Lời giải: Đặt \(\left(\frac{xy}{z}; \frac{yz}{x}; \frac{xz}{y}\right)=(a,b,c)\) \(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y^2=ab\\ x^2=ac\\ z^2=bc\end{matrix}\right.\) Bài toán trở thành: Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn \(ab+bc+ac=1\) Tìm min $S=a+b+c$ Theo hệ quả quen thuộc của BĐT Cauchy: \((a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)\) \(\Rightarrow S=\sqrt{(a+b+c)^2}\geq \sqrt{3(ab+bc+ac)}=\sqrt{3}\) Vậy \(S_{\min}=\sqrt{3}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\) CHUYÊN ĐỀ : TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC A. Các kiến thức thường sử dụng là: + Bất đẳng thức Côsi: “Cho hai số không âm a, b; ta có bất đẳng thức: ; Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b”. + Bất đẳng thức: (BĐT: Bunhiacopxki); Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi . + ; Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ab 0. + Sử dụng “bình phương” để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Nếu thì min y = a khi f(x) = 0. Nếu thì max y = a khi f(x) = 0. + Phương pháp “tìm miền giá trị” (cách 2 ví dụ 1 dạng 2). C. CÁC DẠNG TOÁN VÀ CÁCH GIẢI Dạng 1: CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO LÀ MỘT ĐA THỨC Bài toán 1: Tìm GTNN của các biểu thức: B = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6) Giải: a) Min A = 10 khi . b) B = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6) = (x-1)(x+6)(x+2)(x+3) = (x2 + 5x – 6)(x2 + 5x + 6) = (x2 + 5x)2 – 36 -36 Min B = -36 khi x = 0 hoặc x = -5. c) = (x2 – 2x + 1) + (y2 – 4y + 4) + 2 = (x – 1)2 + (y – 2)2 + 2 2 Min C = 2 khi x = 1; y = 2. Bài toán 2: Tìm GTLN của các biểu thức: A = 5 – 8x – x2 B = 5 – x2 + 2x – 4y2 – 4y Giải: a) A = 5 – 8x – x2 = -(x2 + 8x + 16) + 21 = -(x + 4)2 + 21 21 Max A = 21 khi x = -4. b) B = 5 – x2 + 2x – 4y2 – 4y = -(x2 – 2x + 1) – (4y2 + 4y + 1) + 7 = -(x – 1)2 – (2y + 1)2 + 7 7 Max B = 7 khi x = 1, . Bài toán 3: Tìm GTNN của: Giải: a) Ta có: Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x – 1)(4 – x) 0 hay Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x – 2)(3 – x) 0 hay Vậy Min M = 3 + 1 = 4 khi . b) Đặt thì t 0 Do đó N = t2 – 3t + 2 = . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi Do đó khi Vậy min hay . Bài toán 4: Cho x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức M = x3 + y3. Giải: M = x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2) = x2 - xy + y2 Ngoài ra: x + y = 1 x2 + y2 + 2xy = 1 2(x2 + y2) – (x – y)2 = 1 => 2(x2 + y2) ≥ 1 Do đó và Ta có: và Do đó và dấu “=” xảy ra Vậy GTNN của Bài toán 5: Cho hai số x, y thỏa mãn điều kiện: (x2 – y2 + 1)2 + 4x2y2 – x2 – y2 = 0. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức x2 + y2. Giải: (x2 – y2 + 1)2 + 4x2y2 – x2 – y2 = 0 [(x2 + 1) – y2]2 + 4x2y2 – x2 – y2 = 0 x4 + 2x2 + 1 + y4 – 2y2(x2 + 1) + 4x2y2 – x2 – y2 = 0 x4 + y4 + 2x2y2 + x2 – 3y2 + 1 = 0 x4 + y4 + 2x2y2 - 3x2 – 3y2 + 1 = -4x2 (x2+y2)2-3(x2+y2)+1=-4x2 Đặt t = x2 + y2. Ta có: t2 – 3t + 1 = -4x2 Suy ra: t2 – 3t + 1 ≤ 0 Vì t = x2 + y2 nên : GTLN của x2 + y2 = GTNN của x2 + y2 = Bài toán 6: Cho 0 ≤ a, b, c ≤ 1. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: P = a + b + c – ab – bc – ca. Giải: Ta có: P = a + b + c – ab – bc – ca = (a – ab) + (b - bc) + (c – ca) = a(1 – b) + b(1 – c) + c(1 – a) 0 (vì ) Dấu “=” có thể xảy ra chẳng hạn: a = b = c = 0 Vậy GTNN của P = 0 Theo giả thiết ta có: 1 – a 0; 1 – b 0; 1 – c 0; (1-a)(1-b)(1-c) = 1 + ab + bc + ca – a – b – c – abc 0 P = a + b + c – ab – bc – ac Dấu “=” có thể xảy ra chẳng hạn: a = 1; b = 0; c tùy ý Vậy GTLN của P = 1. Bài toán 7: Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 = 1. Tìm GTLN và GTNN của x + y. Giải: Ta có: (x + y)2 + (x – y)2 (x + y)2 2(x2 + y2) (x + y)2 Mà x2 + y2 = 1 (x + y)2 2 - Xét Dấu “=” xảy ra - Xét Dấu “=” xảy ra Vậy x + y đạt GTNN là . Bài toán 8: Cho các số thực dương thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 + z2 27. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: x + y + z + xy + yz + zx. Giải: Ta có: (x – y)2 + (x – z)2 + (y – z)2 0 2x2 + 2y2 + 2z2 - 2xy - 2yz - 2zx 0 (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 +2(xy + yz + zx) 3(x2 + y2 + z2) 81 x + y + z 9 (1) Mà xy + yz + zx x2 + y2 + z2 27 (2) Từ (1) và (2) => x + y + z + xy + yz + zx 36. Vậy max P = 36 khi x = y = z = 3. Đặt A = x + y + z và B = x2 + y2 + z2 Vì B 27 -14 P -14 Vậy min P = -14 khi Hay . Bài toán 9: Giả sử x, y là các số dương thỏa mãn đẳng thức: x + y = . Tìm giá trị của x và y để biểu thức: P = (x4 + 1)(y4 + 1) đạt GTNN. Tìm GTNN ấy. Giải: Ta có: P = (x4 + 1)(y4 + 1) = (x4 + y4) + (xy)4 + 1 Đặt t = xy thì: x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = 10 – 2t x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2x2y2 = (10 – 2t)2 – 2t2 = 2t2 – 40t + 100 Do đó: P = 2t2 – 40t + 100 + t4 + 1 = t4 + 2t2 – 40t + 101 = (t4 – 8t2 + 16) + 10(t2 – 4t + 4) + 45 = (t2 – 4)2 + 10(t – 2)2 + 45 và dấu “=” xảy ra x + y = và xy = 2. Vậy GTNN của P = 45 x + y = và xy = 2. Bài toán 10: Cho x + y = 2. Tìm GTNN của biểu thức: A = x2 + y2. Giải: Ta có: x + y = 2 y = 2 – x Do đó: A = x2 + y2 = x2 + (2 – x)2 = x2 + 4 – 4x + x2 = 2x2 – 4x + 4 = 2( x2 – 2x) + 4 = 2(x – 1)2 + 2 2 Vậy GTNN của A là 2 tại x = y = 1. Dạng 2: CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO LÀ MỘT PHÂN THỨC Bài toán 1: Tìm GTLN và GTNN của: . Giải: * Cách 1: Ta cần tìm a để là bình phương của nhị thức. Ta phải có: - Với a = -1 ta có: Dấu “=” xảy ra khi x = -2. Vậy GTNN của y = -1 khi x = -2. - Với a = 4 ta có: Dấu “=” xảy ra khi x = . Vậy GTLN của y = 4 khi x = . * Cách 2: Vì x2 + 1 0 nên: (1) y là một giá trị của hàm số (1) có nghiệm - Nếu y = 0 thì (1) - Nếu y 0 thì (1) có nghiệm hoặc Vậy GTNN của y = -1 khi x = -2. Vậy GTLN của y = 4 khi x = . Bài toán 2: Tìm GTLN và GTNN của: . Giải: Biểu thức A nhận giá trị a khi và chỉ khi phương trình ẩn x sau đây có nghiệm: (1) Do x2 + x + 1 = x2 + 2..x + Nên (1) ax2 + ax + a = x2 – x + 1 (a – 1)x2 + (a + 1)x + (a – 1) = 0 (2) Trường hợp 1: Nếu a = 1 thì (2) có nghiệm x = 0. Trường hợp 2: Nếu a 1 thì để (2) có nghiệm, điều kiện cần và đủ là , tức là: Với hoặc a = 3 thì nghiệm của (2) là Với thì x = 1 Với a = 3 thì x = -1 Kết luận: gộp cả 2 trường hợp 1 và 2, ta có: GTNN của khi và chỉ khi x = 1 GTLN của A = 3 khi và chỉ khi x = -1 Bài toán 3: Cho a, b là các số dương thỏa mãn ab = 1. Tìm GTNN của biểu thức: . Cho m, n là các số nguyên thỏa . Tìm GTLN của B = mn. Giải: a) Theo bất đẳng thức Côsi cho hai số dương a2 và b2 (vì ab = 1) Cũng theo bất đẳng thức côsi cho hai số dương a + b và . Ta có: (a + b) + Mặt khác: Suy ra: Với a = b = 1 thì A = 8 Vậy GTNN của A là 8 khi a = b = 1. b) Vì nên trong hai số m, n phải có ít nhất một số dương. Nếu có một trong hai số là âm thì B < 0. Vì ta tìm GTLN của B = mn nên ta chỉ xét trường hợp cả hai số m, n cùng dương. Ta có: Vì m, n N* nên n – 3 -2 và 2m – 3 -1. Ta có: 9 =1.9 = 3.3 = 9.1; Do đó xảy ra: + và B = mn = 2.12 = 24 + và B = mn = 3.6 = 18 + và B = mn = 6.4 = 24 Vậy GTLN của B = 24 khi hay Bài toán 4: Giả sử x và y là hai số thỏa mãn x > y và xy = 1. Tìm GTNN của biểu thức: . Giải: Ta có thể viết: Do x > y và xy = 1 nên: Vì x > y x – y > 0 nên áp dụng bất đẳng thức côsi với 2 số không âm, ta có: Dấu “=” xảy ra (Do x – y > 0) Từ đó: Vậy GTNN của A là 3 hay Thỏa điều kiện xy = 1 Bài toán 5: Tìm GTLN của hàm số: . Giải: Ta có thể viết: Vì . Do đó ta có: . Dấu “=” xảy ra . Vậy: GTLN của tại Bài toán 6: Cho t > 0. Tìm GTNN của biểu thức: . Giải: Ta có thể viết: Vì t > 0 nên ta có: Dấu “=” xảy ra Vậy f(t) đạt GTNN là 1 tại . Bài toán 7: Tìm GTNN của biểu thức: . Giải: Ta có thể viết: g(t) đạt GTNN khi biểu thức đạt GTLN. Nghĩa là t2 + 1 đạt GTNN Ta có: t2 + 1 1 min (t2 + 1) = 1 tại t = 0 min g(t) = 1 – 2 = -1 Vậy GTNN của g(x) là -1 tại t = 0. Bài toán 8: Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện: xyz = 1. Tìm GTNN của biểu thức: . Giải: Đặt Do đó: Tương tự: y + z = a(b + c) z + x = b(c + a) Ta có: (1) Thật vậy: Đặt b + c = x; c + a = y; a + b = z Khi đó, Nhân hai vế (1) với a + b + c > 0. Ta có: GTNN của E là khi a = b = c = 1. Bài toán 9: Cho x, y là các số thực thỏa mãn: 4x2 + y2 = 1 (*). Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: . Giải: Từ a(2x+y+z) = 2x+3y 2ax + ay + 2a – 2x +3y = 0 2(a – 1)x + (a – 3)y = -2a (1) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộ số (2x; y) và (a – 1; a – 3) Ta có: 4a2 = [2x(a-1)+y(a-3)]2 ≤ (4x2+y2).[(a-1)2+(a-3)2] => (vì 4x2+y2 = 1) Do đó ta có: (Vì a + 5 > a – 1) * Thay a = 1 vào (1) ta được: -2y = -2 y = 1 Thay y = 1 vào (*) ta có: x = 0 (x; y) = (0;1) * Thay a = -5 vào (1) ta được: 2(-5 – 1)x + (-5 – 3)y = -2(-5) Thay vào (*) ta được: Vậy GTLN của a là 1 khi x = 0; y = 1. GTNN của a là -5 khi . Bài toán 10: Giả sử x, y là hai số dương thỏa mãn điều kiện: x + y = 1. Hãy tìm gái trị nhỏ nhất cảu biểu thức: M = Giải: Ta có: M = = = 4 + x2 + y2 + Vì x, y > 0 nên ta có thể viết: Mà x + y = 1 nên 1 (1) Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi Ngoài ra ta cũng có: (vì x + y = 1) (2) Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi Từ (1) và (2) cho ta: Do đó: Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi đồng thời ở (1) và (2) cùng xảy ra dấu “=” nghĩa là khi Vậy GTNN của khi và chỉ khi . * Dạng 3: CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO CÓ CHỨA CĂN THỨC. Bài toán 1: Tìm GTLN của hàm số: . Giải: * Cách 1: Điều kiện: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: (ac + bd)2 (a2 + b2)(c2 + d2) Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi . Chọn với Ta có: Vì y > 0 nên ta có: Dấu “=” xảy ra (Thỏa mãn (*)) Vậy GTLN của y là 2 tại x = 3. * Cách 2: Ta có: Điều kiện: Vì y > 0 nên y đạt GTLN khi và chỉ khi y2 đạt GTLN. Ta có: Do nên áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số không âm cho ta: Do đó Dấu “=” xảy ra (thỏa mãn điều kiện). Vậy GTLN của hàm số y là 2 tại x = 3. Bài toán 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số: . Giải: GTLN: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộ số: (3; 4) và ( ta có: => y Dấu “=” xảy ra <= hay => x = (thỏa mãn điều kiện) Vậy GTLN của y là10 khi x = * b) Gía trị nhỏ nhất: Ta có: y = = Đặt: A = thì t2 = 4 + 2 4 => A và dấu “=” xảy ra khi x = 1 hoặc x = 5 Vậy y 3 . 2 + 0 = 6 Dấu “=” xảy ra khi x = 5 Do đó GTNN của y là 6 khi x = 5 Bài toán 3: GTNN của y là 6 khi x = 5 Tìm GTNN của biểu thức: M = Giải: M = = Áp dụng bất đẳng thức: ta có: M = => M Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x – 1994) . (1995 – x) 0 1994 Vậy GTNN của M = 1 ó 1994 Bài toán 4: Tìm GTNN của B = 3a + 4 với -1 Giải: B = 3a + 4 Và áp dụng bất đẳng thức Cô si với hai số không âm cho ta => B => Do đó B và dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi. a = Vậy GTNN của B = 5 a = Bài toán 5: Tìm GTNN của biểu thức: A = Giải: Điều kiện: -(x-1)2 + 8 Với điều kiện này ta viết: => 2 + Do đó: Vậy A và dấu “=” xảy ra x -1 = 0 x = 1 (thỏa mãn điều kiện) Vậy GTNN của A = Bài toán 6: Tìm GTNN của biểu thức: A = Giải: Điều kiện: 1 – x2 > 0 x2 - 1 < x < 1 => A > 0 => GTNN của A ó A2 đạt GTNN. Ta có: A2 = Vậy GTNN của A = 4 khi Bài toán 7: Cho x > 0 ; y = 0 thỏa mãn x + y Tìm GTNN của biểu thức: A = Giải: Điều kiện: 1 – x2 Áp dụng bất đẳng thức Cô si hai số: x2 và 1 – x2 Ta có: x2 + 1 – x2 1 Vậy GTLN của A = khi x = hay x = Bài toán 8: Tìm GTLN của biểu thức: y = Giải: Biểu thức có nghĩa khi 1996 Vì y với mọi x thỏa mãn điều kiện 1996 Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: 2 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x – 1996 = 1998 – x x = 1997 Do đó y2 Vậy GTLN của y là 2 khi x = 1997 Bài toán 9: Cho . Tìm GTLN của biểu thức y = x + Giải: Ta có: = x + 2 Vì 0 nên 1 – x Áp dụng bất đẳng thức Cô si đối với 2 số: và (1 – x) cho ta: Dấu “=” xảy ra Vậy GTLN của y là tại x = Bài toán 10: Cho M = Tìm TGNN của M Giải: M = = = Điều kiện để M xác định là a – 1 Ta có: Đặt x = điều kiện x Do đó: M = Ta xét ba trường hợp sau: 1) Khi x thì Và => M = 2 – x + 4 – x = 6 – 2x Vậy x < 2 thì M 2) Khi x thì và x-4=x-4 => M = Vậy x > 4 thì M 3) Khi 2 < x < 4 thì và => M = x – 2 + 4 – x = 2 (không phụ thuộc vào x) Trong trường hợp này thì: 2 4 5 Cả ba trường hợp cho ta kết luận: GTNN của M = 2 tương ứng với: D. CÁC BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1: Tìm GTNN của biểu thức: A = (2x – 3)2 – 7 với x hoặc x . Gợi ý: - Xét 2 trường hợp: x ≥ 3 và x ≤ -1 - Kết luận: Min A = 2 x = 3 Chú ý: Mặc dù A = (2x – 3)2 – 7 . Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi x = nhưng giá trị không thỏa mãn x , không thỏa mãn x . Do đó không thể kết luận được GTNN của A bằng – 7. Bài 2: Gọi x1; x2 là các nghiệm của phương trình: x2 – (2m – 1) x + (m – 2) = 0 Tìm các giá trị của m để có giá trị nhỏ nhất Gợi ý: = 4(m - 1 )2 + 5 > 0. Phương trình đã cho có nghiệm với mọi m theo hệ thức Vi-ét, ta có: = => Min ( với m = Bài toán 3: Cho x, y là hai số thỏa mãn: x + 2y = 3. Tìm GTNN của E = x2 + 2y2 Gợi ý: Rút x theo y và thế vào E Bài toán 4: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: A = x2 + y2 Biết rằng x và y là các số thực thỏa mãn: x2 + y2 – xy = 4 Gợi ý: Từ x2 + y2 – xy = 4 2x2 + 2y2 – 2xy = 8 A + (x – y)2 = 8 Max A = 8 khi x = y Mặt khác: 2x2 + 2y2 = 8 + 2xy 3A = 8 + (x + y)2 => A min A = khi x = - y Bài toán 5: Cho x, y thỏa mãn: x2 + 4y2 = 25. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: M = x + 2y. Giải: Áp dụng bất đẳng thức: Bunhiacôpxki (x +2y)2 (12 + 12) = 50 Vậy Max M = khi x = Min M = -5 khi x = - ; y = - Bài tóan 6: Cho x, y là hai số dương thỏa mãn điều kiện: xy = 1. Tìm GTLN của biểu thức: A = Gợi ý: Từ (x2 – y)2 => Tương tự: => A => Max A = 1 khi Bài tóan 7: Tìm GTNN của biểu thức: A = Gợi ý: B = Min B = 2 khi - 1 Bài toán 8: Tìm GTNN của biểu thức: B = (x – a )2 + (x – b)2 + (x – c)2 với a, b, c cho trước. Gợi ý: Biểu diễn B = => GTNN của B = (a2 + b2 + c2) - Bài toán 9: Tìm GTNN của biểu thức: P = x2 – 2xy + 6y2 – 12x + 3y + 45 Gợi ý: Biểu diễn P = (x – 6 – y)2 + 5(y – 1)2 + 4 Vậy Min P = 4 khi y = 1 ; x = 7 Bài toán 10: Tìm GTLN của biểu thức: E = – x2 + 2xy – 4y2 + 2x + 10y – 3 Gợi ý: Biểu diễn E = 10 – (x – y – 1)2 – 3 (y – 2)2 => GTLN của E = 10 ó y = 2 ; x = 3 Bài toán 11: Tìm GTLN của biểu thức: P = Biết x, y, z là các biến thỏa mãn : x2 + y2 + z2 = 169 Gợi ý: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki Max P = 65 khi Bài toán 12: Tìm GTNN của biểu thức sau: Với x A = Với mọi x B = Với mọi x C = Gợi ý: Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ta: A = (x + 2) + b) B = (vì c) C = Min C = - 1 khi x = 0 Bài toán 13: Tìm GTNN của biểu thức A = Gợi ý: A = = Vậy Min A = Khi x = 2000 Bài toán 14: Tìm GTNN của biểu thức: P = Gợi ý: Biểu diễn P = 4 (áp dụng BĐT Côsi) => Min P = 64 khi x = 1 hoặc x = -3 Bài toán 15: Tìm GTNN của A = với x > 0 B = với x > 1 C = D = với x > 0 E = với 0 < x < 1 F = với x > 1 Gợi ý: A = x+ (vì x > 0) => Min A = 8 khi x = 2 B = (vì x > 1) => Min B = 4 x = 2 C = D = (1 + x) (vì x > 0) E = F = = => Min F = khi x = 3. Bài 16: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: P = Gợi ý: P = 9 - P = 9 - Bài 17: Cho x, y là hai số dương thỏa mãn: x + y = 10 Tìm GTNN của biểu thức S = Gợi ý: S = = S có GTNN x(10-x) có GTLN x = 5. => GTNN của S = khi x = y = 5. Bài 18: Tìm GTNN của biểu thức: E = Gợi ý: Ta có E > 0 với mọi x Xét E2 = 2 (x2 + 1 + => Min E = 2 khi x = 0 Bài 19: Cho a và b là hai số thỏa mãn: a ; a + b Tìm GTNN của biểu thức S = a2 + b2 Gợi ý: a+ b (vì a => 132 => Min S = 13 Bài 20: Cho phương trình: x2 - 2mx – 3m2 + 4m – 2 = 0 Tìm m để cho đạt GTNN. Gợi ý: phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x1; x2. Theo định lý vi-ét ta có: Do đó m GTNN của là 2 khi m = Bài 21: Tìm giá trị nhỏ nhất của: y = Gợi ý: y = + + Ta có: nhỏ nhất bằng 1997 khi x nhỏ nhất bằng 1995 khi x nhỏ nhất bằng 1 khi x Vậy y đạt GTNN bằng 1 + 3 + + 1997 Số các số hạng của 1 + 3 + + 1997 là (1997 – 1) : 2 + 1 = 999 Vậy Min y = 9992 khi 999 Bài 22: Cho biểu thức: M = x2 + y2 + 2z2 + t2 Với x, y, z, t là các số nguyên không âm , tìm gia strị nhỏ nhất của M và các giá trị tương ứng của x, y, z, t. Biết rằng: (2) (1) Gợi ý: Theo giả thiết: x2 – y2 + t2 = 21 x2 + 3y2 + 4z2 = 101 => 2x2 + 2y2 + 4z2 + t2 = 122 => 2M = 122 + t2 Do đó 2M Vậy Min M = 61 khi t = 0 Từ (1) => x > y Do đó: (x + y )(x – y) = 21.1 = 7.3 Từ (2) => 3y2 Ta chọn x = 5 ; y = 2 => z = 4 Vậy Min M = 61 tại x = 5 ; y = 2 ; z = 4; t = 0 Bài 23: Cho phương trình: x4 + 2x2 +2ax – (a – 1)2 = 0 (1) Tìm giá trị của a để nghiệm của phương trình đó: a) Đạt GTNN. b) Đạt gía trị lớn nhất. Gợi ý: Gọi m là nghiệm của phương trình (1) thì: m4 + 2m2 + 2am + a2 + 2a + 1 = 0 (2) Viết (2) dưới dạng phương trình bậc hai ẩn a. a2 + 2 (m + 1) a + (m4 + 2m2 + 1) = 0 Để tồn tại a thì Giải điều kiện này được m4 - m2 m(m – 1) Vậy nghịêm của phương trình đạt GTNN là 0 với a = -1 Vậy nghịêm của phương trình đạt GTLN là 1 với a = -2 Bài 24: Tìm GTNN, GTLN của t = Gợi ý: Vì x2 + 1 > 0 với mọi x Đặt a = => (a – 1) x2 – 2 x +a – 2 = 0 (1) a là một giá trị của hàm số (1) có nghiệm. - Nếu a = 1 thì (1) x = - Nếu a 1 thì (1) có nghiệm Min A = với x = với x = Bài 25: Tìm GTNN, GTLN của A = Gợi ý: Viết A dưới dạng sau với y ( (đặt ) Giải tương tự bài 24 được: Còn với y = 0 thì A = 1 Do đó: Min A = với x = y ; max A = 3 với x = - y Bài 26: Cho a + b = 1. Tìm GTNN của biểu thức: Q = a3 + b3 + ab Gợi ý: Với Q dưới dạng Q = (a + b) = 1 – 2ab = 1 – 2a (1 – a) => Q = 2a2 – 2a + 1 Do đó: Min Q = khi a = b = |
