Bài 2.5 trang 31 sbt đại số 10

LG a

\(y = - 2x + 3\) trên R.

Phương pháp giải:

Xét \(T = \frac{{f({x_2}) - f({x_1})}}{{{x_2} - {x_1}}}\).

Nếu \(T > 0\;\forall x \in K\) , với K là tâp đang xét, thì hàm số \(y = f(x)\) đồng biến trên K

Nếu \(T < 0\;\forall x \in K\) , với K là tâp đang xét, thì hàm số \(y = f(x)\) nghịch biến trên K

Lời giải chi tiết:

Xét \(y = f(x) = 2x + 3\) trên R

Ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{T = \frac{{f({x_2}) - f({x_1})}}{{{x_2} - {x_1}}} = \frac{{\left( {2{x_2} + 3} \right) - \left( {2{x_1} + 3} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}}}\\
{ = \frac{{2{x_2} + 3 - 2{x_1} - 3}}{{{x_2} - {x_1}}} = \frac{{2({x_2} - {x_1})}}{{{x_2} - {x_1}}} = 2 > 0}
\end{array}\)

Vậy hàm số \(y = 2x + 3\) đồng biến trên R.

LG b

\(y = {x^2} + 10x + 9\) trên \(( - 5; + \infty )\);

Phương pháp giải:

Xét \(T = \frac{{f({x_2}) - f({x_1})}}{{{x_2} - {x_1}}}\).

Nếu \(T > 0\;\forall x \in K\) , với K là tâp đang xét, thì hàm số \(y = f(x)\) đồng biến trên K

Nếu \(T < 0\;\forall x \in K\) , với K là tâp đang xét, thì hàm số \(y = f(x)\) nghịch biến trên K

Lời giải chi tiết:

Xét hàm số: \(y = f(x) = {x^2} + 10x + 9\)

Ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{y = f(x) = {x^2} + 10x + 9}\\
{T = \frac{{f({x_2}) - f({x_1})}}{{{x_2} - {x_1}}} = \frac{{\left( {{x_2}^2 + 10{x_2} + 9} \right) - \left( {{x_1}^2 + 10{x_1} + 9} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}}}\\
{ = \frac{{{x_2}^2 + 10{x_2} + 9 - {x_1}^2 - 10{x_1} - 9}}{{{x_2} - {x_1}}} = \frac{{{x_2}^2 - {x_1}^2 + 10{x_2} - 10{x_1}}}{{{x_2} - {x_1}}}}\\
{ = \frac{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {{x_2} + {x_1} + 10} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = {x_2} + {x_1} + 10.}
\end{array}\)

Mà \({x_2},{x_1} > - 5 \Rightarrow {x_2} + {x_1} + 10 > 0\) hay T > 0.

Vậy hàm số \(y = f(x) = {x^2} + 10x + 9\) đồng biến trên \(\left( { - 5; + \infty } \right)\)

LG c

\(y = - \dfrac{1}{{x + 1}}\) trên \(( - 3; - 2)\) và (2;3).

Phương pháp giải:

Xét \(T = \frac{{f({x_2}) - f({x_1})}}{{{x_2} - {x_1}}}\).

Nếu \(T > 0\;\forall x \in K\) , với K là tâp đang xét, thì hàm số \(y = f(x)\) đồng biến trên K

Nếu \(T < 0\;\forall x \in K\) , với K là tâp đang xét, thì hàm số \(y = f(x)\) nghịch biến trên K

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình: \(y = f(x) = \frac{1}{{x + 1}}\) trên \(( - 3; - 2)\) và \((2;3)\)

Ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{T = \frac{{f({x_2}) - f({x_1})}}{{{x_2} - {x_1}}} = \frac{{\frac{1}{{{x_2} + 1}} - \frac{1}{{{x_1} + 1}}}}{{{x_2} - {x_1}}}}\\
{ = \frac{{\frac{{{x_1} + 1}}{{\left( {{x_2} + 1} \right)\left( {{x_1} + 1} \right)}} - \frac{{{x_2} + 1}}{{\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right)}}}}{{{x_2} - {x_1}}}}\\
{ = \frac{{\frac{{{x_1} - {x_2}}}{{\left( {{x_2} + 1} \right)\left( {{x_1} + 1} \right)}}}}{{{x_2} - {x_1}}} = \frac{{ - 1}}{{\left( {{x_2} + 1} \right)\left( {{x_1} + 1} \right)}}}
\end{array}\)

Dễ thấy:

+ Với \(x \in ( - 3; - 2)\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_2},{x_1} \in ( - 3; - 2) \Rightarrow {x_2} + 1;{x_1} + 1 < 0}\\
{ \Rightarrow \left( {{x_2} + 1} \right)\left( {{x_1} + 1} \right) > 0 \Rightarrow T < 0}
\end{array}\)

Vậy hàm số \(y = f(x) = \frac{1}{{x + 1}}\) nghịch biến trên \(( - 3; - 2)\)

+ Với \(x \in (2;3)\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_2},{x_1} \in (2;3) \Rightarrow {x_2} + 1;{x_1} + 1 > 0}\\
{ \Rightarrow \left( {{x_2} + 1} \right)\left( {{x_1} + 1} \right) > 0 \Rightarrow T < 0}
\end{array}\)

Vậy hàm số \(y = f(x) = \frac{1}{{x + 1}}\) nghịch biến trên \(( 2;3)\)