1 PHẦN 1.HỆ PHƢƠNG TRÌNH ĐƠN GIẢN 4 A.HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 4 I.HỆ PHƢƠNG TRÌNH CỔ ĐIỂN 4 B.HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN 13 C.HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN 16 I.HỆ GỒM 1 PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ 1 PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI 16 II. HỆ PHƢƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 1 17 III. HỆ PHƢƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 2 29 IV. HỆ PHƢƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP 35 D. HỆ PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỈ 42 E.HÊ PHƢƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 75 F.HỆ PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC 92 PHẦN 2. HỆ PHƢƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC 103 PHẦN 3. TRẮC NGHIỆM 122 PHẦN 4. CÓ THỂ EM CHƢA BIẾT ? 133 PHẦN 5. PHỤ LỤC 137 Trang 2 A.HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN I. Hệ phương trình cổ điển: 1/ Phƣơng pháp: Hệ pt bậc nhất 2 ẩn có dạng: 1 1 12 2 2a x b y ca x b y c * TH 1: a1 = b1= a2= b2=0, ta có; 1200cc * TH2: 2 1 2 21 1 2 20a b a b . Tính: 1122abDab ; 1122xcbDcb ; 1122yacDac + Nếu 0D : hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất: xyDxDDyD + Nếu D = 0 0xD hay 0yD : hệ phương trình vô nghiệm. Dx = Dy = 0 : hệ phương trình có vô số nghiệm: xR, được tính theo x 2/ Ví dụ: VD1: Giải hệ phương trình:6 3 25114 2 4211xyyxxyyx Đặt 21,11xyuvyx. Hệ đã cho trở thành 23 2 512 4 22uuvuvv Ta được hệ phương trình: 21202 2 111211212xxxyyxyyyx Vậy 10;2S Đúng: hpt có vô số nghiệm ,x R y R Sai: hpt vô nghiệm 3 VD2:Định m để hệ vô nghiệm 22 3 1 32m x m yIm x y y 22 3 1 322m x m yImx m y Ta có 2 3 22 2 3 1 2 7 33 2 6 1 3xD m m m m m m mD m m m Hệ đã cho vô nghiệm 2322002 7 3 02 7 3 030012 7 3 0 32xDIDm m mm m mmmm m m m Vậy hệ vô nghiệm khi: 132mm VD3: định m để hệ có vô số nghiệm: 416 2 3x my mm x y m Ta có: 2228 6 6 82 1 3 24 3 1 6 11 18xyD m m m mD m m m m mD m m m m m Hệ có vô số nghiệm 000xyDDD 22268242 2 1 22911 18mmmmm m m m mmmmm Vậy hệ có vô số nghiệm khi m= -2. VD 4: Tìm các giá trị của b sao cho với mọi thì hệ phương trình sau có nghiệm 221x ay bax a y b Ta có: 221210 2 1 0 12D a aD a a a a 4 Thì hệ luôn có nghiệm Khi a = -1, hệ trở thành: 222x y bx y b Hệ có nghiệm 220 0 1b b b b b b Khi 12a , hệ trở thành 22xybx y b Hệ có nghiệm 212 2 1 0 02b b b b b b Vậy hệ có nghiệm với mọi akhi: 010102bbbbb VD5: Giải và biện luận hệ phương trình sau: 1111a x byb x ay Hệ tương đương: 1111ax a by ax by abx b ay bx ay b Ta có: 221xyD a b a b a bD a b a bD a b Biện luận: 1/ 2200D a b a b Hệ có nghiệm duy nhất: 11xya b a bDxD a b a bDyD a b 2/ 0; 0; 0xya b D D D * 0b : Hệ có vô số nghiệm. 3/ ; 0; 2ya b D D b 0; 0; 0yb D D hệ vô nghiệm 4/ 0. 0. 10:0. 0. 1xyabxy hệ vô nghiệm VD6: Tìm m để hệ phương trình ( 1) 8 4( 3) 3 1m x y mmx m y m có nghiệm duy nhất Hướng dẫn giải: Ta có: 1mDm 83m 2( 1)( 3) 8 4 3m m m m m Hệ đã cho có nghiệm duy nhất20 4 3 0D m m 5 1mvà 3m . VD7:Giải và biện luận hệ phương trình:2 (1)4 6(2)mx y mx my m Hướng dẫn giải: Từ (1) suy ra 2y mx m, thay vào (2) ta được: 224 ( 2 ) 6 (4 ) 2 6x m mx m m m x m m 2( 4) ( 2)(2 3)m x m m (3) i) 24 0 2mm : Hệ có nghiệm duy nhất: 22 3 2 3; 2 22 2 2m m m mx y mx m mm m m ii) m=2: Hệ trở thành 24244 2 8xyxyxy . Hệ có vô số nghiệm ( ;2 4);x x x R iii) m=-2:(3) trở thành04x :Hệ vô nghiệm. Bài tập củng cố: Bài 1:Giải hệ phƣơng trình: ( 3) 5))( 2)( 5)1 1 34)1 1 26 5 15x y xyax y xyxybxy c/5 4 37 9 8xyxy d/3 2 75 3 1xyxy e/3 2 12 2 3 0xyxy f3( )7553xyxyxyyx 6 g/6539 101xyxy h/6232234122x y x yx y x y k/1111mx y x ynx y x y j/41312241xyxy l/2 4 12 4 2 5xyxy Bài 2: Giải và biện luận hệ phƣơng trình: a)242x mymx y m b)27 4 25 3 136xyxymx y m c/01x mymx y m d/2 3 5( 1) 0ax ya x y e/42 ( 1)mx y mx m y m 7 f/312 ( 1) 3mx y mx m y g/1020mx yx my Bài 3:Tìm các giá trị của m để nghiệm của hệ phƣơng trình sau là số dƣơng: 23xymx y Bài 4: Cho hệ phƣơng trình: 21mx y mx my m a/ tìm m đễ hệ có nghiệm duy nhất. Tìm hệ thức liên hệ x, y độc lập với m. b/ Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên. Bài 5: Cho hệ phƣơng trình: 302 1 0x my mmx y m a/ Định m để hệ có nghiệm duy nhất b/ gọi (x,y) là nhgiệm của hệ,tìm hệ thức liên hệ giữa x,y độc lập với m. Bài 6: Định m nguyên để hệ có nghiệm nguyên 1/2( 1) ( 1) 1mx y mm x m y ; 2/2222( 1) 1mx y mm x y m Bài 7: Định m để hệ sau có vô số nghiệm: 1/2( 2) (5 3) 2( 2)( 2) 3 2m x m y mm x my m 2/41( 6) 2 3x my mm x y m 3/2 ( 1) 232x m ymx y m Bài 8: Cho 4 số a,b,p,q thỏa mãn abpq (p-q) khác 0. Hãy giải hệ phƣơng trình. 2 2 3 32 2 3 3 4 400ap bq x ap bq y ap pqap bq x ap bq y ap bq Bài 9: Bằng định thức, giải các hệ phương trình sau: 1/ 5 4 37 9 8xyxy 2/3 2 75 3 1xyxy 3/3 2 12 2 3 0xyxy 8 4/ 2 4 12 4 2 5xyxy 5/ 41312241xyxy 6/ 3( )7553xyxyxyyx 7/ 6539 101xyxy 8/6232234122x y x yx y x y 9/ 125xayx 10/ 1111mx y x ynx y x y 11/ 221xyxy Bài 10: Một ca nô chạy trên dòng sông trong 8 giờ, xuôi dòng 135 km và ngược dòng 63 km. Một lần khác, ca nô cũng chạy trên sông trong 8 giờ, xuôi dòng 108 km và ngược dòng 84 km. Tính vận tốc dòng nước chảy và vận tốc của ca nô( biết rằng vận tốc thật của ca nô và vận tốc dòng nước chảy trong cả hai lần là bằng nhau và không đổi) Bài 11 : Một miếng đất hình chữ nhật có chu vi 2p ( mét). Nếu mở rộng miếng đất đó bằng cách tăng một cạnh thêm 3 mét và cạnh kia thêm 2 m thì diện tích tăng thêm 246 m2. Tính các kích thước của miếng đất đó ( biện luận theo p). Bài 12 : Giải và biện luận các hệ phương trình: 1/01x mymx y m 2/2 3 5( 1) 0ax ya x y 3/21( 1)ax yx a y a 4/( 2) ( 4) 2( 1) (3 2) 1a x a ya x a y 5/ 1 (2 3)( 1) 3 6a x a y aa x y 6/ 13 2 3x mymx my m 7/ 42 ( 1)mx y mx m y m 8/3( )21xyaxyx y ayx 9/6 . (2 ) 3( 1) 2a x a ya x ay 10/121x mymx y m 11/ . . 1. . 1a x b y ab x a y b 12/ 1020mx yx my 13/22.2a x by a bbx ay ab 14/ 22.a x y abx y b 15/22 4a x b y a bbx b y b 16/312 ( 1) 3mx y mx m y 17/5 ( 2)( 3) ( 3) 2x a y aa x a y a Bài 13 : Với giá trị nào của a thì mỗi hệ phương trình sau có nghiệm: 1/ ( 1) 1( 1) 2a x y ax a y 2/ ( 2) 3 3 9( 4) 2a x y ax a y 3/2( 1) ( 1) 1ax y aa x a y 4/3134x ayax y a 5/32 3 4( 1) ( 1) 2( 1) ( 1) 1a a x a a y aa x a y a 9 Bài 14: Tìm tất cả các cặp số nguyên (a;b) sao cho hệ phương trình sau có nghiệm: 264ax byx by Bài 15 : Định m để các hệ phương trình sau vô nghiệm: 1/ 21( ) 2mx my mm m x my 2/ 22 3( 1) 3( ) 2 2m x m ym x y y 3/ 25(2 ) 4(2 1) 2m x m mmx m y m Bài 16 : Định ( a; b ) để hệ phương trình sau vô nghiệm : ax by a bbx ay a b Bài 17: Định m để hệ phương trình sau có vô số nghiệâm: 1/2( 2) (5 3) 2( 2)( 2) 3 2m x m y mm x my m 2/41( 6) 2 3x my mm x y m 3/ ( 1)3 (5 ) 2 1mx m y mx m y m 4/ 2 ( 1) 232x m ymx y m 5/ (1 ) ( )(5 ) 2( ) 1a x a b y b aa x a b y b 6/ 22224a x by a bbx by b 7/ 2 2 2 2 2( ) ( )( ) ( ) 1a b x a b y aa b x a b y a Bài 18: Định m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất: 1/8 4 4 0( 1) ( 2) 4 3 0mx y mm x m y m 2/ 21( 1) 122( 3) 2( 2)m m mxymmxy 3/( 5) (2 3) 3 2(3 10) (5 6) 2 4m x m mm x m y m 4/ ( 1)( 2) 1( 3) 2( 2) 2 4m x m y mm x y m 5/222( 3) 1mx y mx m y m 6/21x y mmx my m 7/12x mymx y m Bài 19: Cho hệ phương trình :21mx y mx my m 1/ Định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất .Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y độc lập với m. 2/ Định m nguyên để hệ nghiệm nguyên có nghiệm duy nhất của hệ là nghiệm nguyên. Bài 20: Định m nguyên để hệ có nghiệm nguyên: 1/2( 1) ( 1) 1mx y mm x m y 2/ 2222( 1) 1mx y mm x y m Bài 21: Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất nguyên: 1/ 22( 1) 2 12m x y mm x y m m 2/602 1 0mx yx my m 10 3/321mx y mx my m Bài 22: Cho hệ phƣơng trình: ( 1) 3 125m x my mx y m Định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) mà x2 + y2 nhỏ nhất Bài 23: Cho hệ phƣơng trình 2( 1) 2 12m x my mmx y m Định m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) mà x.y lớn nhất. Bài 24: Cho hệ phƣơng trình :. 2 21a x yx ay 1/ Chứng minh rằng hệ phương trình có nghiệm với mọi a. 2/ Tìm a để hệ có nghiệm ( x; y) thỏa mãn: x + y > 0 Bài 25: Tìm b để hệ phương trình sau có nghiệm với mọi giá trị của a: 23ax y bx ay b b Bài 26: Xác định a, b, c để hệ phƣơng trình 2( 1) 10 3ax by a bc x cy a b có vô số nghiệm, đồng thời x = 1, y = 3 là một nghiệm trong các nghiệm đó. Bài 27: Cho hệ phương trình:( 1) ( 1)(3 ) 3 2m x m y mm x y 1/ Tìm các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm. Khi đó, hãy tính theo m các nghiệm của hệ . 2/ Tìm nghiệm gần đúng của hệ, chính xáx đến hàng phần nghìn khi m Bài 28: Cho hệ phƣơng trình: 302 1 0x my mmx y m 1/ Định m để hệ có nghiệm duy nhất 2/ Gọi (x;y) là nghiệm của hệ. Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y độc lập với m. B. HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 3 ẨN: 1. Phƣơng pháp: Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng : 11 1 1 1 12 2 22 2 2 23 3 3 3, 0, 1,2,3i i ia x b y c z da x b y c z d a b c ia x b y c z d Các phương pháp giải hệ phương trình này là: pp Gau – xơ, pp Cramer, pp thế. 2. Ví dụ: VD1: Giải hệ:3 2(1)4 2 3 15(2)2 4 7(3)x y zx y zx y z Hướng dẫn giải: Ta khử ẩn z ở phương trình (2) và (3) bằng cách nhân (1) với 3 rồi cộng vào (2), nhân (1) với -4 rồi cộng vào (3). Khi đó ta được: 327 7 21(2')2 11 15(3')x y zxyxy Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn (2’) và (3’) ta được x=-2,y=1. Thay các giá rị này vào (1) ta được z=3. Vậy hệ đã cho có nghiệm (-2;1;3). VD 2:Biết rằng hệ phương trình ax by cbx cy acx ay b có nghiệm Hãy chứng minh:3 3 33a b c abc Hướng dẫn giải: Giả sử (x;y) là nghiệm của hệ đã cho. Khi đó: ax by cbx cy acx ay b, suy ra 232323()()()c ax by ca bx cy ab cx ay b Cộng từng vế ta được:3 3 3 2 2 2 2 2 2a b c a bx a cy b cx b ay c ax c by ( ) ( ) ( )3ab ax by bc bx cy ca cx ayabc bca cab abc Bài tập củng cố: 1/Giải hệ phƣơng trình: 12 21) 6 3 2 54 2 3 163 2 5)04 5 325) 2 2 57 10x y za x y zx y zx y zb x y zx y zx y zc x y zx y z d)4 4 05 2 38 2 1x y zxyzz y z e)11253 2 14x y zx y zx y z f)222234x xy xzy yz xyz xz yz g) 3 2 92 3 2 34 3 11x y zx y zx y z h) 3 2 22 5 53 7 4 8x y zx y zx y z j) 522 9 2 83 4 5x y zx y zx y z 2/ Giải và biện luận hệ phƣơng trình theo tham số m,a 12) 5 4 465 3 38x y za ax y zx ay z 2)32ax y z ab x ay z ax y az 13 c)2244 ( 1)xyxyx y m z m e) 12 3 332x y zx y mxx my z 3/ Giải và biện luận hệ phƣơng trình (với a,b,c là tham số, a+b+c0) 0)00)ax by cza bx cy azcx ay bzax by cz a b cb bx cy az a b ccx ay bz a b c c) ( )( )( )( )( )( )a b x y cz a bb c y z ax b ca c x z by c a d) 233258x y z ax y z bx y z c 4/ Giải hệ phƣơng trình:1/6543127xyxyyzyzzxzx ;52) 117( ) 43) ( ) 9( ) 1xy x yyz y zzx z xx y zy z xz x y Bài 5: Giả sử hệ : ax by cbx cy acx ay b có nghiệm Chứng minh rằng: 3 3 33a b c abc Bài 6: Cho tam giác ABC có các cạnh a = 7, b = 5, c = 3.Hãy tìm bán kính đƣờng tròn tâm A, tâm B, tâm C đôi một tiếp xác nhau. 14 C.HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN: I. Hệ phƣơng trình gốm 1 phƣơng trình bậc nhất và 1 phƣơng trình bậc hai: 1. Phƣơng pháp: Có dạng : 22ax by cdx exy fy gx hy k Từ phương trình bậc nhất, ta tính y theo x ( hay x theo y) và thế vào phương trình bậc hai để được phương trình bậc hai theo 1 ẩn x ( hay ẩn y) 2. Ví dụ: Bài tập củng cố: Bài 1:Giải các hệ phƣơng trình sau: 1/22 3 124xyx xy 2/3 4 1 03( ) 9xyxy x y 3/2 3 260xyxy x y 4/ 242 5 0y x xxy 5/ 222 3 53 2 4xyx y y 6/22257xyx xy y 7/223 2 5 4 024x xy y x yxy 8/222164xyxy 9/225721x xy yxy 10/222 7 02 2 4 0xyy x x y 11/ 24 9 63 6 3 0xyx xy x y 12/222 3 7 12 110x xy y x yxy 13/(2 3 2)( 5 3) 031x y x yxy Bài 2: Giải các hệ phƣơng trình sau: 1/221 1 13 2 31 1 19 4 4xyxy 2/221 1 1131 1 1( 1) 4xyxy 3/ 32124x y x yxyxy Bài 3: Giải các hệ phƣơng trình : 1/42( ) 4( ) 117 025x y x yxy 2/ 22(18 18 18 17)(12 12 1) 03 4 0x x y x xyxy 3/3317xyxy 4/ 22( )( ) 455x y x yxy Bài4: Giải các hệ phƣơng trình: 15 1/22( ) 2( ) ( )( ) 22x a y a x a y axy 2/22( ) ( ) 1127x m y y x mx y m 3/222( ) ( 2 ) 23 2 5x m y m mx y m Bài 5: Giải và biện luận theo tham số a của hệ phƣơng trình: 4 4 4x y ax y a II. Hệ phƣơng trình đối xứng loại 1: 1. Phƣơng pháp: Hệ đối xứng loại 1 có đặc trưng là nếu thay x bởi y, y bởi x thì mỗi phương trình trong hệ không đổi. Cho hệ đối xứng loại 1: (I) ( ; ) 0( ; ) 0f x yg x y - Đặt S = x + y và P = x.y, biến đổi hệ (I) thành hệ theo S và P : (II)( ; ) 0( ; ) 0F S PG S P Giải hệ (II) để tính S và P. Điều kiện để tồn tại x, y là 20040SP Với mỗi cặp nghiệm ( S0 ; P0) của (II) thì x, y là nghiệm của phương trình X2 – S0P + P0 = 0. Ngoài ra, ta cũng có thể đặt ẩn phụ thì hệ phương trình mới có dạng đối xứng, nhưng khi đó ta cần lưu ý đến điều kiện. * Chú ý: Tính chất của nghiệm đối xứng : - Nếu ( xo ; y0) là một nghiệm thì ( x0 ; y0) cũng là một nghiệm của hệ. Do đó, nếu hệ có nghiệm duy nhất ( x0 ; y0) thì nghiệm đó cũng là ( y0 ; x0), suy ra x0 = y0. 2. Ví dụ: VD1: Giải hpt sau: 2232x y xyIx y y x Đây là hpt đối xứng loại 1 32x y xyIxy x y Đặt: S x yP xy với 240SP Hpt đã cho trở thành: 16 321221SPSPSPlSP Với 21SP thì 21xyxy 11xy Vậy hệ có nghiệm x = 1 và y = 1 VD2: Giải hệ phương trình: 222287x y x yx y xy Hướng dẫn giải: Ta có 222287x y x yx y xy 22( ) 8( ) 7x y xy x yx y xy Có dạng 22287S P SSP với S x yP xy 2222( 7) 87S S SPS thoả S2 – 4P 0 Với 2 3 13 1 3S x y x xhayP xy y y Với 3 1 22 2 1S x y x xhayP xy y y VD3: Giải hệ phương trình: 222 3 26x xy yxy Hướng dẫn giải: Đặt S x y; P xy, ta có hệ: 2 2 222 10 6 2 ( 1) (3 2)2 3 2262 3 2 2 3 2S S SSPSPS P P S 17 2222426 4 2SPSP Với 22S ;22P ; x,y là nghiệm phương trình: 22(2 2) 2 2 02XXXX Với 42S ;6 4 2P ;x,y là nghiệm phương trình: 2(4 2) 6 4 2 0XX : vô nghiệm. Vậy hệ có nghiệm: (2; 2)và ( 2;2). VD4: Giải hệ phương trình: 332( ) 2xyxy x y Hướng dẫn giải: 3 3 32 ( ) 3 ( ) 2( ) 2 ( ) 2x y x y xy x yxy x y xy x y Đặt: ;u x y v xy Ta có 333 2 6 222u uv uuv uv 2221uuuv v Vậy21xyxy x,y là nghiệm của phương trình 22 1 0XX 1X Vậy nghiệm ( ; )xy của hệ đã cho là (1;1). VD5: Cho hệ phương trình: 22x y xy mx y m 1/ Giải hệ với m=5 2/ Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm? Giải: 1/Với m=5, ta có: 18 2255x y xyxy 25( ) 2 5x y xyx y xy 22522 5 2 15 0S P P SS P S S 32510SPSP Ta chỉ nhận 32SP thoả S2- 4P0 Ta chỉ nhận 32SP thoả S2 – 4P0 nên x,y là nghiệm của phương trình X2 – 3X +2 =0 12XX Vậy 1221xxhayyy 2/ Giá trị của m để hệ có nghiệm Ta có: 2 2 2(1)2 (2)x y xy m S P mx y m S P m với S x yP xy 223 3 02( )P m SS S mS m S m 1112221 1 31 1 3SmP m SSmP m S ( với điều kiện 1+3m0m-13) Với m-13 hệ phương trình sẽ có nghiệm nếu S24P hay: 21122244SPSP22( 1 1 3 ) 4( 1 1 3 )( 1 1 3 ) 4( 1 1 3 )m m mm m m 1 1 3 2 1 3 4 4 4 1 31 1 3 2 1 3 4 4 1 3m m m mm m m m 2 1 3 ( 2)2 1 3 2 0mmmm (loại vì m-13) ( với m-13) 4(1+3m)m2+4m+4 m2-8m0m 0;8 Vậy m 0;8 Giả sử (x,y) là nghiệm của hệ phương trình: 19 VD6:Cho hệ phƣơng trình 2 2 22123x y ax y a a Xác định a để tích xy nhỏ nhất Giải Ta có: 222212132 2 3322SsSaaS P a aPa Để phương trình có nghiệm thì :S2 - 2P0 (2a – 1)2-4(232a- 3a + 2)0 -2a + 8a -70 a222 ;222 P = xy =23322aa là biểu thức hàm bậc hai có hoành độ đỉnh cực tiểu nhỏ nhất tại a= 1 2-22 Vậy xy đạt giá trị nhỏ nhất tại a=2- 22 VD7: Cho hệ phương trình 2238x y xy ax y xy a a/ Giải hệ với a = 72 b/ Với giá trị nào của a thì hệ có nghiệm Giải a/ Ta có : 2222387252x y xy ax y xy ax y xyx y xy 725.2SPSP152521SPSP Ta chỉ nhận 521SP thoả điểu kiện S2 – 4P 0 và x, y là nghiệm của phương trình 20 X2 - 52X + 1= 0 212XX Vậy 21 hay 2122xxyy b/ Trường hợp tổng quát . 3 8S P aS P a thì S,P là nghiệm của phương trình X2 – aX +3a – 8 =0 (1) Phương trình có nghiệm khi 24(3 8) 0aa 2412 32 08aaaa Với điều kiện đó phương trình (1) có nghiệm 212212 32212 322a a aXa a aX Nếu chọn S=212 322a a a và P=212 322a a a thì hệ có nghiệm khi S2 – 4P 0 ( 212 32a a a )2 8( 212 32a a a ) a2 – 10a +16 (a+4) 212 32aa (a - 2)(a – 8) (a+4) ( 4)( 8)aa (2) Nếu chọn S=212 322a a a và P= 212 322a a a thì hệ có nghiệm khi: S2 – 4P 0 (a – 2)(a – 8) -(a+4) ( 4)( 8)aa (3) Từ (2) va (3) suy ra: (a – 2)(a – 8) - 4a ( 4)( 8)aa (4) Vì (a – 2)(a – 8) 0 2 8aathì thỏa (4) Do đó với a 2;4 thì (a – 2)(a – 8) < 0 nên 21 (4) 2 2 22( 2) ( 8) ( 4) ( 4)( 8)4 13 8 013 3 33 13 3 33;88a a a a aaaa Kết hợp với các điều kiện trên ta thấy hệ phương trình đã cho có nghiệm khi a13 3 338 hay a8 Bài tập củng cố: Bài 1/ Giải hệ phương trình: 2242x xy yx xy y HD: Đặt S= x + y & P= xy với điều kiện S2 - P 0 ta được kết quả 20 hay 02xxyy Bài 2/ Giải hệ phương trình 3035x y y xx x y y HD: Đặt S= xy& P=xy ta được kết quả 9449xxhayyy Bài 3/ Giải hệ phương trình 222 3 26x xy yxy HD: Đặt S= x + y & P= xy với điều kiện S2 - P 0 ta được kết quả 2222xxhayyy Bài 4/ Giải hệ phương trình a) 22221( ) 1 5119xyxyxyxy HD: 135 hay 23512xxyy Bài 5/Giải hệ phương trình: 22 225)7xyax xy y c)22221151149xyxyxyxy 2215)42xybx y x y 3 3 3 317)5x x y ydx xy y Bài 6/ Giải hpt sau: 559 9 4 41xyx y x y ( ĐS: 0;1 , 1;0) Giải hệ phương trình: 2242x xy yx xy y HD: Đặt S= x + y & P= xy với điều kiện S2 - P 0 ta được kết quả 20 hay 02xxyy Bài 7: Cho hệ phương trình 2224 (1)3 4 (2)x xy y ky xy 1/ Giải hệ với k = 1 2/ Chứng tỏ rẳng hệ có nghiệm với mọi k HD: 1/ 11 hay 44xxyy 2/ ket hợp 2 phương trình để tìm x theo y va thay vào phương trình còn lại để còn một phương trình theo ẩn y duy nhất Bài 8: Cho hệ phương trình 2222(1 )( ) 4x y axy 1/ Giải hệ với a=1 2/ Tìm các giá trị của a để hệ có đúng 1 nghiệm HD: 1/ Đặt S= x + y & P= xy với điều kiện S2 - P 0 ta được kết quả 02 hay 20xxyy 2/ 2222(1 )( ) 4x y axy 2( ) 2 2(1 )2x y xy axy 12xy axy Điều kiện có nghiệm là (x+y)2 – 4xy 0 4 – 4(1 – a) 0 a0 Vậy x,y là nghiệm của phương trình có cùng biệt số ' a và có 4 nghiệm khác nhau X= 1 a, X’= -1 a khi a>0 ,nên để chỉ còn 2 nghiệm a thì a=0 , lúc đó X=x = y=1, X’=x=y= -1 Vậy hệ phương trình có đúng 2 nghiệm là (1:1) , (-1:-1) khi a=0 Bài 9: Cho hệ phương trình 2222x y mx y x giải va biện luận theo m HD: 1/ Nếu m=-1 Hệ vô nghiệm 23 2/ Nếu m -1, hệ có nghiệm 2222( 1)22( 1)mxmmmym Bài10: Cho hệ phương trình 221x xy y mx y xy m 1/ Giải hệ với m=2 2/ Tìm m để hệ có ít nhất một nghiệm thỏa điều kiện x>0 : y>0 HD: 1/ Đặt S= x + y & P= xy với điều kiện S2 - P 0 ta được kết quả x=y=1 2/x,y là nghiệm của phương trình bậc hai X2 – SX + P =0 từ đó ta suy ra giá trị của m đệ hệ có ít nhất một nghiệm thỏa x>0, y>0 ĐS: m 10; hay m 24 Bài 11: Giải hệ phương trình 3035x y y xx x y y HD: Đặt S= xy& P=xy ta được kết quả 9449xxhayyy Bài 12: Giải hệ phương trình 222 3 26x xy yxy HD: Đặt S= x + y & P= xy với điều kiện S2 - P 0 ta được kết quả 2222xxhayyy Bài 13: Giải hệ phương trình 2222115119xyxyxyxy HD: 135 hay 23512xxyy Bài 7/ Giải và biện luận hệ sau: a) 2233x my xy mx y b) 5 4 41x y xyx y xy m ( ĐS: 114mm ) c) 2 2 2123x y mx y y x m m ( ĐS: m) d) 2221xy x y mx y y x m ( ĐS: 314mm ) e) 222222x y mx yy x my x (ĐS; 1m ) 24 Bài 14: Giải các hệ phương trình sau đây: 1/22104xyxy 2/ 222512xyxy 3/ 22651 1 18xyxy 4/ 2257x y xyx y xy 5/ 222( 2)6x y xyxy 6/ 2258x y xyx y x y 7/ 2212x y xyx y x y 8/ 2265x y xyxy x y 9/ 223( )160x y xyxy 10/1365xyyxxy 11/2233134358xyxy 12/33161xyxy 13/ 2214425xyxy 14/990xyxy 15/ 221642xyxy 16/2222( ) 18011x y xyx y xy 17/ 3 3 3 3175x x y yx y xy 18/ 22408xyxy zxy 19/ 2 2 22 2 2366050x y zx y zx y z 20/ 22356xyxyx y z 21/ 5( ) 2 1915 5( ) 175x y xyxy x y 22/ 221 1 13160xyxy 23/ 221151113xyxy 24/ 13242xxyxxy 25/ 332( ) 2xyxy x y 26/ 221812xyyxxy 25 27/ 4 2 2 42248137x x y yx xy y 28/ 2 2 222( ) ( ) 100( )( ) ( ) 34x xy x yx xy x y x xy x y 29/ 2 2 2 222( 2 ) ( 2 ) ( 2 )( 2 ) 13( 2 )( 2 )( 2 2 ) 12x y y xy x y y xyx y y xy x y y xy 30/ 222 ( 3) 2 ( 3) 9 02( ) 6 0x y x y y xx y xy 31/ 222273x y xyx y xy 32/2222( ) 10x y xyx y xy 32/ 221( 2 ) 10(2 )232xyxyxyxy Bài 15 : Tính hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền thì 185m, biết rằng nếu giảm mỗi cạnh góc vuông đi 4 m thì diện tích giảm 506 m2. Bài 16: Tính các cạnh của một tam giác vuông biết rằng tổng hai cạnh góc vuông là 70m và tổng cạnh huyền với đường cao tương ứng với nó là 74 m. Bài 17: Xác định m để các hệ phương trình sau có nghiệm: 1/221x xy mxy 2/2212x y mxxy 3/221x y mxy 4/222x y mxy Bài 18: Xác định m để các hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất: 1/2 2( 1)( 1)x y x yx y xy m 2/223x y xyx y m Bài 19: cho hệ phương trình : 221x y xy ax y xy a Định a để hệ có ít nhất 1 nghiệm(x;y) thỏa điều kiện x > 0 và y > 0 Bài 20 : Cho hệ phương trình: 226xyx y a Định a để: a/ Hệ phương trình vô nghiệm. b/ Hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất. c/ Hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt. Bài 21: Giả sử x; y là nghiệm của hệ phương trình 2 2 22123x y ax y a a Xác định a để tích x.y là nhỏ nhất. |