Chương 2:Giải gần đúng pt y= f(x) [Phương pháp tính- BKHCM]
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (381.88 KB, 14 trang ) I. ĐẶT BÀI TOÁN : Nếu hàm f liên tục trên đoạn [a,b] thoả điều kiện f(a) f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có nghiệm trên [a,b]. Nếu hàm f đơn điệu ngặt thì nghiệm là duy nhất. 3 a b 4 Ví dụ : Tìm các khoảng cách ly nghiệm của pt f(x) = x5 + x - 12 = 0 Giải : Ta có Ví dụ : Tìm các khoảng cách ly nghiệm của pt f(x) = x3 - 3x + 1 = 0 giải : Ta lập bảng giá trò tại các điểm đặc biệt f(1) = -10, f(2) = 22 ⇒ f(1) f(2) < 0 x f(x) Mặt khác f’(x) = 5x4 +1 > 0 ∀x f hàm đơn điệu tăng nên pt có duy nhất nghiệm Vây khoảng cách ly nghiệm là (1,2) - -3 - -2 -1 -1 3 0 1 1 -1 2 3 3 + + Nhìn vào bảng ta thấy pt có nghiệm trong các khoảng (-2, -1) (0, 1) (1,2) Vì pt bậc 3 có tối đa 3 nghiệm, nên các khoảng cách ly nghiệm là : (-2,-1) (0,1) (1,2) 5 6 Bài tập : Giải 1. Tìm các khoảng cách ly nghiệm của pt 1. f(x) =ex –x2 + 3x -2 f’(x) = ex - 2x + 3 f(x) =ex –x2 + 3x -2 Ta lập bảng giá trò tại các điểm đặc biệt 2. Tìm các khoảng cách ly nghiệm của pt x f(x) f(x) =xcosx – 2x2 + 3x+1 - -3 - -2 - -1 - 0 - 1 + 2 + 3 + + Nhận xét : f’(x) > 0, ∀x∈[0,1]. Vây khoảng cách ly nghiêm (0,1) 7 8 2. f(x) =xcosx – 2x2 + 3x+1 f’(x) = cosx –xsinx -4x +3 Ta lập bảng giá trò tại các điểm đặc biệt x f(x) -3 -2 -1 0 1 2 3 - - - + + - - - 2. Cách giải gần đúng pt f(x) = 0 B1: tìm tất cả các khoảng cách ly nghiệm - B2: trong từng khoảng cách ly nghiệm, tìm nghiệm gần đúng của phương trình Nhận xét : f’(x) < 0 ∀x∈[1,2], f’(x) > 0 ∀x∈[-1,0] Vây các khoảng cách ly nghiệm : (-1. 0), (1,2) 9 10 3. Công thức sai số tổng quát : Các phương pháp giải gần đúng Đònh lý : Giả sử f(x) liên tục trên [a,b], khả vi trên (a,b) Nếu x* , x là nghiệm gần đúng và nghiệm chính xác của phương trình và Phương pháp chia đôi Phương pháp lặp đơn |f’(x)| ≥ m > 0, ∀x ∈(a,b) Phương pháp lặp Newton thì sai số được đánh giá theo công thức : |x* - x| ≤ |f(x*)| / m 11 12 Ví dụ : Xét phương trình f(x) = x3-5x2+12=0 trên khoảng [-2, -1] Tính sai số nếu chọn nghiệm x* = -1.37 Ví dụ : Xét phương trình f(x) = 5x+ 7 x -24 = 0 trên khoảng [4,5] Tính sai số nếu chọn nghiệm x* = 4.9 Giải Giải Vậy Sai số f’(x) = 3x2 -10x |f’(x)| = 3x2 -10x, ∀x∈[-2,-1] |f’(x)| ≥ 13 = m, ∀x∈[-2,-1] f’(x) = 5 + 1 7 x6 7 1 => |f’(x)| ≥ 5 + 7 7 56 = m, ∀x∈[4,5] Sai số |x*-x| ≤|f(x*)|/m ≈ 0.0034 |x*-x| ≤|f(x*)|/m ≈ 0.3485 Ghi nhớ : sai số luôn làm tròn lên 13 14 2. Nếu f(ao)f(xo) < 0 : đặt a1 = ao, b1 = xo f(xo)f(bo) < 0 : đặt a1 = xo, b1 = bo Ta thu được [a1, b1] ⊆ [ao,bo] chứa nghiệm x d1 = b1-a1= (b-a)/2 điểm giữa x1 = (a1+b1) / 2 II. Phương Pháp Chia Đôi Xét phương trình f(x) = 0 có nghiệm chính xác x trong khoảng cách ly nghiệm [a,b] và f(a)f(b) < 0. 1. Đặt [ao,bo]=[a, b], d0=bo-ao=b-a 3. Tiếp tục quá trình chia đôi như vậy đến n lần ta được Chọn xo là điểm giữa của [a0,b0] [an, bn] ⊆ [an-1,bn-1], dn = bn-an= (b-a)/2n Ta có xo = (a0+b0) / 2 điểm giữa xn = (an+bn) / 2, an ≤ xn ≤ bn Nếu f(xo) = 0 thì xo là nghiệm → xong f(an)f(bn) < 0, an ≤ x ≤ bn 15 16 Ta có Ý nghóa hình học {an} dãy tăng và bò chặn trên (<=b) {bn} dãy giãm và bì chặn dưới (>=a) nên chúng hội tụ Vì bn-an = (b-a)/2n, nên lim an = lim bn Suy ra lim xn = x ao xo x2 x1 bo b a Vậy xn là nghiệm gần đúng của pt Công thức sai số b1 a1 a2 b2 |xn – x| ≤ (b-a) / 2n+1 17 Ví dụ : Tìm nghiệm gần đúng của pt f(x) = 5x3 - cos 3x = 0 trên khoảng cách ly nghiệm [0,1] với sai số 0.1 18 Ví dụ : Tìm nghiệm gần đúng của pt f(x) = 2+cos(ex-2)-ex = 0 trên khoảng [0.5,1.5] với sai số 0.04 Giải Ta lập bảng Giải Ta lập bảng n 0 an 0 f(an) bn - 1 1 2 3 0 0.25 0.375 - 0.5 0.5 0.5 f(bn) xn + 0.5 + + + f(xn) ∆n + 0.5 0.25 0.375 0.4375 n 0 1 2 3 4 0.25 0.125 0.0625 Nghiệm gần đúng là x = 0.4375 19 an f(an) 0.5 + 1 + 1 + 1 + 1 + bn f(bn) 1.5 1.5 1.25 1.125 1.0625 - xn f(xn) 1 + 1.25 1.125 1.0625 1.03125 Nghiệm gần đúng là x = 1.03125 ∆n 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.03125 20 III. Phương Pháp Lặp Đơn Để tìm nghiệm gần đúng, ta chọn 1 giá trò ban đầu xo ∈ [a,b] tùy ý Xét phương trình f(x) = 0 có nghiệm chính xác x trong khoảng cách ly nghiệm [a,b] và f(a)f(b) < 0. Xây dựng dãy lặp theo công thức xn = g(xn-1), ∀n = 1, 2, … Bài toán của ta là khảo sát sự hội tụ của dãy {xn} Ta chuyển pt f(x) = 0 về dạng Tổng quát, dãy {xn} có thể hội tụ hoặc phân kỳ x = g(x) Nếu dãy {xn} hội tụ thì nó sẽ hội tụ về nghiệm của pt Nghiệm của pt gọi là điểm bất động của hàm g(x) 21 22 Ví dụ : Minh họa sự hội tụ của dãy lặp xn = g(xn-1) = axn-1+b Ý nghóa hình học y=x y=g(x) y = g(x) x1 x3 x x2 xo Dãy hội tụ 23 Dãy phân kỳ 24 Ví dụ : Xét tính chất co của hàm g(x) = 3 10 − x trên khoảng [0,1] Bây giờ ta tìm điều kiện để dãy {xn} hội tu Ta có đònh nghóa sau Đònh Nghóa : Hàm g(x) gọi là hàm co trên đoạn [a,b] nếu ∃q : 0
mọi người gợi ý giúp em bài này với ạ em cảm ơn nhiều ạ. em đã biến đổi nhiều cách rồi nhưng không ra ạ Sử dụng phương pháp lặp, tìm nghiệm gần đúng với sai số nhỏ hơn 10-3 cho các phương trình sau: x3 + x2 – 1 = 0 biết khoảng phân ly nghiệm là (0, 1). em cảm ơn mọi người 
Có ba phương pháp dễ nhớ dễ thuộc là chặt nhị phân, Newton, Secant Còn nhìn vào file này ko ra một con giáp nào luôn. Ra được đạo hàm là có hàm đồng biến trên (0, 1) rồi 3 Likes
anh có thể giúp e một ví dụ được không ạ
thầy bảo dùng Phương pháp lặp đẻ giải bài này ạ.
Chặt nhị phân: \frac{1}{2} = 0.5, ta có f(0.5) = -\frac{5}{8},f(1) = 1 vậy ta xác định x_0 cho Newton là 0.75. Vậy sai số ước lượng ntn? http://mathonline.wikidot.com/error-analysis-of-newton-s-method-for-approximating-roots 3 Likes
giờ có cách nào biến đổi x3 + x2 – 1 = 0 thành 1 hàm g(x) nào đó thỏa mãn dk g’(x)<= 1 với mọi x thuộc khoảng (0,1) không ạ?
Dễ thấy f’(x) chạy từ 0 đến 5 nên… 3 Likes
dạ anh có thể giúp em bài này k ạ, e k hiueeru. cảm ơn anh rất nhiều ạ
May mà ngày xưa ko có thầy nào giao bài kiểu này, ko chắc mình cũng đã rụng và hằn trong suy nghĩ lập trình là phải giỏi toán. 1 Like
Với KHMT toán rời rạc quan trọng hơn. 4 Likes
b phari tìm g(x) thỏa |g’(x)|<1 nữa chứ. 2 Likes
Loại toán này ngày xưa được học trong môn phương pháp tính. Mình còn nhớ mỗi phương pháp chia 2. Dựa vào một đặc điểm là giá trị hàm số tại bên trái và bên phải nghiệm (điều kiện có 1 nghiệm duy nhất trong khoảng đó) sẽ có tích âm. Bây giờ giải bằng cách: B1: chi khoảng nghiệm ra làm 2. B2: kiểm tra xem tích ở 2 điểm đầu khoảng nào âm thì nghiệm nằm trong khoảng đó. B3: lưu khoảng có nghiệm mới. B4: lặp lại từ bước 1 đến khi đủ điều kiện. Như vậy đã có phương pháp giải là gom B1 đến B4 vào trong 1 vòng lặp. Lặp cho đến khi đủ điều kiện. 3 Likes Home Categories FAQ/Guidelines Terms of Service Privacy Policy |
