mặt Paraboloit, mặt Hypecboloit,....Cho đến thế kỷ XVII, nhà toán học Đêcac(R.Descartes)(1596-1650) đã sáng lập ra môn hình học giải tích một cách độc lập với Phecma(P.Fermat)(1601-1665). Hai ông đã cống hiến cho khoa học một phương pháp mới – phương pháp toạ độ làm cơ sở cho hình học giải tích, môn học đã dùng hệ toạ độ để chuyển những hình ảnh của hình học về ngôn ngữ của đại số. Có thể nói, sự ra đời của khái niệm toạ độ và sau đó là khái niệm vec tơ đã góp phần thúc đẩy sự phát triển của lý thuyết toán học và sự ứng dụng của toán học vào thực tế đời sống. 2.1.2 Căn cứ vào bản chất toán học của kiến thức hình học. Một nội dung,một khái niệm toán học có thể diễn đạt theo ngôn ngữ,ký hiệu khác nhau.Chẳng hạn: + Khái niệm: “M là trung điểm của đoạn thẳng AB”  + Khái niệm: “đường thẳng AB” Như vậy,một khái niệm toán học có thể có những vỏ ngôn ngữ khác nhau và ta có thể dựa vào mỗi cách diễn đạt theo các ngôn ngữ khác nhau ấy mà định hướng để tìm ra các phương pháp khác nhau để giải quyết bài toán hình học. Chẳng hạn,dựa vào cách diễn đạt khái niệm:”Hai mặt phẳng vuông góc với nhau trong không gian” ta sẽ định hướng cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc: 1/ Theo ngôn ngữ tổng hợp: Để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau,ta chứng minh góc giữa hai mặt phẳng đó bằng 900. 2/ Theo ngôn ngữ vec tơ: Để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau,ta chứng minh tích vô hướng (qua phép biến đổi) của hai vec tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng bằng 0. 3/ Theo ngôn ngữ toạ độ:Để chứng minh hai mặt phẳng A1x + B1y + C1z + D1 = 0 và A2x + B2y + C+C2z + D2 = 0 vuông góc với nhau, ta chứng minh biểu thức toạ độ của tích vô hướng hai vec tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng bằng 0. A1.A2 + B1.B2 + C1.C2 \= 0 2.2 THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Trươc khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm tôi nhận thấy việc học sinh THPT ( cụ thể học sinh các lớp 12) khi giải một bài toán hình học không gian thường rất lúng túng, làm bài rất chậm, các đối tượng học sinh trung bình trở xuống thường không làm được các bài hình. 2.3. THỰC HÀNH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN THÔNG QUA VIỆC KHAI THÁC CÁC PHƯƠNG PHÁP KHÁC NHAU. 2.3.1. CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH THẲNG HÀNG Dạng toán 1: Chứng minh ba điểm thẳng hàng * Phương pháp tổng hợp: Để chứng minh ba điểm A,B,C thẳng hàng ta có thể sử dụng một trong các hướng sau: + Chứng minh A,B,C cùng thuộc hai mặt phẳng khác nhau nào đó + Chứng minh AB và AC cùng song song với một đường thẳng nào đó... * Phương pháp vec tơ + Chứng minh + Chứng minh với điểm O tuỳ ý có: + Chứng minh với điểm O tuỳ ý có: * Phương pháp toạ độ Chọn hệ trục toạ độ Oxyz + Biểu thị toạ độ A,B,C theo hệ toạ độ đã chọn: A(xA;yA;zA), B(xB;yB;zB) ,C(xC;yC;zC) + Tính toạ độ của + Chỉ ra sự tồn tại Hoặc thay toạ độ cuả điểm C vào phương trình đường thẳng AB thấy thoả mãn Ví dụ 1:Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1. Gọi G là trọng tâm tam giác A1BD. Chứng minh rằng A,G,C1 thẳng hàng. Lời giải * Phương pháp tổng hợp: Chứng minh A,G,C1 cùng thuộc hai mặt phẳng khác nhau. Ta có: Vậy Mặt khác Vậy Từ trên suy ra ba điểm A,G,C1 thẳng hàng Phương pháp vec tơ. Quy trình giải bài toán gồm: + Bước 1: Chọn hệ vec tơ gốc,biểu diễn các dữ kiện của bài toán sang ngôn ngữ vec tơ: - Chọn hệ vec tơ gốc - Để chứng minh rằng A,G,C1 thẳng hàng, ta chứng minh + Bước 2: Biến đổi các biểu thức vec tơ phù hợp với yêu cầu bài toán. Ta có: \= + Bước 3: Chuyển kết luận ra ngôn ngữ hình học tổng hợp Như vậy,ta có: * Phương pháp toạ độ : Quy trình giải bài toán gồm: + Bước 1: Chọn hệ toạ độ,chuyễn các dữ kiện bài toán sang ngôn ngữ toạ độ Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho: O B(0;b;c),D(a;0;c),C1(a;b;0).Vì G là trọng tâm tam giác nên: G = + Bước 2: Biến đổi các biểu thức toạ độ. Ta có: + Bước 3: Chuyển kết luận ra ngôn ngữ hình học tổng hợp Dạng toán 2:Cho ba điểm A,B,C thẳng hàng, từ đó suy ra các tính chất khác. Ví dụ 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1. P là điểm trên đường thẳng CC1 sao cho đường thẳng BD1 sao cho M,N,P thẳng hàng.Tính Lời giải: · Phương pháp tổng hợp: Ta có: do đó MD1D=.....suy ra từ đó * Phương pháp vec tơ. Quy trình giải bài toán gồm: + Bước 1: Chọn hệ vec tơ gốc, biểu diễn các dữ kiện của bài toán sang ngôn ngữ vec tơ: Chọn hệ vec tơ gốc : Theo giả thiết,ta có: Vì M,N,P thẳng hàng nên: Vì B,N,D1 thẳng hàng nên: + Bước 2: Biến đổi các biểu thức vec tơ phù hợp với yêu cầu bài toán. Tacó: Lại có Từ (1) và (2)suy ra: · Phương pháp toạ độ: Quy trình giải bài toán gồm: + Bước 1: Chọn hệ toạ độ,chuyển các dữ kiện bài toán sang ngôn ngữ toạ độ Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho: C Khi đó: C(0;0;0), B(a;0;0), D(0;b;0),C1(0;0;c) ,D1(0;b;c), D + Bước 2: Biến đổi các biểu thức toạ độ. Mặt phẳng (BD1P) (chứa N) đi qua B(a;0;0) có vec tơ chỉ phương là nên có phương trình: 3bcx+acy+2abz-3abc = 0 (3) Đường thẳng AD có phương trình: do đó M có toạ độ là nghiệm của hệ (3) và (4) nên M= + Bước 3: Chuyển kết luận ra ngôn ngữ hình học tổng hợp 2.3.2 CÁC BÀI TOÁN VỀ QUAN HỆ SONG SONG. Dạng toán 1: Chứng minh đường thẳng song song với đường thẳng, đường thẳng song song với mặt phẳng, hai mặt phẳng song song. · Phương pháp tổng hợp: + Để chứng minh hai đường thẳng a và b song song với nhau,ta chứng minh chúng đồng phẳng rồi áp dụng các cách chứng minh trong hình học phẳng như: tính chất đường trung bình, định lý Talet đảo...hoặc chứng minh hai đường thẳng đó cùng song song với một đường thẳng thứ ba,... + Để chứng minh a//(P) ta chứng minh a//b với b + Để chứng minh hai mặt phẳng song song với nhau, ta chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳg cắt nhau cùng song song với mặt phẳng kia,... · Phương pháp vec tơ, phương pháp toạ độ Khi giải bài toán dạng này, ta có thể tiến hành:Chuyển các dữ kiện của bài toán ra ngôn ngữ vec tơ hoặc toạ độ,sau đó biến đổi các đẳng thức vec tơ (hoặc toạ độ) thu được về dạng các đẳng thức vec tơ (hoặc toạ độ) tương đương với các điều kiện song song. Ví dụ3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1. M là điểm chia đoạn AD theo tỉ số Lời giải * Phương pháp tổng hợp: Đặt O = J = Ta có: Mặt khác * Phương pháp vec tơ. Quy trình giải bài toán gồm: + Bước 1: Chọn hệ vec tơ gốc, biểu diễn các dữ kiện của bài toán sang ngôn ngữ vec tơ: Chọn hệ vec tơ gốc : + Bước 2: Biến đổi các biểu thức vec tơ phù hợp với yêu cầu bài toán. Ta có: + Bước 3: Chuyển kết luận ra ngôn ngữ hình học tổng hợp * Phương pháp toạ độ: Quy trình giải bài toán gồm: + Bước 1: Chọn hệ toạ độ,chuyển các dữ kiện bài toán sang ngôn ngữ toạ độ. Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho: C + Bước 2: Biến đổi các biểu thức toạ độ. Mặt phẳng (BC1D) có phương trình là: Đường thẳng MN có vec tơ chi phương + Bước 3: Chuyển kết luận ra ngôn ngữ hình học tổng hợp Vì Dạng toán 2:Cho biết các quan hệ song song,từ đó suy ra các tính chất hình học khác. Ví dụ 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1. M là điểm trên đường chéo AC của mặt phẳng (ABCD), N là điểm trên đường chéo thẳng C1D của mặt phẳng (CDD1C1) sao cho MN//BD1. Tính tỉ só * Phương pháp tổng hợp: Đặt I = Ta có: Vậy * Phương pháp vec tơ. Quy trình giải bài toán gồm: + Bước 1: Chọn hệ vec tơ gốc, biểu diễn các dữ kiện của bài toán sang ngôn ngữ vec tơ: Chọn hệ vec tơ gốc : + Bước 2: Biến đổi các biểu thức vec tơ phù hợp với yêu cầu bài toán. Tacó: Vậy + Bước 3: Chuyển kết luận ra ngôn ngữ hình học tổng hợp · Phương pháp toạ độ: Quy trình giải bài toán gồm: + Bước 1: Chọn hệ toạ độ,chuyển các dữ kiện bài toán sang ngôn ngữ toạ độ Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho: A + Bước 3: Chuyển kết luận ra ngôn ngữ hình học tổng hợp . 2.3.3 CÁC BÀI TOÁN VỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC. Dạng toán 1: Chứng minh tính vuông góc của các đường thẳng và mặt phẳng. · Phương pháp tổng hợp: * Để chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P), ta có thể chứng minh: + a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong (P). + a song song với dường thẳng b mà b + Sử dụng định lý:” Nếu a thuộc mặt phẳng (P) mà (P) vuông góc với (Q) và a vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) thì a + Sử dụng định lý:” Nếu a là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) cùng vuông góc với mặt phẳng (R) thì a vuông góc với mặt phẳng (R)”... * Để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau,ta có thể chứng minh : + Mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia. + Góc giữa hai mặt phẳng có số đo bằng 900.... · Phương pháp vec tơ: Để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau,ta quy về chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, để chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng,ta quy về chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng. Như vậy đối với phương pháp vec tơ ta chỉ cần chú ý: AB · Phương pháp toạ độ + Để chứng minh AB (xB-xA)(xD-xC)+ (yB-yA)(yD-yC)+ (zB-zA)(zD-zC)=0 + Để chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ta chứng minh vec tơ chỉ phương của đưòng thẳng cùng phương với vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng. + Để chứng minh hai mặt phẳng A1x + B1y + C1z + D1 = 0 và A2x + B2y + C2z + D2 = 0 vuông góc với nhau, ta chứng minh A1.A2 + B1.B2 + C1.C2 \= 0 Ví dụ5: Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1. Gọi P là trung điểm của AB, Q là giao điểm của BC1 và CB1. Chứng minh rằng D1Q Lời giải: * Phương pháp tổng hợp : D1Q · Phương pháp vec tơ. Quy trình giải bài toán gồm: + Bước 1: Chọn hệ vec tơ gốc, biểu diễn các dữ kiện của bài toán sang ngôn ngữ vec tơ: Chọn hệ vec tơ gốc + Bước 2: Biến đổi các biểu thức vec tơ phù hợp với yêu cầu bài toán. Ta có + Bước 3: Chuyển kết luận ra ngôn ngữ hình học tổng hợp * Phương pháp toạ độ: Quy trình giải bài toán gồm: Q là trung điểm của B1C nên + Bước 2: Biến đổi các biểu thức toạ độ. Ta có: Dạng toán 2: Cho biết các đường thẳng hay mặt phẳng vuông góc rồi từ đó suy ra các tính chất hình học khác. Ví dụ 5 Cho hình chóp S.ABCD, đáy là nửa lục giác đều.AB = B = CD = a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và 1)Tính tỉ số 2)Tính diện tích thiết diện tạo bởi hình chóp và mặt phẳng (AMD) Lời giải:* Phương pháp tổng hợp:
do đó: AM 2/ Thiết diện là hình thang AMND có diện tích S được tính theo công thức: MN là đường cao của hình thang và AD = 2a , Tính MH: Vì AM với AM = Vậy * Phương pháp vec tơ. Quy trình giải bài toán gồm: + Bước 1: Chọn hệ vec tơ gốc, biểu diễn các dữ kiện của bài toán sang ngôn ngữ vec tơ: Chọn hệ vec tơ gốc : Khi đó ta có: + Bước 2: Biến đổi các biểu thức vec tơ phù hợp với yêu cầu bài toán.
Khi đó (1) Vậy · Phương pháp toạ độ: Quy trình giải bài toán gồm: + Bước 1: Chọn hệ toạ độ, chuyển các dữ kiện bài toán sang ngôn ngữ toạ độ Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho: A Khi đó: A(0;0;0),D(2a;0;0), S(0;0;a + Bước 2: Biến đổi các biểu thức toạ độ. Đặt M= ( x0;y0;z0) Vậy 2.3.4 CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH KHOẢNG CÁCH Dạng toán 1: Chứng minh tính vuông góc của các đường thẳng và mặt phẳng. · Phương pháp tổng hợp: + khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a: d(M;a) = MH ( MH + khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) được xác định như sau: - Chọn trong (P) một đường thẳng a rồi dựng mặt phẳng (Q) qua A vuông góc với a( nên chọn a để mặt phẳng (Q) dễ xác định) - Xác định - Dựng + Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b. Ngoại trừ trường hợp đoạn vuông góc chung có sẵn, ta phải dựng đoạn vuông góc chung bằng các cách sau: Cách 1: (áp dụng cho trường hợp a - Dựng mặt phẳng (P) chứa b và vuông góc với a tại A. - Dựng AB Cách 2: - Dựng mặt phẳng (P) chứa b và song song với a - Chọn M - Từ H dựng a///a; - Từ B dựng đường thẳng song song với MH cắt a tại A,khi đó d(a;b) = AB. · Phương pháp vec tơ: đối với phươngpháp này, ta cần chú ý áp dụng tích vô hướng của hai vec tơ để tính khoảng cách - Khoảng cách giữa hai điểm A và B: - Khoảng cách từ điểm M đến đuờng thẳng a: Giải theo trình tự sau: Chọn A ( - Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) có cặp vec tơ chi phương là Chọn A + Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b lần lượt có hai vec tơ chỉ phương - Chọn A - Gọi MN là đoạn vuông góc chung của a và b, khi đó: - Biểu diễn - Ta tìm được các hệ số x,y nhờ điều kiện vuông góc của * Phương pháp toạ độ: Đối với phương pháp này, ta cần chú ý một số công thức: - Khoảng cách giữa hai điểm A và B: - Khoảng cách từ một điểm - Khoảng cách từ điểm - Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b lần lượt đi qua hai điểm M, M1 có hai vec tơ chỉ phương Chú ý: - Việc tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau có thể quy về tính khoảng cách giưã hai điểm hoặc giữa đường thẳng và mặt phẳng song song hoặc giữa hai mặt phẳng song song. - Việc tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song có thể quy về tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng. Ví dụ 6: Cho tứ diện OABC có các góc AOB=BOC=COA = 900 và OA = a, OB \= b, OC = c. Gọi D là trung điểm của OC.
Lời giải: * Phương pháp tổng hợp:
Xét tam giác vuông AOM có: AM2 = AO2+OM2 = a2+OM2 Ta có: * Phương pháp vec tơ. Quy trình giải bài toán gồm: + Bước 1: Chọn hệ vec tơ gốc, biểu diễn các dữ kiện sang ngôn ngữ vec tơ: Chọn hệ vec tơ gốc : + Bước 2: Biến đổi các biểu thức vec tơ phù hợp với yêu cầu bài toán.
*Phương pháp toạ độ: Quy trình giải bài toán gồm: + Bước 2: Biến đổi các biểu thức toạ độ.
\=> 2.3.5 CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH GÓC * Phương pháp vec tơ: + Góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt có hai vec tơ chỉ phương + Việc tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng quy về tính góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng. + Việc tính góc giữa hai mặt phẳng quy về tính góc giữa hai đường thẳng tương ứng vuông góc với hai mặt phẳng đó. * Phương pháp toạ độ: + Góc giữa hai vec tơ + Góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt có hai vec tơ chỉ phương + Góc giữa đường thẳng d: Ax + By +Cz +D = 0 được xác định: + Góc giữa hai mặt phẳng (P):A1x + B1y + C1z + D1 = 0 và (Q): A2x + B2y + C2z + D2 = 0 được xác định: Ví dụ 7: Cho hai tia Ax1 và By1 hợp với nhau một góc 600. Đường thẳng AB vuông góc với cả hai Ax1 và By1. AB = a. Hai điểm M, N lần lượt nằm trên hai tia Ax1 và By1sao cho AM = m, BN = n. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng MN và AB theo a, m ,n Lời giải: · Phương pháp tổng hợp: \= m2 + n2 –m.n suy ra MN2 = MH2 + AH2 = m2 + n2 + a2 – m.n. Vậy * Phương pháp vec tơ. Quy trình giải bài toán gồm: + Bước 1: Chọn hệ vec tơ gốc, biểu diễn các dữ kiện sang ngôn ngữ vec tơ: Chọn hệ vec tơ gốc : và + Bước 2: Biến đổi các biểu thức vec tơ phù hợp với yêu cầu bài toán. Ta có: * Phương pháp toạ độ: Quy trình giải bài toán gồm:+ Bước 1: Chọn hệ toạ độ,chuyển các dữ kiện bài toán sang ngôn ngữ toạ độ. Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho: Bước 2: Biến đổi các biểu thức toạ độ. Ta có: Vậy 2.4. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 2.4.1 Mục đích thực nghiệm: Nhằm đánh giá tính khả thi, kiểm tra tính đúng đắn của gỉả thuyết khoa học,tính hiệu quả của quy trình giải các bài toán bằng các phương pháp khác nhau: tổng hợp, vec tơ và toạ độ . 2.4.2 Nội dung thực nghiệm: Các tiết thực nghiệm là tiết 38-Tự chọn, và một bài kiểm tra 45 phút trong chương trình lớp 12. Sau khi đã dạy cho học sinh quy trình giải bài toán bằng các phương pháp khác nhau, ở tiết bài tập 38, chúng tôi muốn kiểm tra kỹ năng vận dụng quy trình đó của các em. 2.4.3 Tổ chức thực nghiệm Chúng tôi tiến hành thực nghiệm tại hai lớp của trường THPT Hàm Rồng, lớp thực nghiệm là 12C6 và chọn lớp đối chứng là lớp 12C2. Thời gian thực nghiệm: Năm học 2015-2016 Bài kiểm tra 45 phút Hãy giải các bài toán sau bằng các phương pháp khác nhau: Bài 1: Cho tứ diện OABC có các tam giác AOB, BOC, COA là những tam giác vuông đỉnh O và OA =a, OB = b,OC = c. Tính khoảng cách từ O tới mặt phẳng (ABC). Bài 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1. Gọi M, N lần lượt là các điểm chia hai đoạn thẳng CA và DC1 theo tỉ số 3.2 Kết quả thực nghiệm Lớp 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Số bài Thực nghiệm 0 2 1 3 12 13 11 4 1 47 Đối chứng 2 4 11 13 9 6 2 1 0 48 Kết quả sơ bộ: + Lớp thực nghiệm tỉ lệ học sinh đạt kết quả trung bình trở lên là: 44( tỉ lệ khá giỏi là:55% ) + Lớp đối chứng tỉ lệ học sinh đạt kết quả trung bình trở lên là: 22 ( tỉ lệ khá giỏi là:18% ) 3.3 Kết luận thực nghiệm + Việc dạy học cho học sinh quy trình giải các bài toán hình học không gian bằng các phương pháp khác nhau thông qua một số tiết và dạng bài tập đã giúp cho các em thấy được các mối liên hệ giữa các chủ đề hình học tổng hợp, vec to và toạ độ + Giúp các em có kỹ năng thực sự giả một bài toán hình theo quy trình đã đưa ra, + Việc tổ chức dạy học tốt nhờ ứng dụng công nghệ thông tin,dùng các phương tiện dạy học hiện đại đã gây cho học sinh hứng thú học tập môn hình, nâng cao hiệu quả của giờ dạy. Như vậy, mục đích thực nghiệm đã đạt và giả thuyết khoa học của đề tài là chấp nhận được. 3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ - Kết luận: Qua quá trình nghiên cứu đề tài: “Một số phương pháp giải toán hình học không gian ở trường THPT ” đã thu được một số kết quả: + Đề tài đã làm sáng tỏ các căn cứ lý luận và thực tiễn của việc rèn luyện năng lực chuyển đổi ngôn ngữ. + Đề tài đã đưa ra quy trình giải một lớp các bài toán bằng các phương pháp hìmh học tổng hợp, vec tơ và toạ độ. +Dựa trên kinh nghiệm thực tế của giáo viên và qua kết quả thực nghiệm cho phép xác nhận giả thuyết của đề tài là chấp nhận được, có tính hiệu quả và mục đích nghiên cứu đã hoàn thành. - Kiến nghị: Đối với giáo viên dạy học môn toán cần tách lọc các đối tượng học sinh để từ đó có phương pháp dạy học phù hợp. Đối với học sinh ở mức trung bình và dưới trung bình thì trang bị cho các học sinh phương pháp hệ trục tọa độ hóa để các em có sự tiếp cận dễ hơn. |
