\(\eqalign{ & AP = \sqrt 2 .\sqrt { - {a^2} + {b^2} + {c^2}} ,\cr&AQ = \sqrt 2 \sqrt {{a^2} - {b^2} + {c^2}} , \cr & {\rm{A}}{{\rm{R}}} = \sqrt 2 \sqrt {{a^2} + {b^2} - {c^2}} . \cr} \) Đề bài Tính thể tích khối tứ diệnABCDcó các cặp cạnh đối bằng nhau : \(AB=CD=a, AC=BD=b,AD=BC=c\) Lời giải chi tiết  Dựng tứ diệnAPQRsao choB, C, Dlần lượt là trung điểm của các cạnhQR, RP, PQ. Ta có \(AD = BC = {1 \over 2}PQ\) màDlà trung điểm củaPQnên \(AQ \bot {\rm{AP}}{\rm{.}}\) Chứng minh tương tự, ta cũng có \(AQ \bot {\rm{AR}},{\rm{AR}} \bot AP.\) Dễ thấy : \({V_{ABCD}} = {1 \over 4}{V_{APQR}} = {1 \over 4}.{1 \over 6}.AP.AQ.{\rm{AR}}( * )\) Xét các tam giác vuông \(APQ,AQR,ARP,\) ta có \(A{P^2} + A{Q^2} = 4{c^2},\) \(A{Q^2} + {\rm{A}}{{\rm{R}}^2} = 4{a^2},\) \({\rm{A}}{{\rm{R}}^2} + A{P^2} = 4{b^2}.\) Từ đó suy ra : \(\eqalign{ & AP = \sqrt 2 .\sqrt { - {a^2} + {b^2} + {c^2}} ,\cr&AQ = \sqrt 2 \sqrt {{a^2} - {b^2} + {c^2}} , \cr & {\rm{A}}{{\rm{R}}} = \sqrt 2 \sqrt {{a^2} + {b^2} - {c^2}} . \cr} \) Vậy từ \(\left( * \right)\) ta suy ra :
|
