- Như chúng ta đã biết, bất đẳng thức Cauchy-Schwarz có dạng như sau: Với hai dãy số thực [tex](a_{1}, a_{2}, ..., a_{m})[/tex] và [tex](b_{1}, b_{2}, ..., b_{m})[/tex] ta luôn có bất đẳng thức sau: [tex](a_{1}^2+a_{2}^2+...+ a_{m}^2)(b_{1}^2+b_{2}^2+...+b_{m}^2) \geq (a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{m}b_{m})^2[/tex] Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi [tex]\frac{a_{1}}{b_{1}}= \frac{a_{2}}{b_{2}}=...= \frac{a_{m}}{b_{m}}[/tex] - Nó cũng có một số hệ quả: 1, Show Bất đẳng thức Schwarz : Với hai dãy số thực [tex](a_{1}, a_{2}, ..., a_{m})[/tex] và [tex](b_{1}, b_{2}, ..., b_{m})[/tex] sao cho [tex]b_{i} \geq 0[/tex] ta luôn có bất đẳng thức: [tex]\frac{a_{1}^2}{b_{1}}+ \frac{a_{2}^2}{b_{2}}+...+ \frac{a_{m}^2}{b_{m}} \geq \frac{(a_{1}+a_{2}+...+a_{m})^2}{b_{1}+b_{2}+...+b_{m}[/tex] 2, Bất đẳng thức Minkovsky : Với 2 dãy số thực [tex]\Large (a_{1}, a_{2}, ..., a_{m})[/tex] và [tex]\Large (b_{1}, b_{2}, ..., b_{m})[/tex] ta có: [tex]\Large \sum\limits_{i=1}{m} \sqrt{a_{i}^2+b_{i}^2} \geq \sqrt{(\sum\limits_{i=1}{m} a_{i})2+(\sum\limits_{i=1}{m} b_{i})^2}[/tex] 3, Với mọi dãy số thực [tex]\Large (a_{1}, a_{2}, ..., a_{m})[/tex] ta có: [tex]\Large (a_{1}^2+a_{2}^2+...+a_{m})^2 \leq n(a_{1}^2+a_{2}^2+...+a_{m}^2)[/tex] - Đây là một bất đẳng thức rất thông dụng với các bạn THCS và hay được dùng trong các kì thi. Sau đây là một số bài tập ứng dụng: 1)Cho [tex]|x|<1[/tex] và [tex]|y|<1[/tex]. CMR: [tex]\frac{1}{1-x^2}+ \frac{1}{1-y^2} \geq \frac{2}{1-xy}[/tex] 2)CM bất đẳng thức sau với [tex]x[/tex] là số thực không âm: [tex]\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{x+1}}+ \sqrt{x} \leq \sqrt{x+9}[/tex]
Chủ đề Bất đẳng thức cauchy-schwarz lớp 9: Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz là một công cụ hữu ích để giải quyết các bài toán toán học lớp 9. Với dạng bất đẳng thức này, học sinh sẽ có cách tiếp cận và tư duy mới hơn trong việc giải các bài tập. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz không chỉ xuất hiện trong đề thi, mà còn ứng dụng rộng rãi trong các bài toán thực tế. Sử dụng bất đẳng thức này, học sinh có thể tăng cường sự hiểu biết và khám phá thêm nhiều khía cạnh mới của toán học. Mục lục Cách áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong bài toán thực tế lớp 9 là gì?Cách áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong các bài toán thực tế lớp 9 như sau: Bước 1: Xác định được hai dãy số thực (a_{1}, a_{2}, ..., a_{m}) và (b_{1}, b_{2}, ..., b_{m}), trong đó m là số lượng phần tử của mỗi dãy. Bước 2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, có dạng như sau: (a_{1}^2 + a_{2}^2 + ... + a_{m}^2)(b_{1}^2 + b_{2}^2 + ... + b_{m}^2) ≥ (a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + ... + a_{m}b_{m})^2 Bước 3: Sử dụng bất đẳng thức này để giải quyết các bài toán thực tế. Ví dụ 1: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 10. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2a + 5b + 10c. Giải: Ta có thể áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz như sau: (2^2 + 5^2 + 10^2)(a^2 + b^2 + c^2) ≥ (2a + 5b + 10c)^2 Từ giả thiết a + b + c = 10, ta có a^2 + b^2 + c^2 ≥ (a + b + c)^2/3 = 100/3. Lúc này, biểu thức P^2 ≥ (2a + 5b + 10c)^2 ≥ 100/3. Vì giá trị nhỏ nhất của P^2 chính là giá trị 100/3 (khi đạt được điều kiện bằng trong bất đẳng thức Cauchy-Schwarz), nên giá trị nhỏ nhất của P là căn bậc hai của 100/3. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz có dạng như thế nào?Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz có dạng như sau: Với hai dãy số thực (a_{1}, a_{2}, ..., a_{m}) và (b_{1}, b_{2}, ..., b_{m}) thì ta có: (a_{1}^2 + a_{2}^2 + ... + a_{m}^2)(b_{1}^2 + b_{2}^2 + ... + b_{m}^2) >= (a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + ... + a_{m}b_{m})^2. Trong đó, a_{1}, a_{2}, ..., a_{m}, b_{1}, b_{2}, ..., b_{m} là các số thực bất kỳ. Bất đẳng thức này còn có thể viết dưới dạng: (a_{1}/b_{1} + a_{2}/b_{2} + ... + a_{m}/b_{m})^2 >= (a_{1}^2 + a_{2}^2 + ... + a_{m}^2) / (b_{1}^2 + b_{2}^2 + ... + b_{m}^2). Đây là một trong những bất đẳng thức quan trọng và được sử dụng rộng rãi trong toán học. Đối tượng nào được áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong lớp 9?Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz là một công thức toán học được sử dụng trong lớp 9 để giải quyết các bài toán liên quan đến dãy số thực. Đối tượng được áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong lớp 9 là dãy số thực gồm hai hoặc nhiều phần tử. Đây là một công thức quan trọng trong học toán, giúp chúng ta chứng minh được nhiều tính chất và tương quan giữa các dãy số thực. Khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, chúng ta cần xác định các điều kiện và giải thích logic để áp dụng công thức này vào việc giải quyết các bài toán cụ thể trong lớp 9.  XEM THÊM:
Toán 9 & 10: Bất đẳng thức Cauchy Schwarz dạng Angel và đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh BRVT 2021Xem video này để hiểu rõ hơn về bất đẳng thức này và cách áp dụng nó vào giải toán. Chắc chắn bạn sẽ học được nhiều điều mới và hữu ích. |
