Hay nhất
Chọn A Giả sử điểm biểu diễn số phức \(z=x+yi{\rm \; }\left(x,y\in {\rm R}\right)\)là \(M\left(x;y\right).\) Ta có \(\left|z-4-3i\right|=\sqrt{5} \Leftrightarrow \left(x-4\right)^{2} +\left(y-3\right)^{2} =5.\) Tập hợp các điểm \(M\left(x;y\right)\) là đường tròn \(\left(C\right)\) có tâm \(I\left(4;3\right)\) và bán kính \(R=\sqrt{5} .\) Gọi \(A\left(-1;3\right){\rm \; },{\rm \; }B\left(1;-1\right)\)suy ra trung điểm của ABlà \(K\left(0;1\right).\) Ta có \(\overrightarrow{AB}=\left(2;-4\right);{\rm \; }\overrightarrow{KI}=\left(4;2\right){\rm \; }\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{KI}=0\Rightarrow AB\bot IK.\) Suy ra IKlà đường trung trực của đoạn thẳng AB. Mặt khác \(T=\left|z+1-3i\right|+\left|z-1+i\right|\) \(=MA+MB\le \sqrt{2} \sqrt{MA^{2} +MB^{2} }\) \( \Leftrightarrow T\le \sqrt{2} .\sqrt{2MK^{2} +\frac{AB^{2} }{2} }\) Mà \(MK\le KI+R=3\sqrt{5}\). Do đó \(T\le \sqrt{2} .\sqrt{2\left(3\sqrt{5} \right)^{2} +\frac{\left(2\sqrt{5} \right)^{2} }{2} } =10\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {\left(x-4\right)^{2} +\left(y-3\right)^{2} =5} \\ {\left(x+1\right)^{2} +\left(y-3\right)^{2} =50} \end{array}\right. .\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {x=6} \\ {\left[\begin{array}{l} {y=4\left(t/m{\rm \; }do{\rm \; }MK\bot AB\right)} \\ {y=2\left(L\right)} \end{array}\right. } \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {x=6} \\ {y=4} \end{array}\right. .\)
Vậy \(P=a+b=10.\)
Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017 Trang 1 S ưu t ầm và biên so ạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454 Câu 1. (Đề khảo sát của Bộ dành cho 50 trường) Xét số phức z thỏa 13 z i . Tìm giá trị nhỏ nhất T của 9 5 z i . A. 2 13 T . B. 3 13 T . C. 13 T . D. 4 13 T . Hướng dẫn giải. Chọn A. Đặt z x yi (với , x y ). Khi đó 13 z i 2 2 1 13 x y . Cách 1. Đại số. Chọn 13 sin 13 cos 1 x t y t . Ta có 2 2 2 2 2 9 5 9 5 13 sin 9 13 cos 6 P z i x y t t 2 2 13 sin cos 18 13 sin 12 13 cos 117 130 6 13 3sin 2cos t t t t t t 130 78sin 52 208 t P , với 3 sin 13 2 cos 13 . Vậy 2 13 T . Cách 2. Hình học. Đặt 9 5 9 5 w z i w z i 2 2 2 9 5 w x y suy ra tập hợp các số phức w nằm trên đường tròn 1 C có tâm là 9;5 A , bán kính 1 R . Mà 13 z i 2 2 1 13 x y suy ra tập hợp các số phức w nằm trên đường tròn 2 C có tâm là 0; 1 B , bán kính 2 13 R . Gọi C là điểm thuộc đường tròn 1 C , suy AC w , mà C thuộc 2 C , suy ra 2 2 AB R AC AB R , ta có 9; 6 117 3 13 AB AB suy ra 2 13 4 13 AC . Vậy 2 13 T . Câu 2. Có bao nhiêu giá trị thực của m để phương trình 2 2 4 4 1 3 0 z m z m m có hai nghiệm phức thỏa 1 2 2 z z . A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 4 . Hướng dẫn giải. Chọn C. Cách 1: ' 4 4 m . Trường hợp 1: ' 0 1 m . Khi đó phương trình 2 2 4 4 1 3 0 z m z m m có hai nghiệm là 1 z a bi , 2 z a bi với , a b . Ta có 2 2 1 2 2 1 z z a b 1 . Theo định lí Vi-ét ta có 2 1 2 3 4 m m z z 2 , từ 1 và 2 suy ra 1 4 m m . Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017 Trang 2 S ưu t ầm và biên so ạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454 Suy ra m 3 . Trường hợp 2: ' 0 1 m phương trình đã cho có hai nghiệm 1 2 1 z z , suy ra 1 2 2 z z . Suy ra 1 m thỏa 4 . Trường hợp 3: ' 0 1 m . Khi đó phương trình có hai nghiệm thực 1 2 , z z thảo hệ thức Vi-ét 1 2 2 1 2 1 3 4 z z m m m z z . Theo đề ta có 1 2 2 z z 2 2 1 2 1 2 2 4 z z z z 2 1 2 1 2 1 2 2 2 4 z z z z z z 2 2 2 3 3 1 4 2 2 m m m m m 2 2 2 1 4 3 0 3 3 3 0 m khi m m m m khi m m 5 . Vậy từ 3 , 4 , 5 suy ra 3 m , 1 m thỏa. Cách 2: Phương trình 2 2 4 4 1 3 0 z m z m m luôn có hai nghiệm phức 1 2 , z z , theo định lí Vi-ét ta có 1 2 2 1 2 1 3 4 z z m m m z z . Theo yêu cầu bài toán ta có 1 2 2 z z 2 2 1 2 1 2 2 4 z z z z 2 2 1 2 1 2 1 2 2 4 2 z z z z z z 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 4 4 8 z z z z z z z z 2 2 2 2 1 1 3 3 8 m m m m m m 2 2 1 1 3 8 m m m m 2 2 2 2 2 2 1 1 3 8 1 1 1 3 8 1;0 3; 1 1 3 8 0 3 m m m m khi m m m m m khi m m m m m khi m 2 2 2 6 8 0 1 2 4 6 0 1;0 3; 2 6 0 0 3 m m khi m m m khi m m khi m 1 3 m m . Vậy 3 m , 1 m thỏa. Câu 3. (THPT chuyên Quang Trung – Bình Phước) Cho z thỏa mãn 10 2 1 2 i z i z . Biết tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức 3 4 1 2 w i z i là đường tròn tâm I , bán kính R . Khi đó A. 1; 2 5 I R . B. 1; 2 5 I R . C. 1;2 5 I R . D. 1; 2 5 I R . Hướng dẫn giải Chọn Nhận xét. Ở đây đề cho lỗi, vì chỉ có 1 số phức z thỏa 10 2 1 2 i z i z , nên tập hợp điểm biểu diễn số phức w cũng chỉ có 1 điểm chứ không phải là 1 đường tròn. Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017 Trang 3 S ưu t ầm và biên so ạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454 * Lời giải sai. Ta có 2 10 10 2 1 2 2 1 2 i z i z z i z z z . Lấy môđun hai vế ta được 2 2 2 10 2 2 1 z z z (Do z z ). 2 2 2 10 2 2 1 z z z 2 2 10 5 5 1 1 2 (3 4 ) . 5 z z w i i z z . Do đó tập hợp điểm biểu diễn w là đường tròn 1;2 5 I R . * * Lời giải đúng. Ta có 2 10 10 2 1 2 2 1 2 i z i z z i z z z . Lấy môđun hai vế ta được 2 2 2 10 2 2 1 z z z (Do z z ). 2 2 2 10 2 2 1 z z z 2 2 10 5 5 1 z z z . Thay 1 z vào 10 2 1 2 i z i z ta được 10 10 10 3 10 2 1 2 1 3 10 10 i i z i z i suy ra 10 9 10 20 13 10 10 10 w i , suy ra điểm biểu diễn của số phức w là 1 điểm. Câu 4. (THPT chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai – L1) Cho số phức z thỏa mãn 2 2 5 1 2 1 3 z z z i z i . Tìm giá trị nhỏ nhất của w , biết rằng 2 2 w z i . A. min 3 2 w . B. min 2 w . C. min 1 w . D. min 1 2 w . Hướng dẫn giải. Chọn C. Cách 1: Đại số. 2 2 5 1 2 1 3 z z z i z i 2 2 1 4 1 2 1 3 z i z i z i 1 2 1 2 1 2 1 3 z i z i z i z i 1 2 0 1 1 2 1 3 2 z i z i z i . +) 1 1 2 z i 1 1 w w 3 . +) Đặt z a bi , với , a b . Khi đó ta có 2 1 2 1 3 a b i a b i 2 2 2 2 1 2 1 3 a b a b 4 4 6 9 b b 1 2 b , suy ra 3 2 2 w a i 2 9 3 2 4 2 w a 4 . Từ 3 , 4 ta suy ra min 1 w . Cách 2: Hình học. Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017 Trang 4 S ưu t ầm và biên so ạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454 2 2 5 1 2 1 3 z z z i z i 2 2 1 4 1 2 1 3 z i z i z i 1 2 1 2 1 2 1 3 z i z i z i z i 1 2 0 1 1 2 1 3 2 z i z i z i . +) 1 1 2 z i 1 w 1 w 3 . +) Đặt z a bi , với , a b . Khi đó ta có 2 1 2 1 3 a b i a b i 2 2 2 2 1 2 1 3 a b a b 1 4 4 6 9 2 b b b , suy ra 3 2 2 w a i , suy ra tập hợp các số phức w nằm trên đường thẳng 3 2 y , suy ra ; 3 2 O w d . Câu 5. (Chuyên ĐH Vinh – L3) Cho hai số phức z , w khác 0 và thỏa 2 z w z w . Phần thực z u w là A. 1 8 . B. 1 4 . C. 1. D. 1 8 . Hướng dẫn giải. Chọn D. Ta có 2 z w z w 1 2 1 z w z w w 1 2 1 z w z w w 1 2 1 1 u u , đặt u a bi , với , a b , khi đó ta được hệ phương trình 2 2 2 2 1 4 1 1 a b a b 3 1 2 1 4 8 a a . Câu 6. Biết rằng khi m a , với a và m là các số thực, thì phương trình 2 1 1 0 i x m i x không có nghiệm thựC. Chọn mệnh đề đúng. A. 1;1 a . B. 1;5 a . C. 3;6 a . D. 3;1 a . Hướng dẫn giải. Chọn D. Giả sử phương trình có nghiệm thực là x b , khi đó ta có 2 1 1 0 i b m i b 2 2 1 0 b mb b b i 2 2 1 0 0 b mb b b 1 2 b m , suy ra 2 m thì phương trình 2 1 1 0 i x m i x không có nghiệm thực. Câu 7. (THPT chuyên Quang Trung – Bình Phước) Cho hai số phức 1 z , 2 z khác thỏa 0 , 1 2 0 z z và 1 2 1 2 1 1 2 z z z z . Tính giá trị biểu thức 1 2 z z . A. 2 2 . B. 3 2 . C. 2 3 . D. 2 3 . Hướng dẫn giải. Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017 Trang 5 S ưu t ầm và biên so ạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454 Chọn A. Theo đề, ta có 1 2 1 2 1 1 2 z z z z 1 2 1 2 1 2 2 z z z z z z 2 2 1 1 2 2 2 2 0 z z z z 1 2 1 1 2 2 z i z 1 2 2 2 z z . Câu 8. (THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu – Đồng Tháp – L2) Gọi M là điểm biểu diễn số phức 2 1 z z w z , trong đó z là số phức thỏa mãn 1 2 2 3 i z i i z . Gọi N là điểm trong mặt phẳng sao cho , 2 Ox ON , trong đó , Ox OM là góc tạo thành khi quay tia Ox tứi vị trí của tia OM . Điểm N nằm ở góc phầ tư nào? A. Góc phần tư thứ nhất. B. Góc phần tư thứ tư. C. góc phần tư thứ ba. D. Góc phần tư thứ hai. Hướng dẫn giải. Chọn B. Theo đề, ta có 1 2 2 3 i z i i z 3 6 5 5 z i 11 56 15 45 w i , suy ra 56 tan 33 , ta có 2 2 2 56 1089 3696 sin 2 2sin .cos 2 tan .cos 2. . 33 4225 4225 2 1089 2047 cos2 2cos 1 .2. 1 4225 4225 tan 1 . Câu 9. (THPT Thanh Chương 1 – Nghệ An – L2) Cho số phức 1 z thỏa 2 2 2 1 z z i và số phức 2 z thỏa 4 5 z i . Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 2 z z ? A. 2 5 5 . B. 5 . C. 2 5 . D. 3 5 5 . Hướng dẫn giải. Chọn D. Đặt 1 z a bi , 2 z c di ( , , , a b c d ). Ta có số phức 1 z thỏa 2 2 2 1 z z i suy ra 2 2 2 2 2 1 1 a b a b 2 1 a b , suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức 1 z nằm trên đường thẳng 2 1 x y . Lại có số phức 2 z thỏa 4 5 z i suy ra 2 2 4 1 5 c b , suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức 2 z nằm trên đường tròn C có tâm 4;1 I , bán kính 5 r . Biểu diễn C và lên mặt phẳng tọa độ, ta suy ra 1 2 ; min 3 5 5 I z z d r . Câu 10. (THPT chuyên Biên Hòa – Hà Nam) Cho ba số phức 1 z , 2 z , 3 z thảo mãn điều kiện 1 2 3 1 z z z và 1 2 3 0 z z z . Tính 2 2 2 1 2 3 A z z z . A. 1. B. 0 . C. 1 . D. 1 i .Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017 Trang 6 S ưu t ầm và biên so ạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454 Hướng dẫn giải. Chọn B. 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 2 2 A z z z z z z z z z z z z z z z z z z 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 1 2 2 2 z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z Mà 1 2 3 1 2 3 0 0 z z z z z z . Vậy 0 A . Câu 11. (THPT chuyên Lê Hồng Phong – TP.HCM) Cho 1 2 , z z là hai số phức khác 0 thỏa 2 2 1 1 2 2 2 2 0 z z z z . Biết 1 2 , z z có điểm biểu diễn lần lượt là M , N . Tính góc OMN A. o 30 . B. o 45 . C. o 60 . D. o 90 . Hướng dẫn giải. Chọn B. 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 0 1 z i z z z z z z i z . Vì hai trường hợp này là như nhau nên tối chỉ trình bày một trường hợp như sau. Với 1 2 1 z i z , đặt 1 z a bi , 2 z c di (với , , , a b c d ) và 1 z , 2 z lần lượt có điểm biểu diễn là ; M a b , c; N d . Khi đó 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 z ac bd bc ad z i z i i i z c d c d 2 2 2 2 1 ac bd ac bd z c d , mà 1 1 2 2 1 2 z i z z z . Ta có ; OM a b , ; NM a c b d . 2 2 2 2 2 2 2 2 cos cos , . 2 a b ac bd OMN OM NM a b a b c d ac bd 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 z z z z z z z z , suy ra o 45 OMN . Câu 12. (Đề minh họa – L3) Xét các số phức z thỏa mãn 2 4 7 6 2 z i z i . Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của 1 z i . Tính P m M . A. 13 73 P . B. 5 2 2 73 2 P . C. 5 2 73 P . D. 5 2 73 2 P . Hướng dẫn giải. Chọn B. Cách 1. Đại số. Đặt z a bi , với , a b . Khi đó ta có 2 4 7 6 2 z i z i 2 2 2 2 2 1 4 7 6 2 a b a b , xét các điểm ; N a b , 2;1 A , 4;7 B , khi đó ta được 6 2 NA NB AB , suy ra N , A , B thẳng hàng ( N nằm giữa A và B ). Phương trình đường thẳng : 3 0 AB x y , suy ra ; 3 N a a ( 2 4 a ).Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017 Trang 7 S ưu t ầm và biên so ạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454 Theo đề 2 2 1 1 1 z i a b 2 2 1 4 a a 2 2 6 17 a a f a . / 2 2 3 6 17 a f a a a ; / 3 0 2 f a a . Ta có bảng biến thiên như hình bên. Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra 5 2 2 m , 73 M . Vậy 5 2 2 73 2 P . Cách 2. Bất đẳng thức. Đặt z a bi , với , a b . Khi đó ta có 2 4 7 6 2 z i z i 2 2 2 2 2 1 4 7 6 2 a b a b 1 , áp dụng bất đẳng thức Mincopxki ta có 2 2 1 2 4 1 7 6 2 VT a a b b , dấu " " xảy ra 2 7 4 1 3 2;4 , 1;7 2; 4 , 1;7 a b a b b a a b a b . Theo đề 2 2 1 1 1 z i a b 2 2 1 4 a a 2 2 6 17 a a f a . / 2 2 3 6 17 a f a a a ; / 3 0 2 f a a . Ta có bảng biến thiên như hình bên. Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra 5 2 2 m , 73 M . Vậy 5 2 2 73 2 P . Cách 3. Hình học. Đặt z a bi , với , a b . Khi đó ta có 2 4 7 6 2 z i z i 2 2 2 2 2 1 4 7 6 2 a b a b , xét các điểm ; N a b , 2;1 A , 4;7 B , khi đó ta được 6 2 NA NB AB , suy ra N , A , B thẳng hàng ( N nằm giữa A và B ). Phương trình đường thẳng : 3 0 AB x y . Theo đề 2 2 1 1 1 z i a b , xét điểm 1; 1 I suy ra 2 2 1 1 IN a b , khi đó ; ; min ; ;d ; ;d I AB I AB IA IB IN Max IA IB min ; max 5 2 d 2 73 I AB m IN M IN IB . Vậy 5 2 2 73 2 P m M . Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017 Trang 8 S ưu t ầm và biên so ạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454 Câu 13. (THPT Thị xã Quảng Trị) Cho số phức z a bi ( , a b ) thỏa mãn z không là số thực và 2 2 1 1 z z z z là số thựC. Tính 4 4 6 6 1 1 a b M a b . A. 1 2 . B. 2 3 . C. 4 3 . D. 1 3 . Hướng dẫn giải. Chọn B. z a bi , với , a b . Vì z không là số thực nên 0 b . Ta có 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 a b a ab b i z z w z z a b a ab b i , suy ra phần ảo của số phức w là 2 3 2 2 2 2 2 2 2 1 2 b a b b a b a ab b , mà 2 2 1 1 z z z z là số thực suy ra 4 4 2 2 2 2 1 1 2 a b a b a b , ta có 4 4 4 4 4 4 6 6 2 2 4 4 2 2 4 4 1 1 1 2 3 3 1 1 1 2 a b a b a b M a b a b a b a b a b . Câu 14. (Thầy Trần Trọng Trị - THPT Gia Định – TP.HCM) Cho hai số phức 1 z , 2 z thỏa mãn điều kiện 1 1 1 2 2 z i z z i và 2 10 1 z i . Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 2 z z ? A. 3 5 1 . B. 101 1 . C. 101 1 . D. 10 1 . Hướng dẫn giải. Chọn A. Cách 1. Ta có 1 1 1 2 2 z i z z i suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức 1 z nằm trên parabol 2 : 4 x P y . Và 2 10 1 z i suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức 2 z nằm trên đường tròn 2 2 : 10 1 1 C x y . Xét đường tròn 2 2 : 10 1 x y k với 0; k tiếp xúc với P . Giải điều kiện tiếp xúc và P Ta có 2 2 10 1 x y k 2 2 2 2 10 ' 1 10 10 10 1 10 ' 10 x y y k x k x x y k x y k x . và P tiếp xúc nhau khi hệ phương trình sau có nghiệm TH1: 2 2 2 2 1 10 4 10 0 4 45 10 2 1 2 4 10 x k x x x x k x x x k x . Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017 Trang 9 S ưu t ầm và biên so ạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454 TH2: 2 2 2 2 1 10 4 10 0 4 45 10 2 1 2 4 10 x k x x x x k x x x k x . Ta suy ra 45 k . Vậy 1 2 Min 3 5 1 z z . Cách 2. Ta có 1 1 1 2 2 z i z z i suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức 1 z nằm trên parabol 2 : 4 x P y . Và 2 10 1 z i suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức 2 z nằm trên đường tròn 2 2 : 10 1 1 C x y . Đường tròn C có tâm là 10; 1 I bán kính 1 R . Xét điểm 2 ; 4 a A a P , khi đó 4 2 2 20 101 16 2 a a IA f a a ; 3 / 20 4 a f a a ; / 0 4 f a a , lập BBT suy ra Min 45 f a suy ra Min 3 5 IA . Vậy 1 2 Min 3 5 1 z z . Câu 15. Cho số phức z thỏa 2 2 6 z z . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3 P z z A. 3 . B. 2 . C. 1 . D. 4 . Hướng dẫn giải. Chọn A. Đặt z x yi , với , a b . Khi đó ta có 2 2 2 2 2 2 6 2 2 6 z z x y x y . Xét điểm 1 2; 0 F , 2 2; 0 F và ; M x y , suy ra ta có biểu thức 1 2 6 2.3 MF MF , suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z nằm trên đường elip có phương trình 2 2 1 9 5 y x (với 3, 5, 2 a b c ). Tọa độ các đỉnh trên trục lớn là 1 3; 0 A , 2 3; 0 A , các đỉnh nằm trên trục bé là 1 0; 5 B , 2 0; 5 B . Ta có 2 2 1 3 3 z x y MA , z MO (O là gốc tọa độ). Suy ra 3 1 P MA MO . Lại có 1 1 1 2 Min Max MA M A MO M A hay M A 1 1 2 Min 0 Max 3 MA MO OA OA . Vậy min 3 P . Câu 16. (THPT chuyên Hưng Yên –L3) Cho số phức z thoả mãn 3 4 5 z i . Gọi M và m lần lượt là gia trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 P z z i . Tính modun của số phức w M mi A. 2 314 w . B. 2 309 w . C. 1258 w . D. 3 137 w . Hướng dẫn giải Chọn C. Đặt z x yi . Ta có 2 2 2 2 2 1 4 2 3 P x y x y x y Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017 Trang 10 S ưu t ầm và biên so ạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454 Mặt khác 2 2 3 4 5 3 4 5 z i x y , đặt 3 5 sin ; 4 5 cos x t y t . Suy ra 4 5 sin 2 5 cos 23 P t t , ta có 10 4 5 sin 2 5 cos 10 t t . Do đó 13 33 1258 P w . Câu 17. (THPT chuyên Hưng Yên –L3) Cho số phức w, biết rằng 1 2 z w i và 2 2 4 z w là hai nghiệm của phương trình 2 0 z az b với a,b là các số thựC. Tính 1 2 T z z . A. 8 10 3 T . B. 2 3 3 T . C. 5 T . D. 2 37 3 T . Hướng dẫn giải Chọn A. Đặt w x yi . Theo Viet ta có: 1 2 3 2 4 3 4 3 2 z z a w i x y i là số thực nên 2 3 y . Lại có 1 2 2 4 2 2 4 3 3 z z b x i i x i là số thực. Suy ra 4 4 4 16 2 4 2 4 4 3 3 3 9 x i x i x x i x là số thực suy ra 4 x Do đó 1 2 4 4 2 4 3 3 z i i i , 2 4 8 10 4 3 3 z i T . Câu 18. (THPT Thái Nguyên – L2) Tập hợp các số phức 1 1 w i z với z là số phức thỏa mãn 1 1 z là hình tròn. Tính diện tích hình tròn đó. A. 4 . B. 2 . C. 3 . D. . Hướng dẫn giải Chọn B Đặt w x yi , với , x y thì 1 1 1 1 2 2 1 1 w i z w i z i w i z i z 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 w i z i z x y z , suy ra tập hợp số phức cần tìm nằm trên hình tròn bán kính 2 R có tính biên. 2 2 S R . Câu 19. (THPT Thái Nguyên – L2) Cho số phức z có môđun là 3, biết tập hợp các điểm biểu diễn số phức 3 2 2 w i i z là một đường tròn thì có bán kính là? A. 3 2 . B. 3 5 . C. 3 3 . D. 3 7 . Hướng dẫn giải Chọn B Đặt w x yi , với , x y thì 3 2 3 2 2 2 x yi i x yi i i z z i 2 1 2 8 2 2 6 4 3 2 5 5 i x y x y x yi i xi y i z z 2 2 2 2 3 2 1 2 8 25.9 5 5 30 20 65 29.5 z x y x y x y x y 2 2 2 2 6 4 13 45 3 2 45 3 5 x y x y x y R . Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017 Trang 11 S ưu t ầm và biên so ạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454 Câu 20. (THPT Thái Nguyên – L2) Cho số phức z a bi , với , a b thỏa mãn 1 1 1 z iz i z z . Tính 2 2 a b ? A. 3 2 2 . B. 2 2 2 . C. 3 2 2 . D. 4 . Hướng dẫn giải Chọn A Điều kiện 0 1 z z . Khi đó 1 1 1 z iz i z z 1 1 z iz z i 2 1 z i z z i 2 1 z z z i 2 2 1 1 z z z z z z 2 2 1 0 2 1 0 z z z 1 2 z 2 3 2 2 z . Câu 21. (THPT chuyên KHTN – Hà Nội – L5) Cho 1 2 , z z là 2 số phức bất kỳ, giá trị biểu thức: 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 z z a z z z z bằng? A. 2 a . B. 1 2 a . C. 1 a . D. 3 2 a . Hướng dẫn giải Chọn B Cách 1. Đặt 1 z a bi , 2 z c di , với , , , a b c d . Khi đó 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 a b c d z z a z z z z a c b d a c b d Cách 2. Ngoài ra ta có thể chọn 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 0 z z z z z z z z . Câu 22. Cho số phức z thỏa 2 2 17 z i . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 1999 2 2017 6 3 P z i z i . Tính M m . A. 8302 17 M m . B. 4034 17 M m . C. 2 2 17 1999 2017 1999 M m . D. 2 2 2 17 1999 2017 1999 M m . Hướng dẫn giải Chọn D Cách 1. 2 2 17 z i suy ra tập hợp số phức z nằm trên đường tròn tâm 2;2 I bán kính 17 .Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017 Trang 12 S ưu t ầm và biên so ạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454 Xét các điểm 2;1 A , 6;3 B , ; C x y . Khi đó 1999 2017 P CA CB . Ta có AB là đường kính của đường tròn tâm I nên 2 1999 68 2017 P CB CB . Xét hàm số 2 1999 68 2017 f x x x với 0;2 17 x suy ra min 1999.2 17 P , 2 2 max 2 17 1999 2017 P . Vậy 2 2 2 17 1999 2017 1999 M m . Cách 2. 2 2 2 2 17 4 4 9 z i a b a b 2 2 2 2 1999 2 2017 6 3 1999 4 2 5 2017 12 6 45 P z i z i a b a b a b a b 2 2 1999 8 2 14 2017 8 2 54 2 17 1999 2017 P a b a b Suy ra 2 2 max 2 17 1999 2017 P . min 1999.2 17 P (sử dụng xét hàm) Vậy 2 2 2 17 1999 2017 1999 M m . Chú ý: ở cách hai ta có có thể xét hàm số 1999 14 2017 54 f t t t (với 8 2 t a b và 14 54 t ). Câu 23. (THPT Chu Văn An – Hà Nội – L2) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 1 2 z . Tìm giá trị lớn nhất của 2 T z i z i A. max 8 2 T . B. max 4 T . C. max 4 2 T . D. max 8 T . Hướng dẫn giải Chọn B Đặt z x yi . Ta có: 2 2 1 2 1 2 1 2 z x yi x y Khi đó: 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 T z z i x yi i x yi i x y x y 2 2 2 2 2 2 1 1 . 1 2 1 x y x y 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2. 1 4 2. 4 4 4 x x y x y Vậy max 4 T . Câu 24. (THPT Quốc Học – Huế - L2) Cho số phức 0 z sao cho z không phải là số thực và 2 1 z w z là số thựC. Tính 2 . 1 z z A. 1 . 5 B. 1 . 2 C. 2. D. 1 . 3 Hướng dẫn giải Chọn B Cách 1. Theo giả thiết ta có 2 1 z w z là số thực nên ta có thể chọn w là số thực bất kỳ sao cho z không phải là số thực. Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017 Trang 13 S ưu t ầm và biên so ạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454 Chọn 2 2 2 1 3 1 1 1 1 . 2 2 1 1 z z i w z z z z z z Cách 2. Ta có 2 1 z w z là số thực suy ra 2 1 1 1 z z w z z là số thực suy ra 1 z là số phức liên hợp của z suy ra 2 2 1 1 1 . . 1 1 . 1 1 2 1 z z z z z z z z Câu 25. (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An – L3) Cho số phức z thay đổi, luôn có 2 z . Khi đó tập hợp điểm biểu diễn số phức 1 2 3 w i z i là: A. Đường tròn 2 2 3 2 5 x y . B. Đường tròn 2 2 3 20 x y . C. Đường tròn 2 2 3 20 x y . D. Đường tròn 2 2 3 2 5 x y . Hướng dẫn giải Chọn B Giả sử , 1 2 3 w a bi a b a bi i z i 3 1 2 3 2 3 2 3 1 2 5 5 a b i i a b i a b a b i z i 2 2 2 2 1 2 3 2 3 2 2 6 2 3 100 5 z z a b a b a b a b 2 2 2 2 12 2 6 2 55 a b a b a b a b 2 2 2 2 2 2 5 5 30 55 6 11 3 20 a b b a b b a b . Câu 26. (THPT chuyên Vị Thanh – Hậu Giang) Biết số phức z thỏa mãn phương trình 1 1. z z Tính 2016 2016 1 . P z z A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3. Hướng dẫn giải Chọn C Ta có 1 1 z z 3 3 3 1 1 1 1 3 1 z z z z z z 3 3 1 2 0 z z 2 3 1 0 z 3 1 z 672 3 672 3 1 1 1 2. P z z Câu 27. (THPT Kim Liên – Hà Nội) Cho hai số thực b và c 0 . c Ký hiệu A , B là hai điểm của mặt phẳng phức biểu diễn hai nghiệm của phương trình 2 2 z 0. z b c Tìm điều kiện của b và c sao cho O A B là tam giác vuông ( O là gốc tọa độ). A. 2 2 . b c B. 2 2 . c b C. . b c D. 2 . b c Hướng dẫn giải Chọn B Theo yêu cầu bài toán suy ra phương trình không có nghiệm thực. Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017 Trang 14 S ưu t ầm và biên so ạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454 Ta có: 2 2 2 2 2 1 2 2 2 z 0 z b i c b z b c z b b c c b z b i c b . Khi đó 2 ; A b c b , 2 ; B b c b , suy ra 2 ; OA b c b , 2 ; OB b c b . Ta có , A B là hai điểm đối xứng nhua qua trục Oy . Suy ra tam giác O A B vuông tại O . Theo giả thiết ta có: 2 2 2 0 2 . b b c c b Câu 28. (Chuyên Ngữ – Hà Nội) Trên mặt phẳng tọa độ O x y , tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện số phức w 2 3 5 z i i là số thuần ảo. A. Đường tròn 2 2 5. x y B. Đường thẳng 2 3 5 0. x y C. Đường tròn 2 2 3 2 5. x y D. Đường thẳng 3 2 1 0. x y Hướng dẫn giải Chọn B Đặt z x yi , với , x y 2 3 5 2 3 5 3 2 1 w x yi i i x y x y i . W là số thuần ảo khi và chỉ khi 2 3 5 0 2 3 5 0 3 2 1 0 x y x y x y Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng 2 3 5 0. x y Câu 29. (Chuyên Ngữ – Hà Nội) Cho số phức z thỏa mãn 1. z Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 2 1 T z z . A. ax 2 5. M T B. ax 2 10. M T C. ax 3 5. M T D. ax 3 2. M T Hướng dẫn giải Chọn A Cách 1. 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 1 5.2 1 2 5 T z z z z z (BĐT Bunhiacopxki) Chú ý: 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 z z x y z với z x yi , , x y . Cách 2. Đặt z x yi , với , x y ta có: 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 T x yi x yi x y x y Lại có 2 2 1 2 2 2 2 2 x y T x x f x Ta có max 1 2 6 ' 0 2 5 10 2 2 2 2 f x x T x x . Câu 30. (Sở GD – Đồng Tháp) Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện| 1 2 | | | z i z i , tìm số phức có mô-đun nhỏ nhất. A. 1 3 5 5 z i . B. 3 1 5 5 z i . C. 2 16 5 5 z i . D. 16 2 5 5 z i . Hướng dẫn giải Chọn A Gọi z a bi , , a b R . Ta có 1 2 1 2 z i z i a b i a b i i Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017 Trang 15 S ưu t ầm và biên so ạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 4 4 2 1 a b a b a a b b a b b 2 6 4 3 2 a b a b Do đó 2 2 2 2 2 2 3 2 10 3 2 10 12 4 10 5 5 5 z a b b b b b b . Dấu " " xảy ra 3 1 5 5 b a . Vậy 1 3 . 5 5 z i Câu 31. (THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm) Cho số phức z thỏa mãn 1 2 w z z i là một số thuần ảo. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn có diện tích bằng bao nhiêu? A. 5 . B. 5 . 4 C. 5 . 2 D. 25 . Hướng dẫn giải Chọn B Đặt z a bi , với , a b 2 2 1 2 2 2 2 w a bi a bi i a b a b a b i . w là số thuần ảo suy ra 2 2 2 2 2 2 2 0 1 5 2 0 1 . 2 4 2a 2 0 a b a b a b a b a b b Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn có diện tích bằng 5 . 4 Câu 32. (THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm) Cho số phức , . z x yi x y Khi đó phần thực a và phần ảo b của số phức 2 z i iz là: A. 2 2 2 2 2 2 2 1 2 , . 2 2 x y y y x a b y x y x B. 2 2 2 2 2 2 2 1 2 , . 2 2 x y y y x a b y x y x C. 2 2 2 2 2 2 2 1 2 , . 2 2 x y y y x a b y x y x D. 2 2 2 2 2 2 2 1 2 , . 2 2 x y y y x a b y x y x Hướng dẫn giải Chọn B Ta có: 2 2 2 2 2x 2 2 2 2 2 2 2 x y i y y x x yi i xi y x yi i x yi i xi y i x yi xi y xi y x y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 x y a x y y x y y x i y y x y x x y b x y . Câu 31. (THPT Lam Sơn – Thanh Hóa) Cho số phức z , tìm giá trị lớn nhất của z biết z thỏa mãn điều kiện 2 3 1 1. 3 2 i z i Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017 Trang 16 S ưu t ầm và biên so ạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454 A. 3. B. 2 . C. 1. D. 2. Hướng dẫn giải Chọn B Tổng quát: Cho số phức z thỏa mãn z a bi R tìm modun lớn nhất và nhỏ nhất của số phức . z Điểm biểu diễn số phức z là đường tròn 2 2 2 . x a y b R Khi đó: 2 2 max z OI R a b R , 2 2 min z OI R a b R . Áp dụng: Ta có: 2 2 2 3 1 1 1 1 1 1. 3 2 z x yi i z iz y x i Khi đó: max 1 1 2. z OI R Câu 32. (THPT Thanh Chương –Nghệ An – L1) Cho 1 2 , z z là hai số phức thỏa mãn phương trình 2 2 , z i iz biết 1 2 1. z z Tính giá trị của biểu thức 1 2 . P z z A. 3 . 2 P B. 2. P C. 2 . 2 P D. 3. P Hướng dẫn giải Chọn D Cách 1. Ta có 2 2 z i iz 2 2 2 2 z i iz (2 )(2. ) (2 )(2 . ) z i z i iz i z 2 2 4 . 2 2 4 2 2 . z z iz iz i iz iz i z z 5 . 5 z z . 1 z z 2 1 1 z z 1 1 z và 2 1. z Chú ý: 2 2 . 2 (2 ).(2 ) (2 )(2 ). a a a z i z i z i z i z i Tập hợp điểm biểu diễn số phức 1 2 , z z là đường tròn tâm O , 1. R Gọi 1 1 2 2 1 2 , 1. M z M z OM OM Ta có 1 2 1 2 2 1 1 2 1 z z OM OM M M OM M đều. Mà 1 2 1 2 z z OM OM OM OM với M là điểm thỏa mãn 1 2 OM MM là hình thoi cạnh 1 3 3. OM P Cách 2. Đặt ( , ), z x yi x y ta có 2 2 2( 1) z i x y i và 2 2 . iz y xi Khi đó 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 4 (2 1) ( 2) 1 1 1 z z i iz x y y x x y z z . Sử dụng công thức 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 3 3. z z z z z z z z z z Câu 33. (Sở GD Phú Thọ) Cho hai số phức 1 z và 2 z thỏa mãn 1 3 z , 2 4 z , 1 2 37 z z . Xét số phức 1 2 z z a bi z . Tìm b . A. 3 3 8 b . B. 39 8 b . C. 3 8 b . D. 3 8 b . Hướng dẫn giải Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017 Trang 17 S ưu t ầm và biên so ạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454 Chọn A. Đặt 1 z x yi , 2 z c di , , , x y c d . Ta có: 2 2 1 3 9 z x y ; 2 2 2 4 16 z c d ; 2 2 2 2 2 2 1 2 37 37 2 2 37 6 z z x c y d x y c d xc yd xc yd . Lại có: 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x yi c di xc yd yc xd i z x yi xc yd yc xd i a bi z c di c d c d c d c d 3 8 bi . Mà 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 3 9 9 3 27 3 3 4 16 16 8 64 8 z z a b a b b b z z . Vậy 3 3 8 b . Câu 34. (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An – L4) Cho số phức z thỏa mãn z không phải số thực và 2 2 z w z là số thựC. Giá trị lớn nhất của biểu thức 1 P z i là A. 2 2 . B. 2 . C. 2 . D. 8 . Hướng dẫn giải Chọn A. Cách 1. 2 2 z w z là số thực w w 2 2 2 2 2 . 2 2 2 z z z z z z zz z z 2 . z z z z z z z z (loại do z không là số thực) hoặc 2 . 2 z z z . Suy ra: 2 OM với M là điểm biểu diễn của z , M thuộc đường tròn C tâm O , 2 R Ta có: 1 P z i MA , với 1;1 A . Ta có: A C nên MA lớn nhất bằng 2 2 2 R . Cách 2. Vì z không là số thực nên 0 z . Suy ra 0 w . Ta có 2 2 2 1 2 2 0 * 2 z w w z z z z w z . * là phương trình bậc hai với hệ số thực 1 w nên có nghiệm 2 phức 1 z , 2 z liên hợp của nhau. Theo Viet ta có: 1 2 1 2 1 2 1 1 . 2 . 2 2 2 2 z z z z z z z z z . Suy ra 1 1 2 2 2 2 P z i z i . Cách 3. Ta có 2 1 2 2 z w z w z z , mà w suy ra 1 w , suy ra 2 z là số phức liên hợp của z . Suy ra . 2 2 z z z . Ta có 1 1 2 2 2 2 P z i z i . Câu 35. (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An – L4) Cho hai số phức 1 z và 2 z thỏa mãn 1 2 1 2 1 z z z z . Tính 1 2 z z A. 3 . B. 1. C. 2 3. D. 3 2 . Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017 Trang 18 S ưu t ầm và biên so ạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454 Hướng dẫn giải Chọn A Cách 1. Ta có 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 z z z z z z . Khi đó 2 1 2 1 2 2 1 1 1 3 3 z z z z . Cách 2. Chọn 1 1 z từ đó suy ra 2 z từ hệ 2 2 1 1 1 z z . Thay vào 1 2 z z ta cũng được kết quả 1 2 3 z z . Câu 36. (THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp – Quảng Bình) Gọi H là hình biểu diễn tập hợp các số phức z trong mặt phẳng tọa đọ O x y để 2 3 z z số phức z có phần thực không âm. Tính diện tích hình H . A. 3 . B. 3 2 . C. 3 4 . D. 6 . Hướng dẫn giải Chọn B Đặt 0 z x yi x , , a b 2 2 2 3 3 3 9 9 z z x yi x y . 2 2 1 9 1 y x . Do hình H là nửa hình Elip có 3, 1 a b . Khi đó 1 1 3 . 2 2 2 elip S S ab . Câu 37. (THPT Hoằng Hóa 4 – Thanh Hóa) Cho số phức z thỏa điều kiện 1 z z i . Tìm số phức 2 3 w z i có môđun nhỏ nhất. A. 1 3 2 2 i . B. 1 1 2 2 i . C. 1 1 2 2 i . D. 1 3 2 2 i . Hướng dẫn giải Chọn B. Cách 1. Đại số Đặt z a bi với ,b a . Ta có 1 1 1 1 z z i a bi a bi i a bi a b i 2 2 2 2 1 1 0 a b a b a b Khi đó 2 3 3 2 3 2 w a bi i a b i a a i 2 2 2 2 2 2 25 1 5 1 1 3 2 2 10 13 2 5 2 4 2 2 2 2 w a a a a a a a min 2 2 w khi 5 5 5 5 1 1 2 2 2 2 2 2 a b z i w i . Cách 2. Hình học Đặt z a bi với ,b a . Ta có 1 1 1 1 z z i a bi a bi i a bi a b i 2 2 2 2 1 1 0 a b a b a b , suy ra tập hợp các số phức z nằm trên đường thẳng : y x . Xét điểm 3; 2 I . Ta có 2 3 2 3 w z i w z i IM . Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017 Trang 19 S ưu t ầm và biên so ạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454 Ta có min IM khi M là hình chiếu vuông góc của I trên , ; M m m suy ra 2; 3 IM m m , 5 . 0 2 3 0 2 IM u m m m . Vậy 1 1 2 2 w i là số phức có môđun nhỏ nhất. Câu 38. (THPT Đống Đa – Hà Nội) Cho số phức z thỏa mãn 2 2 2 1 z z z i . Biểu thức z có giá trị lớn nhất là A. 2 1 . B. 2 . C. 2 2 . D. 2 1 . Hướng dẫn giải. Chọn A. Cách 1: Đại số. 2 2 2 1 z z z i 2 2 1 1 z i z i 1 1 1 z i z i z i 1 0 1 1 1 2 z i z i . +) 1 1 2 z i z 3 . +) Đặt z a bi , với , a b . Khi đó ta có 2 1 1 1 a b i 2 2 1 1 1 a b 2 2 2 2 1 a b a b , theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: 2 2 2 2 1 8 1 a b a b 2 2 2 1 0 z z 2 1 2 1 z 4 . Từ 3 , 4 suy ra max 2 1 z . Cách 2: Hình học. 2 2 2 1 z z z i 2 2 1 1 z i z i 1 1 1 z i z i z i 1 0 1 1 1 2 z i z i . +) 1 1 2 z i z 3 . +) Đặt z a bi , với , a b . Khi đó ta có 2 1 1 1 a b i 2 2 1 1 1 a b , suy ra tập hợp các số phức cần tìm nằm trên đường tròn tâm 1; 1 I , bán kính 1 R . Suy ra OI R z OI R 2 1 2 1 z . Vậy max 2 1 z . Câu 39. (Sở GD Bắc Giang – L1) Cho số phức z thay đổi và luôn thỏa mãn 3 4 4 z i . Tìm giá trị lớn nhất Max P của biểu thức P z A. 12 Max P . B. 5 Max P . C. 9 Max P . D. 3 Max P . Hướng dẫn giải Chọn C Cho số phức z thõa mãn z a bi R tìm modun lớn nhất và nhỏ nhất của số phức z . Điểm biểu diễn số phức z là đường tròn: 2 2 2 x a y b R Khi đó 2 2 max z OI R a b R , 2 2 min z OI R a b R . Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017 Trang 20 S ưu t ầm và biên so ạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454 Áp dụng: 2 2 3 4 4 9 Max P . Câu 40 (Sở GD Quảng Ninh) Cho hai số phức 1 2 , z z thỏa mãn 1 2 1 2 1 z z z z . Tính giá trị của biểu thức 2 2 1 2 2 1 z z P z z A. 1 P i . B. 1 P i . C. 1 P . D. 1 P i . Hướng dẫn giải Chọn C Cách 1. Ta có 1 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 z z z z z GT z z z z . Đặt 1 2 z a bi z ta có: 2 2 2 2 1 1 a b a b 2 2 3 1 3 1 2 1 2 2 1 2 b w P w w a . Cách 2. Chọn 1 2 1 3 1 3 ; 1 2 2 2 2 i i z z P . Cách 3. Dùng dạng lượng giác của số phức (đọc thêm). Gọi 1 2 1 2 ; ; A z B z AB z z OAB là tam giác đều cạnh 1 Khi đó 2 2 2 0 0 0 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 1 120 cos120 sin120 z r r i z r r Tương tự 2 0 0 1 2 cos 120 sin 120 1 z i P z . Câu 41. (THPT chuyên Hà Giang – L1) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2 2 1 z i . Tìm giá trị lớn nhất của z A. max 2 2 1 z . B. max 2 2 z . C. max 2 2 2 z . D. max 2 2 1 z . Hướng dẫn giải Chọn A Cách 1. Đại số Giả sử z a bi , với , a b . Ta có: 2 2 1 2 2 1 2 2 1 z i a bi i a b i 2 2 2 2 1 a b . Đặt 2 sin 2 cos a t b t . Khi đó: 2 2 2 2 2 sin 2 cos z a b t t 9 4 sin cos t t 2 2 max 9 4 sin cos 9 4 2 2 2 1 2 2 1 t t z khi sin cos t t . Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017 Trang 21 S ưu t ầm và biên so ạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454 Cách 2. Hình học Cho số phức z thỏa mãn z a bi R tìm mô đun lớn nhất và nhỏ nhất của số phức z . Điểm biểu diễn số phức z là đường tròn: 2 2 2 x a y b R Khi đó 2 2 max z OI R a b R , 2 2 min z OI R a b R . Áp dụng: 2 2 max 2 2 1 2 2 1 P . Câu 42. (Chuyên KHTN – Hà Nội – L4) Gọi 1 z , 2 z là 2 nghiệm của phương trình 2 1 0 z z . Tính giá trị 2017 2017 1 2 P z z . A. 1 P . B. 1 P . C. 0 P . D. 2 P . Hướng dẫn giải Chọn B Vì 1 z là nghiệm của phương trình 2 1 0 z z nên ta có 2 3 3 2016 2017 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 z z z z z z z Chứng minh tương tự: 2017 2 2 z z . Vậy 1 2 1 P z z . Câu 43. (Chuyên KHTN – Hà Nội – L4) Với hai số phức 1 z và 2 z thỏa mãn 1 2 8 6 z z i và 1 2 2 z z . Tìm giá trị lớn nhất của 1 2 P z z . A. 5 3 5 P . B. 2 26 P . C. 4 6 P . D. 34 3 2 P . Hướng dẫn giải Chọn B Đặt 1 2 , OA z OB z ( với O là gốc tọa độ, , A B là điểm biểu diễn của 1 2 , z z ). Dựng hình bình hành OACB , khi đó ta có 1 2 2 AB z z , 2 1 10 OC z z , 5 OM . Theo định lý đường trung tuyến ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 52 52 4 OA OB AB OM OA OB z z Ta có 2 2 1 2 1 2 2 2 26 z z z z (BĐT Bunhiacopxki). Vậy max 2 26 P . Câu 44. (Sở GD Hải Dương) Cho số phức z thỏa mãn . 1 z z . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3 | 3 | | | P z z z z z . A. 15 4 . B. 3 4 . C. 13 4 . D. 3 . Hướng dẫn giải Chọn B Giả sử z a bi z a bi , với , a b . . 1 z z suy ra 2 2 1 b a .Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017 Trang 22 S ưu t ầm và biên so ạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454 3 | 3 | | | P z z z z z suy ra 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 4 3 2 4 P a a b b a b a 2 1 P f x x x với 0; 4 x . Lập bảng biến thiên ta suy ra min 3 4 P . Trong quá trình biên soạn tôi cũng khó có thể tránh khỏi sai sót. Mong nhận được sự góp ý từ các bạn và quí thầy cô. Mọi góp ý xin inbox trực tiếp cho tôi theo địa chỉ https://www.facebook.com/lehong.quoc.12 .Chân thành cảm ơn và chúc các bạn học tốt! |
