- 1. VÀ ĐÀO TẠO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2011 Môn: TOÁN; Khối B (Đáp án - thang điểm gồm 04 trang) ĐÁP ÁN − THANG ĐIỂM Câu Đáp án Điểm 1. (1,0 điểm) Khi m = 1, ta có: y = x4 – 4x2 + 1. • Tập xác định: D = R. • Sự biến thiên: – Chiều biến thiên: y' = 4x3 – 8x; y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.± 0,25 Hàm số nghịch biến trên các khoảng (– ∞; – 2 ) và (0; 2 ); đồng biến trên các khoảng (– 2; 0) và ( 2; + ∞). – Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2;± yCT = – 3, đạt cực đại tại x = 0; yCĐ = 1. – Giới hạn: lim lim . x x y y → − ∞ → + ∞ = = + Trang 1/4 ∞ 0,25 – Bảng biến thiên: 0,25 • Đồ thị: 0,25 2. (1,0 điểm) y'(x) = 4x3 – 4(m + 1)x = 4x(x2 – m – 1); y'(x) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x2 = m + 1 (1). 0,25 Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị, khi và chỉ khi: (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0 ⇔ m > – 1 (*). 0,25 Khi đó: A(0; m), B( 1;m− + – m2 – m – 1) và C( 1;m + – m2 – m – 1). Suy ra: OA = BC ⇔ m2 = 4(m + 1) ⇔ m2 – 4m – 4 = 0 0,25 I (2,0 điểm) ⇔ m = 2 ± 2 2; thỏa mãn (*). Vậy, giá trị cần tìm: m = 2 –2 2 hoặc m = 2 + 2 2. 0,25 1. (1,0 điểm) Phương trình đã cho tương đương với: sinx(1 + cos2x) + sinxcosx = cos2x + sinx + cosx 0,25 ⇔ cos2x(sinx – 1) + cosx(sinx – 1) = 0 ⇔ (sinx – 1)(cos2x + cosx) = 0 0,25 • sinx = 1 ⇔ x = 2 π + k2π. 0,25 II (2,0 điểm) • cos2x = – cosx = cos(π – x) ⇔ x = 3 π + k 2 . 3 π Vậy, phương trình đã cho có nghiệm: x = 2 π + k2π; x = 3 π + k 2 3 π (k ∈ Z). 0,25 + ∞ – 3 – 3 1 x – ∞ – + ∞ 2 0 2 y' – 0 + 0 – 0 + y + ∞ x y –2 2 2− 2 –3 1 O
- 2. án Điểm 2. (1,0 điểm) Điều kiện: – 2 ≤ x ≤ 2 (*). Khi đó, phương trình đã cho tương đương: ( ) 2 3 2 2 2 4 4 10 3+ − − + − = −x x x x (1). 0,25 Đặt t = 2 + x – 2 2 − ,x (1) trở thành: 3t = t2 ⇔ t = 0 hoặc t = 3. 0,25 • t = 0, suy ra: 2 + x = 2 2 − x ⇔ 2 + x = 4(2 – x) ⇔ x = 6 , 5 thỏa mãn (*). 0,25 • t = 3, suy ra: 2 + x = 2 2 − x + 3, vô nghiệm (do 2 + x ≤ 2 và 2 2 − x + 3 ≥ 3 với mọi x ∈ [– 2; 2]). Vậy, phương trình đã cho có nghiệm: x = 6 . 5 0,25 3 2 0 1 sin d cos + = ∫ x x I x x π = 3 2 0 1 d cos x x π ∫ + 3 2 0 sin d . cos x x x x π ∫ 0,25 Ta có: 3 2 0 1 d cos x x π ∫ = ( ) 3 0 tan x π = 3. 0,25 và: 3 2 0 sin d cos x x x x π ∫ = 3 0 1 d cos x x π ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ = 3 0 cos x x π ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ – 3 0 d cos x x π ∫ = 2 3 π + 3 2 0 dsin sin 1 x x π −∫ = 2 3 π + 3 0 1 1 1 dsin 2 sin 1 sin 1 x x x π ⎛ ⎞ −⎜ ⎟ − +⎝ ⎠ ∫ 0,25 III (1,0 điểm) = 2 3 π + 3 0 1 sin 1 ln 2 sin 1 x x π ⎛ − ⎞ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ = 2 3 π + ln(2 3).− Vậy, I = 3 + 2 3 π + ln(2 3).− 0,25 Gọi O là giao điểm của AC và BD ⇒ A1O ⊥ (ABCD). Gọi E là trung điểm AD ⇒ OE ⊥ AD và A1E ⊥ AD ⇒ là góc giữa hai mặt phẳng (ADD1A EO 1A1) và (ABCD) ⇒ 1 60 .A EO = 0,25 ⇒ A1O = OE tan =1A EO 2 AB tan 1A EO = 3 . 2 a Diện tích đáy: SABCD = AB.AD = 2 3.a Thể tích: 1 1 1 1.VABCD A B C D = SABCD.A1O = 3 3 . 2 a 0,25 Ta có: BB 1C // A1D ⇒ B1B C // (A1BD) ⇒ d(BB 1, (A1BD)) = d(C, (A1BD)). Hạ CH ⊥ BD (H ∈ BD) ⇒ CH ⊥ (A1BD) ⇒ d(C, (A1BD)) = CH. 0,25 IV (1,0 điểm) A1 B1 C1 A C D H B E O D1 Suy ra: d(BB 1, (A1BD)) = CH = 2 2 .CD CB CD CB+ = 3 . 2 a 0,25 V (1,0 điểm) Với a, b dương, ta có: 2(a2 + b2 ) + ab = (a + b)(ab + 2) ⇔ 2(a2 + b2 ) + ab = a2 b + ab2 + 2(a + b) ⇔ 2 a b b a ⎛ +⎜ ⎝ ⎠ ⎞ ⎟ + 1 = (a + b) + 2 1 1 . a b ⎛ ⎞ +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 0,25
- 3. án Điểm (a + b) + 2 1 1 a b ⎛ ⎞ +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ≥ 2 1 1 2( )a b a b ⎛ ⎞ + +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = 2 2 2 a b b a ⎛ + +⎜ ⎝ ⎠ ⎞ ⎟ , suy ra: 2 a b b a ⎛ +⎜ ⎝ ⎠ ⎞ ⎟ + 1 ≥ 2 2 2 a b b a ⎛ ⎞ + +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⇒ a b b a + ≥ 5 . 2 0,25 Đặt t = a b b a + , t ≥ 5 2 , suy ra: P = 4(t3 – 3t) – 9(t2 – 2) = 4t3 – 9t2 – 12t + 18. Xét hàm f(t) = 4t3 – 9t2 – 12t + 18, với t ≥ 5 . 2 0,25 Ta có: '( )f t = 6(2t2 – 3t – 2) > 0, suy ra: 5 ; 2 min ( )f t ⎡ ⎞ +∞⎟⎢ ⎣ ⎠ = 5 2 f ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = – 23 . 4 Vậy, minP = – 23 ; 4 khi và chỉ khi: 5 2 a b b a + = và 1 1 2a b a b ⎛ ⎞ + = +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⇔ (a; b) = (2; 1) hoặc (a; b) = (1; 2). 0,25 1. (1,0 điểm) N ∈ d, M ∈ ∆ có tọa độ dạng: N(a; 2a – 2), M(b; b – 4). O, M, N cùng thuộc một đường thẳng, khi và chỉ khi: a(b – 4) = (2a – 2)b ⇔ b(2 – a) = 4a ⇔ b = 4 . 2 a a− 0,25 OM.ON = 8 ⇔ (5a2 – 8a + 4)2 = 4(a – 2)2 . 0,25 ⇔ (5a2 – 6a)(5a2 – 10a + 8) = 0 ⇔ 5a2 – 6a = 0 ⇔ a = 0 hoặc a = 6 . 5 0,25 Vậy, N(0; – 2) hoặc 6 2 ; 5 5 N ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . 0,25 2. (1,0 điểm) Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ: 2 1 1 2 3 0 1 x y z x y z − +⎧ = =⎪ − −⎨ ⎪ + + − =⎩ ⇒ I(1; 1; 1). 0,25 Gọi M(a; b; c), ta có: M ∈ (P), MI ⊥ ∆ và MI = 4 1 ⇔4 2 2 2 3 0 2 2 0 ( 1) ( 1) ( 1) 224 a b c a b c a b c ⎧ + + − = ⎪ − − + =⎨ ⎪ − + − + − =⎩ 0,25 ⇔ 2 2 2 2 1 3 4 ( 1) (2 2) ( 3 3) 224 b a c a a a a ⎧ = − ⎪ = − +⎨ ⎪ − + − + − + =⎩ 0,25 VI.a (2,0 điểm) O • ∆ d N M ⇔ (a; b; c) = (5; 9; – 11) hoặc (a; b; c) = (– 3; – 7; 13). Vậy, M(5; 9; – 11) hoặc M(– 3; – 7; 13). 0,25 VII.a Gọi z = a + bi với a, b ∈ R và a2 + b2 ≠ 0, ta có: 5 3 1 0 i z z + − − (1,0 điểm) = ⇔ a – bi – 5 i a bi + + 3 – 1 = 0 0,25
- 4. án Điểm ⇔ a2 + b2 – 5 – i 3 – a – bi = 0 ⇔ (a2 + b2 – a – 5) – (b + 3 )i = 0 0,25 ⇔ 2 2 5 0 3 0 a b a b ⎧ + − − =⎪ ⎨ + =⎪⎩ ⇔ 2 2 0 3 a a b ⎧ − − =⎪ ⎨ = −⎪⎩ 0,25 ⇔ (a; b) = (– 1; – 3 ) hoặc (a; b) = (2; – 3 ). Vậy z = – 1 – i 3 hoặc z = 2 – i 3. 0,25 1. (1,0 điểm) 5 ; 0 2 BD ⎛ = ⎜ ⎝ ⎠ ⎞ ⎟ ⇒ BD // EF ⇒ tam giác ABC cân tại A; ⇒ đường thẳng AD vuông góc với EF, có phương trình: x – 3 = 0. 0,25 F có tọa độ dạng F(t; 3), ta có: BF = BD ⇔ 2 21 2 2 2 4 t ⎛ ⎞ − + =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 5 ⇔ t = – 1 hoặc t = 2. 0,25 • t = – 1 ⇒ F(– 1; 3); suy ra đường thẳng BF có phương trình: 4x + 3y – 5 = 0. A là giao điểm của AD và BF ⇒ A 7 3; , 3 ⎛ −⎜ ⎝ ⎠ ⎞ ⎟ không thỏa mãn yêu cầu (A có tung độ dương). 0,25 • t = 2 ⇒ F(2; 3); suy ra phương trình BF: 4x – 3y + 1 = 0. ⇒ A 13 3; , 3 ⎛ ⎜ ⎝ ⎠ ⎞ ⎟ thỏa mãn yêu cầu. Vậy, có: A 13 3; . 3 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 0,25 2. (1,0 điểm) M ∈ ∆, suy ra tọa độ M có dạng: M(– 2 + t; 1 + 3t; – 5 – 2t). 0,25 ⇒ = (t; 3t; – 6 – 2t) và = (– 1; – 2; 1) ⇒AM AB ,AM AB⎡ ⎤ ⎣ ⎦ = (– t – 12; t + 6; t). 0,25 S∆MAB = 3 5 ⇔ (t + 12)2 + (t + 6)2 + t2 = 180 0,25 VI.b (2,0 điểm) ⇔ t2 + 12t = 0 ⇔ t = 0 hoặc t = – 12. Vậy, M(– 2; 1; – 5) hoặc M(– 14; – 35; 19). A B C EF D 0,25 1 + i 3 = 1 3 2 2 2 i ⎛ ⎞ +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = 2 cos sin 3 3 i π⎛ ⎞ +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ π và 1 + i = 2 cos sin ; 4 4 i π π⎛ ⎞ +⎜ ⎝ ⎠ ⎟ 0,25 VII.b (1,0 điểm) suy ra: z = ( )8 cos sin 3 3 2 2 cos sin 4 4 i i π π π π + ⎛ ⎞ +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 0,25 = 2 2 cos sin 4 4 i π π⎛ ⎞ +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 0,25 = 2 + 2i. Vậy số phức z có: Phần thực là 2 và phần ảo là 2. 0,25 - Hết -
|
