Bài 19 trang 57 sbt hình học 12 nâng cao

LG 1

Xác định vị trí điểmB1trênBxsao cho mặt cầu đường kínhBB1tiếp xúc vớiCy.

Xác định điểmC1trênCysao cho mặt cầu đường kínhAC1tiếp xúc vớiBx.

Lời giải chi tiết:

GọiIlà trung điểm củaBB1thì mặt cầu đường kínhBB1tiếp xúc vớiCytạiJkhi và chỉ khi \(IJ = {1 \over 2}B{B_1}\).

Mặt khác, dễ thấyIJ = BC = 2a.

VậyBB1= 4a.Hệ thức này xác định vị trí điểmB1.

\( \bullet \) GọiKlà trung điểm củaAC1thì mặt cầu đường kínhAC1tiếp xúc vớiBxkhi và chỉ khi khoảng cách từ điểmKđếnBxbằng \({1 \over 2}A{C_1}\), tức là \(K{K_1} = {1 \over 2}A{C_1}\) hay \(BK' = {1 \over 2}A{C_1}\), trong đóKlà trung điểm củaAC.

Dễ thấyAB = a, \(AC = a\sqrt 3 \), từ đó

\(BK{'^2} = {a^2} + {\left( {{{a\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} = {{7{a^2}} \over 4} \Rightarrow BK' = {{a\sqrt 7 } \over 2}.\)

Như vậy,mặt cầu đường kínhAC1tiếp xúc vớiBxkhi và chỉ khi \(A{C_1} = a\sqrt 7 \), từ đó \(CC_1^2 = 7{a^2} - 3{a^2} = 4{a^2}\), tức là \(C{C_1} = 2a\).

Hệ thức này xác định vị trí điểm C1. (Khi đó \(J \equiv {C_1}).\)

LG 2

Với các điểmB1, C1tìm được ở trên, hỏi đa diệnABCC1B1có mặt cầu ngoại tiếp không ? Hãy tính thể tích của khối đa diện đó.

Lời giải chi tiết:

\( \bullet \) KhiBB1= 4a, CC1= 2athì \(B{B_1}{C_1}C\) là hình thang vuông tạiB, Cvới hai đáy có độ dài khác nhau nên \(B{B_1}{C_1}C\) không có đường tròn ngoại tiếp. Vậy đa diện \(ABC{C_1}{B_1}\) không có mặt cầu ngoại tiếp.

Dễ thấyA.BCC1B1là hình chóp đỉnhA, đáy làBCC1B1vàmp(ABC) vuông góc vớimp(BCC1B1).Từ đó

\({V_{A.BC{C_1}{B_1}}} = {1 \over 3}.{1 \over 2}(B{B_1} + C{C_1}).BC.AH\)

(AHlà đường cao của tam giác vuôngABC)

Hay \({V_{A.BC{C_1}{B_1}}} = {1 \over 6}(4a + 2a).AB.AC\)

\(= {1 \over 6}.6a.a.a\sqrt 3 = {a^3}\sqrt 3 .\)