Show
Bài giảng: Bài 3 : Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng - Thầy Lê Thành Đạt (Giáo viên VietJack) 1. Định nghĩa Quảng cáo
 Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng (α) nếu d vuông góc với mọi đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (α). Kí hiệu d ⊥ (α). 2. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Định lí Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy. Hệ quả Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì nó cũng vuông góc với cạnh thứ ba của tam giác đó. 3. Tính chất Tính chất 1 Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.
Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng Người ta gọi mặt phẳng đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AB và vuông góc với AB là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. Tính chất 2 Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
4. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng. Tính chất 1 Cho hai đường thẳng song song. Mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
Quảng cáo Tính chất 2 Cho hai mặt phẳng song song. Đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
Tính chất 3 Cho đường thẳng a và mặt phẳng (α) song song với nhau. Đường thẳng nào vuông góc với (α) thì cũng vuông góc với a. Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đó) cùng vuông góc với một đường thẳng khác thì chúng song song với nhau.
5. Định lí ba đường vuông góc Định nghĩa Phép chiếu song song lên mặt phẳng (P) theo phương vuông góc tới mặt phẳng (P) gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P). Định lí (Định lí 3 đường vuông góc)
Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng b nằm trong mặt phẳng (P). Khi đó điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a’ của a trên (P). 6. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Định nghĩa
Nếu đường thẳng a ⊥ (P) thì ta nói góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng 90°. Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên (P) gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P). Chú ý: Nếu φ là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α) thì ta luôn có 0° ≤ φ ≤ 90°. Quảng cáo Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k5: fb.com/groups/hoctap2k5/ Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn. tong-hop-ly-thuyet-chuong-vecto-trong-khong-gian-quan-he-vuong-goc-trong-khong-gian.jsp
Đường thẳng được gọi là vuông góc với mặt phẳng nếu vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong . Vậy . 2. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳngĐịnh lí: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nếu nó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong .
3. Tính chấtCó duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước. Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước. 4. Sự liên quan giữa quan hệ vuông góc và quan hệ song song+ + + + + + 5. Phép chiếu vuông góc và định lí ba đường vuông gócĐịnh nghĩa: Cho đường thẳng . Phép chiếu song song theo phương lên mặt phẳng được gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng . Định lí ba đường vuông góc: Cho đường thẳng nằm trong mặt phẳng và là đường thẳng không thuộc đồng thời không vuông góc với . Gọi là hình chiếu của trên . Khi đó . Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Cho đường thẳng và mặt phẳng . + Nếu vuông góc với mặt phẳng thì ta nói góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng . + Nếu không vuông góc với mặt phẳng thì góc giữa với hình chiếu của nó trên được gọi là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng . B. Bài tậpDạng 1. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và đường thẳng vuông góc với đường thẳngPhương pháp: Muốn chứng minh đường thẳng ta có thể dùng một trong hai cách sau: Cách 1: Chứng minh vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong . . Cách 2: Chứng minh song song với đường thẳng mà . . Để chứng minh , ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau: - Chứng minh vuông góc với và chứa a. - Sử dụng định lí ba đường vuông góc. - Sử dụng các cách chứng minh đã biết ở phần trước. Ví dụ 1.1: Cho tứ diện đều . Chứng minh các cặp cạnh đối diện của tứ diện này vuông góc với nhau từng đôi một. Lời giải: Gọi là trung điểm của cạnh . Ta có: . Do đó vì nằm trong mặt phẳng . Bằng lập luận tương tự ta chứng minh được và . Ví dụ 1.2: Hình chóp có đáy là hình vuông tâm và có cạnh vuông góc với mặt phẳng . Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh và . a) Chứng minh . b) Chứng minh và điểm thuộc . c) Chứng minh , từ đó suy ra . Lời giải: a) vì đáy là hình vuông . Lại có . Do đó vì vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong . Tương tự, . . b) Theo câu a, có , mà nên . Theo giả thiết . Do đó . Vì nên . Hoàn toàn tương tự, ta cũng có . Hai đường thẳng cắt nhau và cùng vuông góc với nên chúng nằm trong mặt phẳng đi qua điểm và vuông góc với . Vậy . Ta có vì nó đi qua điểm và cùng vuông góc với . c) Ta có . Hai tam giác vuông và bằng nhau vì chúng có cạnh chung và (c.g.c). Do đó . Vì nên và do nên . Ví dụ 1.3: Cho tứ diện có ba cạnh đôi một vuông góc với nhau. Kẻ vuông góc với mặt phẳng tại . Chứng minh: a) và . b) là trực tâm của tam giác . c) . Lời giải: a) Ta có . Tương tự ta chứng minh . . b) Vì nên và . . (1) Chứng minh tương tự ta có . (2) Từ (1) và (2) suy ra là trực tâm của tam giác . c) Gọi là giao điểm của và . Trong tam giác vuông tại , ta có đường cao. Dựa vào hệ thức lượng trong tam giác vuông của hình học phẳng ta có: (1) Vì vuông góc với mặt phẳng nên . Do đó trong tam giác vuông tại với đường cao , ta có: (2) Từ (1) và (2) suy ra . Ví dụ 1.4: Hình chóp có đáy là hình thoi tâm và có , . a) Chứng minh vuông góc với mặt phẳng . b) Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh . Chứng minh rằng và . Lời giải: a) là tâm hình thoi nên là trung điểm của đoạn . Tam giác có nên . Chứng minh tương tự ta có . Từ đó suy ra . b) Vì đáy là hình thoi nên . Mặt khác ta có . Do đó . Ta có là đường trung bình của tam giác nên . Mà nên . Ta lại có . Dạng 2.Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳngPhương pháp: Để xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng ta thực hiện theo các bước sau: - Tìm giao điểm . - Dựng hình chiếu của một điểm xuống . - Góc chính là góc giữa đường thẳng và . Lưu ý: Để dựng hình chiếu của điểm trên ta chọn một đường thẳng khi đó . Để tính góc ta sử dung hệ thức lượng trong tam giác vuông . Ngoài ra nếu không xác định góc thì ta có thể tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng theo công thức trong đó là VTCP của còn là vec tơ có giá vuông góc với . Ví dụ 2.1: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , và vuông góc với đáy. Tính góc giữa:
Lời giải a) là hình chiếu của trên Ta có nên b) Có là hình chiếu của trên mặt phẳng Có c) là hình chiếu của trên . Ví dụ 2.2: Cho hình lăng trụ xiên đáy là tam giác đều cạnh , đỉnh cách đều , góc giữa và là . Xác định và tính đường cao của lăng trụ trên. Lời giải: Gọi là trọng tâm tam giác . Gọi lần lượt là trung điểm của . Vì đều và cách đều nên . là hình chiếu của trên . Chiều cao của hình lăng trụ là Có . Ví dụ 2.3: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng , tâm . Gọi , lần lượt là trung điểm và . Biết góc giữa và mặt phẳng là . a) Tính độ dài . b) Tính cosin của góc giữa và . Lời giải: a) Vì là hình chóp đều nên . Gọi là hình chiếu của trên là trung điểm của . Áp dụng định lí cosin vào tam giác , ta có Có là hình chiếu của trên . Vậy . b) Gọi là trung điểm của , ta có Có là hình chiếu của trên Trong tam giác vuông có . Xét tam giác vuông có . Xét tam giác vuông vuông tại có Do đó . Dạng 3. Thiết diện đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳngPhương pháp: Để xác định thiết diện của mặt phẳng đi qua điểm và vuông góc với đường thẳng với một hình chóp ta thực hiện theo một trong hai cách sau: Cách 1. Tìm tất cả các đường thẳng vuông góc với , khi đó sẽ song song hoặc chứa các đường thẳng này và ta chuyển về dạng thiết diện song song như đã biết ở chương II. Cách 2. Ta dựng mặt phẳng như sau: Dựng hai đường thẳng cắt nhau cùng vuông góc với trong đó có một đường thẳng đi qua , khi đó chính là mặt phẳng . Ví dụ 3.1: Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại với và .Gọi là một điểm trên cạnh là mặt phẳng đi qua và vuông góc với . Đặt . a) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi . b) Tính diện tích thiết diện theo và . Lời giải: a) Ta có . Tương tự . Do . Tương tự . . Thiết diện là tứ giác . b) Ta có nên tứ giác là hình thang. Mặt khác suy ra thiết diện là một hình thang vuông tại và . . Gọi là trung điểm của và . Do nên . . Xét trong hình thang ta có: . . . Ví dụ 3.2: Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh bằng , và . Gọi là mặt phẳng đi qua và vuông góc với . a) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi . b) Tính diện tích của thiết diện này. Lời giải: a) Gọi là trung điểm của , dựng . Ta có . Mặt khác nên . Vậy chính là mặt phẳng đi qua và vuông góc với . Thiết diện là tam giác . b) Do nên vuông tại . (đường cao của tam giác đều cạnh ). Hai tam giác và có chung góc nên chúng đồng dạng. Từ đó suy ra . Vậy . |
