Cho đường tròn (O), dây AB khác đường kính. Qua O kẻ đường vuông góc với AB, cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn ở điểm C.
a) Chứng minh rằng CB là tiếp tuyến của đường tròn.
b) Cho bán kính của đường tròn bằng \(15cm, AB = 24 cm\). Tính độ dài OC.
Hướng dẫn:
a) Chứng minh \(BC\bot OB\).
b) Tính OH rồi suy ra OC (áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn).
a) Gọi H là giao điểm của OC và AB
Ta có \(OA = OB\) ( cùng bằng bán kính (O))
Suy ra \(ΔAOB\) cân tại O
Suy ra OH là đường cao nên cũng là đường phân giác.
Do đó: \(\widehat{AOC}=\widehat{BOC} \)
Xét hai \(ΔOBC\) và \(ΔOAC\) có:
\(OB = OC\) (cùng bằng bán kính (O))
\(\widehat{AOC}=\widehat{BOC}\)
OC cạnh chung
\(\Rightarrow ΔOBC = ΔOAC\) (c.g.c)
\(\Rightarrow \widehat{OBC}=\widehat{OAC}={{90}^{o}} \)
Vậy CB là tiếp tuyến của đường tròn (O). (đpcm)
b) Ta có:
\(AH=\dfrac{AB}{2}=12\,\left( cm \right)\) (định lí đường kính và dây cung)
Áp dụng định li Pytago trong tam giác vuông OHB, ta có:
\(\begin{aligned} & O{{B}^{2}}=H{{B}^{2}}+H{{O}^{2}} \\\\ & \Rightarrow OH=\sqrt{O{{B}^{2}}-H{{B}^{2}}}=\sqrt{{{15}^{2}}-{{12}^{2}}}=9\left( cm \right) \\ \end{aligned}\)
Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác OHB, ta có
\(\cos \widehat{HOB}=\dfrac{OH}{OB}=\dfrac{9}{15}=\dfrac{3}{5}\)
Tương tự, \(\cos \widehat{COB}=\dfrac{OB}{OC}\)
\(\Rightarrow OC=\dfrac{OB}{\cos \widehat{COB}}=15:\dfrac{3}{5}=25\,\left( cm \right)\)