VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Đường thẳng d đi qua điểm M và song song với hai mặt phẳng cắt nhau (P) và (Q), nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.  Nội dung bài viết Đường thẳng d đi qua điểm M và song song với hai mặt phẳng cắt nhau (P) và (Q): Phương pháp giải. Phương pháp. VTPT của (P), (Q) lần lượt là mi, t. Lúc này ta được VTCP của đường thẳng d là ai, n. Ví dụ 10. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(1; -1; 1) và song song với hai mặt phẳng (P): x + g – 32 – 1 = 0 và (Q) : -2c + g – 4z + 1 = 0. Mặt phẳng (P) , (Q) lần lượt có véc tơ pháp tuyến là Ti = (1; 1; -3) và n = (-2; 1; -4). Vì d song song với (P) và (Q) nên véc tơ chỉ phương của d là Ti = [i, n] = (-1; 10; 3). Đường thẳng d đi qua điểm A(1; -1; 1) và có một véc tơ chỉ phương là x = (-1; 10; 3), nên dù có phương trình tham số là x = 1 – 7 y = -1 + 10t z = 1 + 3t. Ví dụ 11. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(1; 2; 3) và song song với hai mặt phẳng (P): x – y + 2x + 1 = 0 và (Q): 3x – 2y + 47 – 2018 = 0. Mặt phẳng (P) , (Q) lần lượt có véc tơ pháp tuyến là mi = (1;-1; 2) và m = (3; –2; 4). Vì d song song Với (P) và (Q) nên véc tơ chỉ phương của d là mi = i, m = (0; 2; 1). Đường thẳng d đi qua điểm A(1; 2; 3) và có một véc tơ chỉ phương là ti = (0; 2; 1), nên d có phương trình tham số là x = 1 y = 2 + 2t 12= 3 + t. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 12. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(0; 1; -1) và song song với hai mặt phẳng (P): -2x + 3y – z = 0 và mp (Org). Mặt phẳng (Ocg) có phương trình là 3 = 0 nên có véc tơ pháp tuyến là (0; 0; 1). Đường thẳng d đi qua điểm A(0; 1; -1) và có một véc tơ chỉ phương là m = (3; 2; 0), nên d có phương trình tham số là x = 3t y = 1 + 2t. Bài 13. Viết phương trình đường thẳng d. Biết d đi qua giao điểm của hai đường thẳng A: y + 2, Z: x – 3 y + 5. Ta có (P), (Q) có véc tơ pháp tuyến lần lượt là mi = (7; -10; 5), m = (3; 6; -2). Tọa độ giao điểm A của hai đường thẳng A và A’ là nghiệm của hệ phương trình. Vậy đường thẳng d đi qua điểm A(3; –5; 1) và có véc tơ chỉ phương í = mị, m phương trình tham số là x = 1 + 5t. Bài 14. Cho đường thẳng A: 4 = 2 – 6t và ba mặt phẳng (P): 2 + 2x – 32 – 16 = 0, (Q): 12= -7 + t + y + z + 1 = 0. Viết phương trình đường thẳng d đi qua giao điểm của A. và (P), đồng thời song song với hai mặt phẳng (Q), (R). Ta có (2), (R) có véc tơ pháp tuyến lần lượt là T =(1; 1; 1), m =(-1; 2; -1). Lại có, tọa độ giao điểm A của đường thẳng A và mặt phẳng (P) là nghiệm của hệ phương trình. Vậy đường thẳng d đi qua điểm A(0; -4; -6) và có véc tơ chỉ phương n, m phương trình tham số là x = 6 – 3t, y = -4. Bài 15. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’CD. Biết A(1; 0; 0), B(0; 2; 0), D(3; 1; 0), A(1; 0; 2). Viết phương trình đường thẳng d đi qua B’ và song song với (ABCD) và (ACC’A’). Ta có B = (0; 2; 2) và véc tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng (ABCD) và (AACC) lần lượt là A4 = (0; 0; 2), B = (3; -1; 0). Suy ra AN, BD = (2; 6; 0) là véc tơ chỉ phương của đường thẳng d. Suy ra phương trình tham số của đường thẳng d là x = 2t y = 2 + 6t z = 2. Bài 16. Cho mặt cầu (S): (x + 2)2 + (2 – 1)3 = 9 và mặt phẳng (P): 2 + 32 + 1= 0, và mặt phẳng (Q) tiếp xúc với (S) tại tiếp điểm A(0; 2; -1). Viết phương trình đường thẳng d đi qua tâm I của (S) và song song với mặt phẳng (P), (Q). Ta có mặt phẳng (Q) là mặt phẳng tiếp xúc với hình cầu (S) tại điếp điểm A(0; 2; -1), nên IA = (2; 1; 2) là véc tơ pháp tuyến của (Q). Do đó (Q) có phương trình 2x + y + 2x = 0. Vậy đường thẳng d đi qua tâm I(-2; 1; -3) và có véc tơ chỉ phương n = (-1; -8; 5).
Với Viết phương trình mặt phẳng P song song và cách mặt phẳng Q một khoảng k Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Viết phương trình mặt phẳng P song song và cách mặt phẳng Q một khoảng k từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12. 1. Trên mặt phẳng (Q) chọn một điểm M 2. Do mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) nên mặt phẳng (P) có dạng: Ax +By +Cz +D' =0 (D'≠D). 3. Sử dụng công thức khoảng cách d((P),(Q)) =d(M,(Q)) =k để tìm D’. Bài 1: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q): x+2y-2z+1=0 và cách (Q) một khoảng bằng 3. Hướng dẫn: Trên mặt phẳng (Q) chọn điểm M (-1; 0;0) Do mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) nên phương trình mặt phẳng (P) có dạng: x +2y -2z +D =0 (D≠1). Vì khoảng cách giữa 2 mặt phẳng (P) và (Q) bằng 3 nên ta có: d(M;(Q))=3 ⇔ ⇔ |-1+D|=9 ⇔ Vậy có 2 phương trình mặt phẳng (P) thỏa mãn yêu cầu đề bài là x +2y -2z +10 =0 x +2y -2z -8 =0 Bài 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q): 2x+3y-z+3=0 và cách (P) một khoảng bằng √14 Hướng dẫn: Trên mặt phẳng (Q) chọn điểm M (0; -1;0) Do mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) nên phương trình mặt phẳng (P) có dạng: 2x +3y -z +D =0 (D≠3). Vì khoảng cách giữa 2 mặt phẳng (P) và (Q) bằng √14 nên ta có: d(M;(Q))=√14 ⇔ ⇔ |-3 +D|=14 ⇔ Vậy có 2 phương trình mặt phẳng (P) thỏa mãn yêu cầu đề bài là x +2y -2z +14 =0 x +2y -2z -11 =0 Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng Oxy và cách mặt phẳng Oxy một khoảng bằng 5. Hướng dẫn: Điêm O(0; 0; 0) thuộc mặt phẳng Oxy. Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng Oxy nên mặt phẳng (P) có dạng: z+D=0 (D≠0) Do khoảng cách từ mặt phẳng (P) đến mặt phẳng Oxy bằng 5 nên ta có: d(M;(Q))=5 ⇔ |D|/√(12)=5 ⇔ |D|=5 ⇔ Vậy có 2 phương trình mặt phẳng (P) thỏa mãn yêu cầu đề bài là z +5 =0 z -5 =0
Với Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, song song với mặt phẳng và vuông góc với đường thẳng Toán lớp 12 với đầy đủ lý thuyết, phương pháp giải và bài tập có lời giải chi tiết giúp học sinh biết Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, song song với mặt phẳng và vuông góc với đường thẳng. A. Phương pháp giải Do đường thẳng song song với mặt phẳng [ P] và vuông góc với đường thẳng d’ nên Suy ra Mà d’ không vuông góc với [P] =>Véc tơ chỉ phương của d là + Đường thẳng d đi qua điểm M[ đã biết] và nhận vecto ud→ làm vecto chỉ phương => phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng d. B. Ví dụ minh họa Ví dụ 1. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M [1; 2; -1], song song với mặt phẳng [P]: x + y – z = 3 và vuông góc với đường thẳng d’: A. B. C. D. Hướng dẫn giải Vecto pháp tuyến của mặt phẳng [P] là: Vecto chỉ phương của đường thẳng d’ là: Do đường thẳng d song song với mặt phẳng [P] và vuông góc với đường thẳng d’ nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là: d đi qua điểm M [1; 2; -1] Vậy phương trình đường thẳng d là Chọn B. Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M [0; 1; 2], song song với mặt phẳng [Oxy] và vuông góc với đường thẳng d': A . B. C. D. Đáp án khác Hướng dẫn giải Phương trình mặt phẳng [ Oxy] là: z= 0; vecto pháp tuyến của mặt phẳng này là: Vecto chỉ phương của đường thẳng d’ là: Do đường thẳng d song song với mặt phẳng [Oxy] và vuông góc với đường thẳng d’ nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là: d đi qua điểm M [0; 1; 2] Vậy phương trình đường thẳng d là Chọn C. Ví dụ 3 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ; cho mặt phẳng [P] : y- 2z- 1= 0 và đường thẳng Δ : . Phương trình chính tắc đường thẳng d đi qua điểm B[ 2 ; 2 ; - 2] song song với [P] và vuông góc với Δ là A. B. C. D. Hướng dẫn giải Đường thẳng Δ có vectơ chỉ phương Mặt phẳng [P] có vectơ pháp tuyến Gọi ud→ là vectơ chỉ phương của d. Do đường thẳng d song song với mặt phẳng [P] và vuông góc với đường thẳng Δ nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là: Vậy phương trình chính tắc của d là: Chọn D. Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng [P]: 2x+ y- 5z+ 1= 0. Phương trình đường thẳng d đi qua điểm A [1;1;1] song song với [ P] và vuông góc với trục tung là A. B. C. D. Hướng dẫn giải Trục tung Oy có vectơ chỉ phương . Mặt phẳng [P] có vectơ pháp tuyến . Do đường thẳng d song song với mặt phẳng [P] và vuông góc với trục tung nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là: . Đường thẳng d đi qua điểm A[ 1; 1; 1] và có vectơ chỉ phương là Vậy phương trình của d là: Chọn D. Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt cầu [S]: x2 +[y-1]2 +[z+ 2]2 = 4. Phương trình đường thẳng d đi qua tâm của mặt cầu [S], song song với mặt phẳng [P]: x+ y- 2z= 0 và vuông góc với đường thẳng Δ: là. A. B. C. D. Hướng dẫn giải + Tâm của mặt cầu [ S] là I[ 0 ;1 ; -2] . + Đường thẳng Δ có vectơ chỉ phương . + Mặt phẳng [ P] có vectơ pháp tuyến + Đường thẳng d đi qua điểm I[ 0 ; 1 ; -2] và có vectơ chỉ phương là : Vậy phương trình của d là Chọn A. Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng [P]: x- 2y+ 2z- 5= 0 và hai điểm A[-3; 0; 1]; B[ 1; -1; 3]. Trong các đường thẳng đi qua A và song song với [P], đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất có phương trình là. A. B. C. D. Hướng dẫn giải Gọi d là đường thẳng cần tìm + Gọi mặt phẳng [Q] qua A[ -3; 0;1] và song song với [P]. Khi đó: [Q] có dạng: x- 2y+ 2z + D= 0 Thay tọa độ điểm A vào phương trình [ Q] ta được : -3- 2.0+ 2.1+ D= 0 ⇔ D = 1 Vậy phương trình [ Q]: x- 2y + 2z +1= 0 + Gọi K; H lần lượt là hình chiếu của B lên d; [Q]. Ta có: d[ B; d] = BK ≥BH Do đó AH là đường thẳng cần tìm. + Mặt phẳng [ Q] có vectơ pháp tuyến BH qua B và có vectơ chỉ phương => Phương trình đường thẳng BH là: + Đường thẳng d đi qua điểm A[ -3; 0; 1] và có vectơ chỉ phương Vậy phương trình của d là Chọn A. Ví dụ 7: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng [P] đi qua ba điểm A[ 2; 0; 0]; B[ 0; 3; 0] và C[ 0; 0; 1]; đường thẳng d: . Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua M [-1; 2; 0]song song với mặt phẳng [P] và vuông góc với đường thẳng d. A. B. C. D. Đáp án khác Hướng dẫn giải + Phương trình đoạn chắn mặt phẳng [ P]: Mặt phẳng [P] có vectơ pháp tuyến + Đường thẳng d có vecto chỉ phương + Đường thẳng Δ đi qua điểm M[-1 ; 2 ; 0] và có vectơ chỉ phương là : Vậy phương trình của Δ là Chọn A. Ví dụ 8: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng [P] đi qua ba điểm A[ 1; 2; 1]; B[ -2; 1; 0] và C[ 0; 0; 1] . Đường thẳng d có phương trình : . Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua M[ 0; 0; -3] và song song với [P]; vuông góc với đường thẳng d. A. B. C. D. Hướng dẫn giải + Ta tìm vecto pháp tuyến của mặt phẳng [ P] Ta có: Mặt phẳng [P] có vectơ pháp tuyến + Đường thẳng d có vecto chỉ phương + Đường thẳng Δ đi qua điểm M[ 0; 0; - 3] và có vectơ chỉ phương là : Vậy phương trình của Δ là Chọn B. |
