^2}{c^2} + {a^2}{d^2} + {b^2}{d^2}\)\(= c^2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + {d^2}\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \)\( = \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) \) Đề bài Chứng minh rằng: \(a)\) \(\left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)\)\( + \left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right) = 2{a^3}\) \(b)\) \({a^3} + {b^3}=\left( {a + b} \right)\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + ab} \right]\); \(c)\) \(\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right)\)\( = {\left( {ac + bd} \right)^2} + {\left( {ad - bc} \right)^2}\) Phương pháp giải - Xem chi tiết +) Sử dụng hằng đẳng thức để biến đổi vế trái bằng vế phải hoặc ngược lại biến đổi vế phải bằng vế trái: \(A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)\) \(A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)\) \( (A+B)^2=A^2+2AB+B^2\) \( (A-B)^2=A^2-2AB+B^2\) Lời giải chi tiết \(a)\) Biến đổi vế trái: \( \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)\)\( + \left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right) \)\( = a{}^3 + {b^3} + {a^3} - {b^3} = 2{a^3} \) Vế trái bằng vế phải, đẳng thức được chứng minh. \(b)\) Biến đổi vế phải: \(\left( {a + b} \right)\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + ab} \right] \)\(= \left( {a + b} \right)\left[ {{a^2} - 2ab + {b^2} + ab} \right] \)\(= \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right) = {a^3} + {b^3} \) Vế phải bằng vế trái, vậy đẳng thức được chứng minh. \(c)\) Biến đổi vế phải: \( {\left( {ac + bd} \right)^2} + {\left( {ad - bc} \right)^2} \)\(= {a^2}{c^2} + 2abcd + {b^2}{d^2} + {a^2}{d^2}\)\( - 2abcd + {b^2}{c^2}\)\(= {a^2}{c^2} + {b^2}{d^2} + {a^2}{d^2} + {b^2}{c^2} \)\(= {a^2}{c^2}+ {b^2}{c^2} + {a^2}{d^2} + {b^2}{d^2}\)\(= c^2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + {d^2}\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \)\( = \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) \) Vế phải bằng vế trái, đẳng thức được chứng minh. Cách khác: Biến đổi vế trái: \((a^2+ b^2)(c^2+ d^2)\) \(= a^2c^2+ a^2d^2+ b^2c^2+ b^2d^2\) \(= (a^2c^2+ 2abcd + b^2d^2) + (a^2d^2 2abcd + b^2c^2)\) \(= [(ac)^2+ 2abcd + (bd)^2 ] + [(ad)^2 2abcd + (bc)^2]\) \(= (ac + bd)^2+ (ad bc)^2\) Vế trái bằng vế phải, đẳng thức được chứng minh.
|
