VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 10 bài viết Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình vô nghiệm / có nghiệm / nghiệm đúng, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 10. Show  Nội dung bài viết Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình vô nghiệm / có nghiệm / nghiệm đúng: Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình vô nghiệm – có nghiệm – nghiệm đúng. Phương pháp. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng. Bài tập trắc nghiệm. Câu 1: Tam thức f(x) = 3x + 2(2m – 1)x + m + 4 dương với mọi x khi tam thức f(x) có a = 3 > 0. Do đó f(x) > 0, Vì khi A’= (2m – 1)2. Câu 2: Tam thức f(x) = -2x + (m – 2)x – m + 4 không dương với mọi x khi tam thức f(x) có a = 0. Do đó f(x) < 0. Câu 3: Tam thức f(x) = −2×2 + (m + 2)x + m – 4 âm với mọi x khi tam thức f(x) có a = 0. Do đó f(x) 0 có nghiệm đúng với mọi x khi và chỉ khi: Tam thức f(x) = x – mx − m có hệ số a = 1 > 0 nên bất phương trình f(x) > 0 nghiệm đúng với mọi V khi và chỉ khi A = m + 4m < 0. Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình x + (2m – 1)x + m < 0 có tập nghiệm là IR. Tam thức f(x) = (2m – 1)x + m có hệ số a = -1 nên bất phương trình f(x) < 0 có tập nghiệm là R. Câu 7: Bất phương trình x – (m + 2)x + m + 2 0 nghiệm đúng với mọi x. Tam thức f(x) có hệ số a = 1 > 0 nên f(x) > 0 nghiệm đúng với mọi x. Câu 8: Tam thức f(x) = (x + 2)x – 2(m + 1)x + 1 dương với mọi x khi tam thức f(x) có hệ số a = m + 2 > 0 nên f(x) dương với mọi x khi A’= (m + 1). Câu 9: Tam thức f(x) không dương với mọi x khi kết hợp hai trường hợp ta được m < 4 là giá trị cần tìm. Câu 10: Tam thức f(x) = mx âm với mọi x khi với m = 0 thay vào ta được f(x) = 3 0 đúng với mọi x. Với m = -2, yêu cầu bài toán kết hợp hai trường hợp ta được m là giá trị cần tìm. Câu 12: Bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x khi và chỉ xét bất phương trình bất phương trình trở thành nghiệm đúng với mọi x kt hợp hai trường hợp, ta được m 2, là giá trị cần tìm. m để bất phương trình. Câu 13: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số Khi m = 1 thì bất phương trình trở thành không nghiệm đúng với mọi x. Khi m = 2 thì bất phương trình trở thành –1 < 0.
VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 10 bài viết Tìm giá trị của tham số để bất phương trình có tập nghiệm thỏa điều kiện cho trước, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 10. Nội dung bài viết Tìm giá trị của tham số để bất phương trình có tập nghiệm thỏa điều kiện cho trước: Tìm giá trị của tham số để bất phương trình có tập nghiệm thỏa điều kiện cho trước. Biến đổi bất phương trình về một trong bốn dạng sau ax + b > 0, ax + b < 0, ax + b ≥ 0, ax + b ≤ 0. Nếu điều kiện mà bất phương trình phải thỏa, từ đó tìm được giá trị của tham số. BÀI TẬP DẠNG 3. Ví dụ 1. Cho bất phương trình (4m2 − 6m)x + 7m ≥ (3m2 − 5)x + 4 + 5m. Định m để bất phương trình thỏa với mọi x ∈ R. Vậy bpt thỏa với mọi x ∈ R ⇔ m = 5. Ví dụ 2. Định m để bất phương trình mx + 3m3 ≥ −3(x + 4m2 − m − 12) có tập nghiệm là [−24; +∞). BÀI TẬP TỰ LUYỆN. Bài 1. Tìm tất cả các giá trị m để bất phương trình vô nghiệm 6m2 + m − 2)x − 7m ≥ (6m2 + 5)x − 5m − 6. Bpt ⇔ (m − 7)x − 2m + 6 ≥ 0. Bpt vô nghiệm ⇔ −2m + 6 < 0 ⇔ m = 7. Bài 2. Tìm tất cả các giá trị m để bất phương trình sau thỏa với mọi x. Bài 3. Định m để hàm số y = (m + 3)x + m − 5 xác định với mọi x thuộc [0; 5]. Hàm số y xác định với mọi x ∈ [0; 5] ⇔ (m + 3)x + m − 5 ≥ 0 (*), với mọi x ∈ [0; 5]. Bpt (*) thỏa với mọi x ∈ [0; 5] ⇒ bpt (*) thỏa tại x = 0 ⇒ m − 5 ≥ 0 ⇒ m ≥ 5. Bài 4. Tìm m để bất phương trình √5 − x [(m2 + 3)x − 4m] ≥ 0 có tập nghiệm là [1; 5]. m2 − 4m + 3 = 0 ⇔ m = 1 hoặc m = 3. Bài 5. Định m để hai bất phương trình sau tương đương a) x − 9 < 0 và 5mx − 3m − 42 0 và (3m − 1)x + 3 − 2m > 0. a) Bpt x − 9 < 0 có tập nghiệm là S = (−∞; 9). Ôn tập Toán 10 Tìm m để bất phương trình có nghiệm là một trong những chủ đề trọng tâm, thường xuất hiện vào các bài kiểm tra, bài thi chương trình lớp 10. Tuy nhiên nhiều bạn học sinh chưa nắm vững được phương pháp và cách làm dạng toán này. Trong bài viết hôm nay Download.vn sẽ giới thiệu đến các bạn chi tiết về phương pháp, ví dụ và các dạng bài tập tìm m để phương trình có nghiệm có đáp án kèm theo. Thông qua tài liệu này sẽ giúp các em học sinh nhanh chóng nắm vững kiến thức, từ đó biết cách để giải nhanh các bài Toán 10. Ngoài ra các bạn xem thêm một số tài liệu khác như: Các dạng bài tập toán về mệnh đề và tập hợp, tập nghiệm của bất phương trình, Công thức tính độ dài đường trung tuyến. Phương pháp: Đối với các bài toán tìm điều kiện để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x hay bất phương trình vô nghiệm ta sử dụng các lập luận như sau: (ta xét với bất phương trình bậc hai một ẩn)
2. Ví dụ tìm m để bất phương trình có nghiệmVí dụ 1: Cho bất phương trình (m - 1)x2 + 2mx - 3 > 0. Tìm giá trị của m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thuộc . Hướng dẫn giải Đặt (m - 1)x2 + 2mx - 3 = f(x) TH1: m - 1 = 0 ⇒ m = 1. Thay m = 1 vào bất phương trình ta được: 2x - 3 > 0⇒ TH2: m - 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1 Để bất phương trình f(x) > 0 nghiệm đúng với mọi x Vậy không có giá trị nào của m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc . Ví dụ 2: Tìm m để các bất phương trình sau đúng với mọi x thuộc . a. (m - 3)x2 + (m + 1)x + 2 < 0 b. (m - 1)x2 + (m - 3)x + 4 > 0 Hướng dẫn giải a. Đặt (m - 3)x2 + (m + 1)x + 2 = f(x) TH1: m - 3 = 0 ⇔ m = 3. Thay m = 3 vào bất phương trình ta được: 2x + 2 < 0 ⇔ x < -1 (Loại) TH2: m - 3 ≠ 0 ⇔ m ≠ 3 Để bất phương trình f(x) < 0 nghiệm đúng với mọi x Ta có: m2 - 6m + 25 = (m - 3)2 + 16 ≥ 16,∀m Vậy không có giá trị nào của m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc b. Đặt (m - 1)x2 + (m - 3)x + 4 = f(x) TH1: m - 1 = 0 ⇔ m = 1. Thay m = 1 vào bất phương trình ta được: -2x + 4 > 0 ⇔ x < 2 (Loại) TH2: m - 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1 Để bất phương trình f(x) > 0 nghiệm đúng với mọi x Vậy 3. Bài tập tìm m để bất phương trình có nghiệmBài 1: Tìm m để bất phương trình x2 - 2(m + 1) + m2 + 2m ≤ 0 có nghiệm với mọi x ∈ [0; 1] Hướng dẫn giải: Đặt x2 - 2(m + 1) + m2 + 2m ≤ 0 Vậy bất phương trình có nghiệm đúng với ∀x ∈ [0; 1] Phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm thỏa mãn Vậy với -1 ≤ m ≤ 0 thỏa mãn điều kiện đề bài cho. Bài 2: Tìm m để bất phương trình sau (m + 2)x2 - 2mx + m2 + 2m ≤ 0 có nghiệm. Hướng dẫn giải Xét 3 trường hợp: Trường hợp 1: Với m + 2 = 0 ⇒ m = -2 ta được: (1) ⇔ 4x + 4 <0 ⇔ x < -1 Bất phương trình vô nghiệm Trường hợp 2: Với m < -2 Bất phương trình đã cho cũng có nghiệm Trường hợp 3: m + 2 > 0 ⇒ m > -2. Khi đó bất phương trình đã cho có nghiệm thì vế trái phải có 2 nghiệm phân biệt : Vậy với |m| < Bài 3: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: m2x + 3 < mx + 4 Hướng dẫn giải: Bất phương trình tương đương với: m2x - mx < 4 ⇔ (m2 - m)x < 1; m2 - m = 0 ⇔m = {0;1} thì bất phương trình trở thành 0 < 1 đúng với mọi x . Nên bất phương trình có vô số nghiệm. Với m2 - m ≠ 0 ⇔ m ≠ {0; 1} thì bất phương trình trở thành Vậy bất phương trình có nghiệm với mọi giá trị thực của m. Bài 4: Tìm tham số m để bất phương trình: f(x) = (m2 + 1)x2 + (2m - 1)x - 5 < 0 Nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng ( -1; 1) Hướng dẫn giải: Ta có: ⇔ -1 ≤ m ≤ Vậy để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng ( -1, 1) thì m ∈ (-1; Bài 5: Tìm m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x: (m + 4)x2 - 2mx + 2m - 6 < 0 Hướng dẫn giải: + Với m = - 4 thì bất phương trình trở thành: 8x - 14 < 0, ∀x (loại) + Với Vậy bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x khi m < -4. Bài 6: Cho bất phương trình: x2 + 4x + 3 + m ≤ 0 a. Tìm m để bất phương trình vô nghiệm. b. Tìm m để bất phương trình có đúng một nghiệm. c. Tìm m để bất phương trình có nghiệm là một đoạn có độ dài bằng 2. Hướng dẫn giải a. Bất phương trình vô nghiệm ⇔ Δ' < 0 ⇔ 1 - m < 0 ⇔ m > 1 Vậy m > 1 thì bất phương trình vô nghiệm. b. Bất phương trình có đúng một nghiệm. ⇔ Δ' = 0 ⇔ 1 - m = 0 ⇔ m = 1 Vậy m = 1 bất phương trình có đúng một nghiệm c. Để bất phương trình có nghiệm là một đoạn trên trục số có độ dài bằng 2 thì tam thức ở vế trái của bất phương trình phải có hai nghiệm phân biệt x, x’ thỏa mãn điều kiện: Vậy m = -3 thì bất phương trình có nghiệm là một đoạn có độ dài bằng 2. Bài 7: Tìm m để bất phương trình: x4 + 2mx2 + m ≥ 0 có nghiệm đúng với mọi x. Hướng dẫn giải Đặt t = x2, t ≥ 0 Khi đó bất phương trình trở thành: f(t) = t2 +2mt + m ≥ 0 (*) ⇒Δ' = m2 - m Trường hợp 1: Δ' ≤ 0 ⇔ m2 - m ≤ 0 ⇔ 0 ≤ m ≤ 1 Khi đó (*) luôn đúng. Trường hợp 2: Nếu Δ' > 0, điều kiện là phương trình f(t) phải có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: t1 < t2 ≤ 0 Tóm lại ta cần suy ra như sau: Vậy m ≥ 0 thì bất phương trình có nghiệm đúng với mọi giá trị x. 4. Bài tập vận dụng tìm m để bất phương trình có nghiệmBài 1: Cho tam thức f(x) = x2 - 2mx + 3m - 2. Tìm điều kiện của m để tam thức f(x) > 0, ∀x ∈ [1; 2] . Bài 2: Xác định m sao cho với mọi x ta đều có: mx2 - 4x + 3m + 1 >0 Bài 3: Tìm m để bất phương trình: x2 - 2x + 1 - m2 ≤ 0 nghiệm đúng với ∀x ∈ [1; 2]. Bài 4: Tìm m để bất phương trình: (m - 1)x2 + (2 - m)x- 1 > 0 có nghiệm đúng với mọi ∀x ∈ (1; 2). Bài 5: Tìm m để bất phương trình: 3(m - 2)x2 + 2(m + 1)x + m - 1 < 0 có nghiệm đúng với mọi ∀x ∈ (-1; 3). Bài 6: Tìm m để bất phương trình m2 - 2mx + 4 > 0 có nghiệm đúng với mọi ∀x ∈ (-1; 0,5). Bài 7: Tìm điều kiện của m để mọi nghiệm của bất phương trình: x2 + (m - 1)x - m ≤ 0 đều là nghiệm của bất phương trình. Bài 8: Với giá trị nào của m thì bất phương trình: (m - 2)x2 + 2mx - 2 - m < 0 có nghiệm Bài 9: Tìm các giá trị của m để bất phương trình:f(x) = - (m2 + 2)x2 - 2mx + 1 - m > 0 Nghiệm đúng với mọi x thuộc nửa khoảng (2; +∞) Bài 10: Tìm giá trị của tham số m khác 0 để bất phương trình f(x) = 2mx2 - (1 - 5m)x + 3m+ 1>0 có nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng (-2; 0). Bài 11: Tìm giá trị tham số để bất phương trình sau nghiệm luôn đúng với mọi x: a. 5x2 - x + m > 0 b. mx2 - 10x - 5 < 0 c. m(m+2)x2 - 2mx + 2 > 0 d. (m + 1)x2 - 2(m - 1)x + 3m - 3 < 0 Bài 12: Tìm m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc : (m - 5)x² - 2x + m + 1 > 0 Bài 13: Tìm m để các bất phương trình sau có nghiệm đúng với mọi x Bài 14: Cho bất phương trình: Tìm m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc . Bài 15: Tim m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x. a. b. c. Bài 16: Xác định m để đa thức sau: (3m + 1)x² - (3m + 1)x + m + 4 luôn dương với mọi x. Bài 17: Tìm m để phương trình: (m2 + m + 1)x2 + (2m - 3)x + m - 5 = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt |
