1. Định nghĩa Cho hai điểm cố định ${F_1},{F_2}$ và một độ dài không đổi 2a lớn hơn ${F_1}{F_2}$. Elip là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho ${F_1}M + {F_2}M = 2a$ Các điểm ${F_1}$ và ${F_2}$ gọi là các tiêu điểm của elip. Độ dài ${F_1}{F_2} = 2c$ gọi là tiêu cự của elip. 2. Phương trình chính tắc của elip Cho elip (E) có các tiêu điểm ${F_1}$ và ${F_2}$. Điểm M thuộc elip khi và chỉ khi${F_1}M + {F_2}M = 2a$. Chọn hệ trục toạ độ Oxy sao cho ${F_1} = \left( { - c;0} \right)$ và ${F_2} = \left( {c;0} \right)$. Khi đó người ta chứng minh được: $M\left( {x;y} \right) \in E \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ trong đó ${b^2} = {a^2} - {c^2}$. Phương trình (1) gọi là phương trình chính tắc của elip. 3. Hình dạng của elip Xét elip (E) có phương trình (1) : * Nếu điểm M(x ; y) thuộc (E) thì các điểm ${M_1} = \left( { - x;y} \right),{M_2} = \left( {x; - y} \right)$ cũng thuộc (E). Vậy (E) có các trục đối xứng là Ox, Oy và có tâm đối xứng là gốc O. * Thay y = 0 vào (1) ta có x = ±a, suy ra (E) cắt Ox tại hai điểm ${A_1} = \left( { - a;0} \right)$ và ${A_2} = \left( {a;0} \right)$. Tương tự thay x = 0 vào (1) ta được y = ±b, vậy (E) cắt Oy tại hai điểm ${B_1} = \left( {0; - a} \right),{B_2} = \left( {0;b} \right)$. Các điểm ${A_1},{A_2},{B_1},{B_2}$ gọi là các đỉnh của elip. Đoạn thẳng ${A_1}{A_2}$ gọi là trục lớn, đoạn thẳng ${B_1}{B_2}$ gọi là trục nhỏ của elip. 4. Liên hệ giữa đường tròn và đường elip * Từ hệ thức ${b^2} = {a^2} - {c^2}$ ta thấy nếu tiêu cự của elip càng nhỏ thì b càng gần bằng a, tức là trục nhỏ của elip càng gần bằng trục lớn. Lúc đó elip có dạng gần như đường tròn. * Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C ) có phương trình ${x^2} + {y^2} = {a^2}$ Với mỗi điểm M(x ; y) thuộc đường tròn ta xét điểm M(x ; y) sao cho $\left\{ \begin{gathered} x' = x \hfill \\ y' = \frac{b}{a}y \hfill \\ \end{gathered} \right.\left( {0 < b < a} \right)$ thì tập hợp các điểm M' có toạ độ thoả mãn phương trình $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ là một elip (E). Khi đó ta nói đường tròn (C) được co thành elip (E). Bài tập Bạn chưa đăng nhập !Vui lòng đăng nhập trước khi thực hiện thao tác này. |
