trong đó \(\cos \alpha=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\),\(\sin \alpha=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\) từ đó phương trình trở thành phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác. Đề bài Giải phương trình sau \(3\sin x-4\cos x=1\) Phương pháp giải - Xem chi tiết -Phương trình dạng \(a\sin x+b\cos x=c\) Biến đổi \(VT\) phương trình về dạng \(a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\alpha)\) trong đó \(\cos \alpha=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\),\(\sin \alpha=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\) từ đó phương trình trở thành phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác. -Nghĩa là ta chia hai vế phương trình cho \(\sqrt{a^2+b^2}\) -Sử dụng công thức \(\sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b\) để thu gọn phương trình -Phương trình \(\sin x=a\) Nếu \(|a|>1\) phương trình vô nghiệm Nếu\(|a|\le 1\) khi đó phương trình có nghiệm là \(x=\arcsin a+k2\pi,k \in \mathbb{Z}\) và\(x=\pi-\arcsin a+k2\pi,k \in \mathbb{Z}\). Lời giải chi tiết Ta có:\(3\sin x-4\cos x=1\) \(\Leftrightarrow \dfrac{3}{5}\sin x-\dfrac{4}{5}\cos x=\dfrac{1}{5}\) Đặt \(\cos\alpha=\dfrac{3}{5}\) và \(\sin\alpha =\dfrac{4}{5}\) ta được \(\cos \alpha\sin x-\sin \alpha\cos x=\dfrac{1}{5}\) \(\Leftrightarrow \sin (x-\alpha)=\dfrac{1}{5}\) \(\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l} x-\alpha = \arcsin\dfrac{1}{5}+k2\pi,k \in \mathbb{Z}\\x-\alpha=\pi-\arcsin\dfrac{1}{5}+k2\pi,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l} x=\alpha +\arcsin\dfrac{1}{5}+k2\pi,k \in \mathbb{Z}\\x=\alpha+\pi-\arcsin\dfrac{1}{5}+k2\pi,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \) Vậy phương trình có nghiệm là \(x=\alpha +\arcsin\dfrac{1}{5}+k2\pi,k \in \mathbb{Z}\) và \(x=\alpha+\pi-\arcsin\dfrac{1}{5}+k2\pi,k \in \mathbb{Z}\).
|
