Đề bài Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) kẻ tiếp tuyến MA và cát tuyến MCB tới đường tròn (C nằm giữa M và B). Phân giác của góc \(\widehat {BAC}\) cắt BC tại D và cắt đường tròn (O) tại N. Chứng minh: a) MA = MD b) \(M{A^2} = MC.MB\) c) \(N{B^2} = NA.ND\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Chứng minh \(\widehat {ADC}\)và \(\widehat {MAN}\) cùng bằng \(\dfrac{1}{2}sd\,cung\,AN\). Từ đó suy ra tam giác MAD cân tại M. b) Chứng minh tam giác MAC và tam giác MBA đồng dạng. c) Chứng minh tam giác NBA và tam giác NDB đồng dạng. Lời giải chi tiết
 a) Ta có \(\widehat {ADC}\) là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn \( \Rightarrow \widehat {ADC} = \dfrac{{sd\,cung\,AC + sd\,cung\,BN}}{2}\). Mà \(\widehat {BAN} = \widehat {CAN}\)(AN là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\)) \( \Rightarrow sd\widehat {BN} = sd\,cung\,CN\) (hai góc nội tiếp bằng nhau chắn 2 cung bằng nhau). \( \Rightarrow \widehat {ADC} = \dfrac{{sd\,cung\,AC + sd\,cung\,CN}}{2}\)\(\; = \dfrac{1}{2}sd\,cung\,AN\). Lại có \(\widehat {MAN} = \dfrac{1}{2}sd\,cung\,AN\) (số đo góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo cung bị chắn), \( \Rightarrow \widehat {ADC} = \widehat {MAN} \Rightarrow \Delta MAD\) cân tại M \( \Rightarrow MA = MD\). b) Xét tam giác MAC và tam giác MBA có: \(\widehat M\) chung; \(\widehat {MAC} = \widehat {MBA}\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AC) \( \Rightarrow \Delta MAC\) đồng dạng \(\Delta MBA\) (g.g) \( \Rightarrow \dfrac{{MA}}{{MB}} = \dfrac{{MC}}{{MA}} \) \(\Rightarrow M{A^2} = MB.MC\). cc) Xét tam giác NBA và tam giác NDB có: +) \(\widehat N\) chung; +) \(sd\widehat {BN} = sd\,cung\,CN\) \( \Rightarrow \widehat {NAB} = \widehat {NBD}\) (trong 1 đường tròn, hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau thì bằng nhau); \( \Rightarrow \Delta NBA \sim \Delta NDB\,\,\left( {g.g} \right)\) \( \Rightarrow \dfrac{{NB}}{{ND}} = \dfrac{{NA}}{{NB}}\) \( \Rightarrow N{B^2} = NA.ND\). Loigiaihay.com
Nhằm củng cố, mở rộng, bổ sung thêm kiến thức cho các em học sinh, Hoc360.net sưu tầm gửi tới các em học sinh tham khảo Chuyên đề: Bài toán về tiếp tuyến, cát tuyến – Chuyên đề Toán 9. Chúc các em học tốt! Chuyên đề: Bài toán về tiếp tuyến, cát tuyếnChuyên đề Toán 9Tài liệu này bao gồm các bước hướng dẫn cụ thể và các ví dụ chi tiết về chuyên đề: Bài toán về tiếp tuyến, cát tuyến . Những tính chất cần nhớ: 1). Nếu hai đường thẳng chứa các dây AB, CD, KCD của một đường tròn cắt nhau tại M thì MA.MB = MC.MD 2). Đảo lại nếu hai đường thẳng AB,CD cắt nhau tại M và MA.MB = MC.MD thì bốn điểm A, B, C, D thuộc một đường tròn. … Mời các em tham khảo bản đầy đủ dưới đây:
Tải về tài liệu TẠI ĐÂY Xem thêm: Chuyên đề: Những định lý hình học nổi tiếng – Chuyên đề Toán lớp 9 tại đây. Related
PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9CHÙM BÀI TOÁN VỀ TIẾP TUYẾN, CÁT TUYẾNNhững tính chất cần nhớ:1). Nếu hai đường thẳng chứa các dây AB,CD,KCD của một đườngtròn cắt nhau tại M thì MA.MB = MC.MD2). Đảo lại nếu hai đường thẳng AB,CD cắt nhau tại M vàMA.MB = MC.MD thì bốn điểm A ,B,C,D thuộc một đường tròn.3). Nếu MC là tiếp tuyến và MAB là cát tuyến thìMC 2 = MA.MB = MO 2 − R 24). Từ điểm K nằm ngoài đường tròn ta kẻ các tiếp tuyến KA ,KBcát tuyến KCD,H , là trung điểm CD thì năm điểm K ,A ,H ,O,Bnằm trên một đường tròn.85PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 95). Từ điểm K nằm ngoài đường tròn ta kẻ các tiếp tuyến KA ,KBcát tuyến KCD thìAC BC=AD BDAC KC··= ADK⇒ ∆KAC#∆KAD ⇔=Ta có: KACAD KATương tự ta cũng có:BC KCAC BC==mà KA = KB nên suy raBD KBAD BDChú ý: Những tứ giác quen thuộc A CBD như trên thì ta luôn có:AC BCCA DA==vàAD BDCB DBNHỮNG BÀI TOÁN TIÊU BIỂU86PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9Bài 1: Từ điểm K nằm ngoài đường tròn ta kẻ các tiếp tuyếnKA ,KB cát tuyến KCD đến (O) . Gọi M là giao điểm OK và AB . Vẽdây DI qua M . Chứng minha) KIOD là tứ giác nội tiếpb) KO là phân giác của góc IKDGiải:a) Để chứng minh KIOD là tứ giác nội tiếp việc chỉ ra các góclà rất khó khăn.Ta phải dựa vào các tính chất của cát tuyến , tiếp tuyến.Ta có: AIBD là tứ giác nội tiếp và A B ∩ ID = M nên ta có:MA.MB = MI.MDMặt khác KA OB là tứ giác nội tiếp nên MA.MB = MO.MKTừ đó suy ra MO.MK = MI.MD hay KIOD là tứ giác nội tiếp.a) Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác KIOD . Ta có··IO = OD = R ⇒ OKI= OKDsuy ra KO là phân giác của góc IKD87PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9Bài 2: Từ điểm K nằm ngoài đường tròn ta (O) kẻ các tiếp tuyếnKA ,KB cát tuyến KCD đến (O) . Gọi M là giao điểm OK và AB .Chứng minha) CMOD là tứ giác nội tiếpb) Đường thẳng AB chứa phân giác của góc CMDGiải:a) Vì KB là tiếp tuyến nên ta có: KB2 = KC.KD = KO 2 − R 2Mặt khác tam giác KOB vuông tại B và BM ⊥ KO nên KB2 = KM.KOsuy raKC.KD = KM.KO hay CMOD là tứ giác nội tiếp····.= ODC,OMD= OCDb) CMOD là tứ giác nội tiếp nên KMC····Mặt khác ta có: ODC= OCD⇒ KMC= OMDTrường hợp 1:Tia KD thuộc nửa mặt phẳng chứa A và bờ là KO (h1)····Hai góc AMC,AMDcó 2 góc phụ với nó tương ứng là KMC,ODC····mà KMCnên AMChay MA là tia phân giác của góc= ODC= AMD·CMDTrường hợp 2:88PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9Tia KD thuộc nửa mặt phẳng chứa B và bờ là KO (h2) thì tương·tự ta cũng có MB là tia phân giác của góc CMD·Suy ra Đường thẳng AB chứa phân giác của góc CMD.Bài 3. Từ điểm K nằm ngoài đường tròn ta (O) kẻ các tiếp tuyếnKA ,KB cát tuyến KCD đến (O) . Gọi H là trung điểm CD . Vẽ dâyAF đi qua H . Chứng minh BF / /CDGiải:·· FBĐể chứng minh BF / /CD ta chứng minh AHK=A1··= AOBTa có AFB( Tính chất góc nội tiếp chắn cung AB ).2·Mặt khác KO là phân giác góc AOBnên1·····AOK= BOK= AOB⇒ AFB= AOK. Vì A ,K ,B,O,H cùng nằm trên2····đường tròn đường kính KO nên AHK= AOK⇒ AFB= AHK⇔ BF / /CDBài 4. Từ điểm K nằm ngoài đường tròn ta (O) kẻ các tiếp tuyếnKA ,KB cát tuyến KCD đến (O) . Gọi H là trung điểm CD . Đườngthẳng qua H song song với BD cắt AB tại I . Chứng minh CI ⊥ OBGiải:89PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9····Ta có HI / /BD ⇒ CHI. Mặt khác CABcùng chắn cung= CDB= CDB··CB nên suy ra CHIhay AHIC là tứ giác nội tiếp. Do đó= CAB····. Mặt khác ta có A ,K ,B,O,H cùng nằm trênIAH= ICH⇔ BAH= ICH··đường tròn đường kính KO nên BAH= BKH··Từ đó suy ra ICH= BKH⇒ CI / /KB . Mà KB ⊥ OB ⇒ CI ⊥ OBNhận xét: Mấu chốt bài toán nằm ở vấn đề OB ⊥ KB .Thay vìchứng minh CI ⊥ OB ta chứng minh CI / /KBBài 5: Cho đường tròn (O) dây cung ADI . Gọi I là điểm đối xứngvới A qua D . Kẻ tiếp tuyến IB với đường tròn (O) . Tiếp tuyến củađường tròn (O) tại A cắt IB ở K . Gọi C là giao điểm thứ hai củaKD với đường tròn (O) . Chứng minh rằng BC / /AI .Giải:90PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9··Ta cần chứng minh: AIK= KBC1 »··= CAB= sđ CBMặt khác ta có: KBCnên ta sẽ chứng minh2··hay ⇔ ∆BID : ∆BCA Thật vậy theo tính chất 5 ta có:AIK= CABCB DBCB DB==mà DA = DI ⇒CA DACA DI····Tứ giác A CBD nội tiếp nên BCA= BDI⇒ ∆BID : ∆BCA ⇒ AIK= CAB· IK = KBC·Hay A⇒ BC / /AIBài 6 Từ điểm K nằm ngoài đường tròn ta (O) kẻ các tiếp tuyếnKA ,KB cát tuyến KCD đến (O) . Gọi M là giao điểm OK và AB .Vẽ dây CF qua M . Chứng minh DF / /ABGiải:Kẻ OH ⊥ CD91PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9Ta chứng minh được: CMOD là tứ giác nội tiếp (bài toán 2) nên¶ =D¶ mà M¶ +M· = 900;D¶ + DOH·· = DOH·. Mặt khác taM= 900 ⇒ M1112121·1·····= COD,DOH= COD⇒ CFD= DOHcó: CFD. Từ đó suy ra22· = CFD·M⇔ DF / /AB2Chú ý: DF / /AB ⇒ ABFD là hình thang cân có hai đáy là··AB,DF ⇒ OMD= OMFBài 7: Từ điểm K nằm ngoài đường tròn ta (O) kẻ các tiếp tuyếnKA ,KB cát tuyến KCD đến (O) . Gọi M là giao điểm OK và AB . KẻOH vuông góc với CD cắt AB ở E . Chứng minha) CMOE là tứ giác nội tiếpb) CE,DE là tiếp tuyến của đường tròn (O)Giải:a) Theo bài toán 2, ta có CMOD···là tứ giác nội tiếp nên CMK.= ODC= OCDDo đó các góc phụ với chúng··bằng nhau: CME.= COESuy ra CMOE là tứ giác nội tiếp (theo cung chứa góc).c) Cũng theo bài toán 2, CMOD nội tiếp.Mặt khác CMOE là tứ giác nội tiếp nên E,C,M ,O,D thuộc mộtđường tròn.Từ đó dễ chứng minh CE,DE là tiếp tuyến của đường tròn (O)Bài 8) Từ điểm K nằm ngoài đường tròn ta (O) kẻ các tiếp tuyếnKA ,KB cát tuyến KCD đến (O) . Vẽ đường kính AI . Các dây IC,ID92PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9cắt KO theo thứ tự ở G,N . Chứng minh rằng OG = ON .Giải:Ta vẽ trong hình trường hợp O và A nằm khác phía đối với CD .Các trường hợp khác chứng minh tương tự.Để chứng minh OG = ON , ta sẽ chứng minh ∆IOG = ∆AON .····Ta đã có OI = OA ,IOG, cần chứng minh CIA, muốn vậy= AON= IAN··phải có AN / /CI . Ta sẽ chứng minh AND. Chú ý đến AI là= CID·đường kính, ta có ADI= 900 , do đó ta kẻ AM ⊥ OK Ta có AMND là··tứ giác nội tiếp, suy ra AND(1)= AMDSử dụng bài 2, ta có CMOD là tứ giác nội tiếp và1·1··AMD= CMD= COD221··= COD(2). Từ (1) và (2) suy ra AND. Ta lại21·1···= COD= CIDcó CIDnên AND.22HS tự giải tiếp.Bài 9 Từ điểm K nằm ngoài đường tròn ta (O) kẻ các tiếp tuyếnKA ,KB cát tuyến KCD đến (O) . Gọi M là trung điểm của AB .··Chứng minh rằng ADC.= MDBGiải:93PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9Kẻ OH ⊥ CD , cắt AB ở E .Theo bài 7 , EC là tiếp tuyến của đường tròn ( O ) , nên theo bàitoán quen thuộc 3, ta có ECMD là tứ giác nội tiếp, suy ra··(2).EBD= ECD··Từ (1) và (2) suy ra CBD.= EMD··Do đó hai góc bù với nhau chúng bằng nhau: CAD= BMD⇒··∆CA D : ∆BMD (g.g) nên ADC= MDB94 |
